专题04+算法、推理证明、排列、组合与二项式定理（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题04+算法、推理证明、排列、组合与二项式定理（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

1．若从 1,2,3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 【解析】共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故不同的取法有 C4 5＋C4 4＋C2 5C2 4＝66 种． 【答案】D 2．在 x＋ 1 3 x 24 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A．3 项 B．4 项 C．5 项 D．6 项 【解析】Tr＋1＝Cr 24( x)24－r 1 3 x r＝Cr 24x 512 6r－ ， 故当 r＝0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共 5 项． 【答案】C 3．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两 位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为( ) A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 4． 1＋2 x 5 的展开式中 x－1 的系数为( ) A．10 B．20 C．40 D．80 【解析】由通项公式得展开式中 x－1 的系数为 C1 5·2＝10. 【答案】A 5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程 序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有( ) A．34 种 B．48 种 C．96 种 D．144 种 【答案】C 6．(2－ x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】由通项公式可得展开式中含 x4 的项为 T8＋1＝C8 8x4＝x4，故含 x4 项的系数为 1，令 x＝1，得展开式的 系数和 S＝1，故展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0. 【答案】B 7．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了 6 户家庭到 4 个村庄体验农村生活， 要求将 6 户家庭分成 4 组，其中 2 组各有 2 户家庭，另外 2 组各有 1 户家庭，则不同的分配方案的总数是( ) A．216 B．420 C．720 D．1 080 【解析】先分组，每组含有 2 户家庭的有 2 组，则有C2 6C2 4 A2 2 种分组方法，剩下的 2 户家庭可以直接看成 2 组， 然后将分成的 4 组进行全排列，故有C2 6C2 4 A2 2 ×A4 4＝1 080(种)． 【答案】D 8．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则 a8 等于( ) A．－5 B．5 C．90 D．180 【解析】∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C8 10·22＝180. 【答案】D 9．将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同 的排列方法共有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【解析】先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有 A 3 3种不同排法．再排第二列，其中第二列第一 行的字母共有 2 种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一种排法．因此共有 A3 3·2·1＝12 种不同的 排列方法． 【答案】A 10．使 3x＋ 1 x x n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 11．执行如图所示的程序框图，若输入的 x＝8，则输出的 y 值为( ) A.1 2 B.3 2 C.5 2 D．3 【解析】第一次循环，x＝8，y＝3，|y－x|>3；第二次循环，x＝3，y＝1 2 ，|y－x|<3，结束循环．所以输 出的 y＝1 2 . 【答案】A 12．执行如图所示的程序框图，若输入 a＝3，则输出 i 的值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 13．执行如图所示的程序框图，若输出结果为 S＝20，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是( ) A．k>8? B．k≤8? C．k<8? D．k＝9? 【解析】第一次循环，S＝11，k＝9；第二次循环，S＝20，k＝8.因为输出的 S＝20，所以程序应在 k＝8 时 结束循环，故判断框内应填入的条件为“k>8？”． 【答案】A 14．某程序框图如图所示，若输出的结果不大于 20，则输入的整数 i 的最大值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】依题意，循环的结果依次为：S＝0＋1＋1＝2，n＝1；S＝2＋2＋1＝5，n＝2；S＝5＋4＋1＝10，n ＝3；S＝10＋8＋1＝19，n＝4.因为输出的 S 的值不大于 20，所以输入的整数 i 的最大值为 4. 【答案】B 15．执行如图所示的程序框图，若 m＝4，则输出的结果是( ) A．1 B.5 3 C．2 D.8 3 【答案】D 16．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39， 则实数 m 的值为( ) A．1 或－3 B．－1 或 3 C．1 D．－3 【解析】令 x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令 x＝－2，得到 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有 (2＋m)9m9＝39，即 m2＋2m＝3，解得 m＝1 或－3. 【答案】A 17．在( x－2－1x)n 的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则 n 等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【解析】T3＋1＝C3 n·( x)n－3· －x 2 3＝－1 8 ×C3 n· 3 2 n x  ，－1 8 C3 n＝－7，C3 n＝56⇒nn－1n－2 1×2×3 ＝56，解得 n＝8， 故选 B. 【答案】B 18．5 名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们 5 人的成 绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这 5 人的 笔试名次的所有可能的种数是( ) A．54 B．72 C．78 D．96 【解析】由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有 A4 4＝24(种)，乙没得第一有 3 种，再排 甲也有 3 种，余下的有 A3 3＝6(种)，故有 6×3×3＝54(种)，所以一共有 24＋54＝78(种)． 【答案】C 19．某公司有五个不同的部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每 部门安排两名，则不同的安排方案种数为( ) A．60 B．40 C．120 D．240 【答案】A 20．将 A，B，C，D，E 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有一名同学的排法 有( ) A．18 种 B．20 种 C．21 种 D．22 种 【解析】当 A，C 之间为 B 时，看成一个整体进行排列，共有 A2 2·A3 3＝12(种)，当 A，C 之间不是 B 时，先在 A，C 之间插入 D，E 中的任意一个，然后 B 在 A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行 排列，共有 C1 2·A2 2·A2 2＝8(种)，所以共有 20 种不同的排法． 【答案】B 21．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|等于( ) A．1 B．513 C．512 D．511 【解析】令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511. 【答案】D 22．已知 ax－1 x 5 的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中系数最大的项为( ) A．270x－1 B．270x C．405x3 D．243x5 【答案】B 23．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合 下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首 诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不 排在最后，则后六场的排法有( ) A．144 种 B．288 种 C．360 种 D．720 种 【解析】《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有 A 4 4种排法，满足《将进酒》排在《望岳》 的前面的排法共有A4 4 A2 2 种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在 4 个空里(最后一个空不排)，有 A 2 4种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后， 则后六场的排法有A4 4 A2 2 ×A2 4＝144(种)，故选 A. 【答案】A 24. x2－x＋ 2 x 6 的展开式中，x6 的系数为( ) A．240 B．241 C．－239 D．－240 【解析】 x2－x＋ 2 x 6＝x6 x＋ 2 x x －1 6，所以 x6 的系数为 C6 6 x＋ 2 x x 0×(－1)6＋C1 6C2 5x3 2 x x 2(－1)1＝－239. 故选 C. 【答案】C 25．为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从 包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名同学中至少有 1 人参加，且 当这 3 名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4 名学生中不同的朗诵顺序的种数为 ( ) A．720 B．768 C．810 D．816 【答案】B 26．6 个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒 乓球，分 6 次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是________．(用数字作答) 【解析】排成一行的 6 个球，第一个球可从左边取，也可从右边取，有 2 种可能，同样第二个球也有 2 种 可能，…，第五个球也有 2 种可能，第六个球只有 1 种可能，因此不同的排法种数为 25＝32. 【答案】32 27．若(1＋y3) x－ 1 x2y n (n∈N*)的展开式中存在常数项，则常数项为________． 【解析】 x－ 1 x2y n 展开式的通项为 Ck nxn－k － 1 x2y k＝Ck n(－1)kxn－3ky－k， (1＋y3) x－ 1 x2y n 展开式的通项为 Ck n(－1)kxn－3ky－k 和 y3Ck n(－1)kxn－3ky－k＝Ck n(－1)kxn－3ky3－k， 若存在常数项 则有 n－3k＝0， －k＝0 或 n－3k＝0， 3－k＝0， 解得 k＝3，n＝9， 常数项为 C3 9(－1)3＝－84. 【答案】－84 28．将 6 位志愿者分配到甲、乙、丙 3 个志愿者工作站，每个工作站 2 人，由于志愿者特长不同，志愿者 A 不能去甲工作站，志愿者 B 只能去丙工作站，则不同的分配方法共有________种． 【答案】18 29．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式 进行编排．某人欲选由 A、B、C、D、E 中的两个不同字母，和 1、2、3、4、5 中的三个不同数字(三个数字 都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________． 【解析】三个数字相邻，则共有 A 3 5中情况，在 A、B、C、D、E 中选两个不同的字母，共有 A 2 5种不同的情况， 这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共 C 1 3种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数有 A3 5A2 5C1 3＝ 60×20×3＝3 600. 【答案】3 600 30．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局 的获胜者与 轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停 止．设在每局中参赛者胜负的概率均为1 2 ，且各局胜负相互独立，求： (1)打满 3 局比赛还未停止的概率； (2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望 E(ξ)． 【解析】令 Ak，Bk，Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜． (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比赛还未停止的概率为 P(A1C2B3) ＋P(B1C2A3)＝1 23＋1 23＝1 4 . (2)ξ的所有可能值有 2，3，4，5，6，且 P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝1 22＋1 22＝1 2 ， P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝1 23＋1 23＝1 4 ， P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝1 24＋1 24＝1 8 ， P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝1 25＋1 25＝ 1 16 ， P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝1 25＋1 25＝ 1 16 . 故ξ的分布列为： ξ 2 3 4 5 6 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 从而 E(ξ)＝2×1 2 ＋3×1 4 ＋4×1 8 ＋5× 1 16 ＋6× 1 16 ＝47 16 . 31．某市居民用水原价为 2.25 元/立方米，从 2010 年 1 月 1 日起实行阶梯式计价： 级数 计算水费的用水量/立方米 单价/(元/立方米) 1 不超过 20 立方米 1.8 2 超过 20 立方米至 30 立方米 2.4 3 超过 30 立方米 p 其中 p 是用水总量的一次函数，已知用水总量为 40 立方米时 p＝3.0 元/立方米，用水总量为 50 立方米时 p ＝3.5 元/立方米． (1)写出水价调整后居民每月水费额与用水量的函数关系式．每月用水量在什么范围内，水价调整后居民同 等用水的水费比调整前增加？ (2)用一个流程图描述水价调整后计算水费的主要步骤． 用水量 30 立方米时，水价调整前水费为 2.25×30＝67.5(元)，水价调整后水费为 f(30)＝60(元)，水价调 整前水费更高．设用水量为 x(x＞30)立方米时，水价调整后水费更高，依题意得 0.05x2－0.5x＋30＞2.25x， 解得 x＞40 或 x＜15(舍去)，即每月用水量超过 40 立方米时，水价调整后居民同等用水的水费比调整前增 加． (2)流程图是：