数学（理）卷·2019届广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）（2018-04）

数学（理）卷·2019届广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）（2018-04）

中山市第一中学2017~2018学年第二学期高二年级第一次统测 ‎ 数 学 ‎ 命题人: 审题人： ‎ 本试卷共8页，共100分，考试时长90分钟。‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）‎ ‎1.若将负数 表示为是虚数单位）的形式，则 等于 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2‎ ‎2.从3台甲型和4台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（ ）‎ A. 60 B. 30 C. 20 D. 40‎ ‎3.已知实数满足，则实数应取值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.是一个关于自然数的命题，若真，则真，现已知不真，那么：①不真；②不真；③真；④不真；⑤真；其中正确的结论为（ ）‎ A.②、④ B.①、② C.③、⑤ D.①、⑤‎ ‎5.三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（ ）种 A. 144 B. 1440 C. 150 D. 188‎ ‎6.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A.1 B. C.3 D.0‎ ‎7.是的展开式中存在常数项的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.设，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．不存在 ‎9.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有（ ）种 ‎ A．72 B．63 C．54 D．48‎ ‎10.已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.若集合，‎ ‎，用表示集合中的元素个数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知平行于轴的直线分别交两曲线与于 ‎，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，‎ 且，则这四位同学的考试成绩的所有 种；‎ ‎14.的展开式中的系数是 ‎ ‎15. 从中得出的一般性结论是_______。‎ ‎16.已知直线是函数的切线，则的值为 ‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知 ‎（1）若若在复平面上对应的点分别为A,B，求对应用的复数 ‎（2）若 ‎18．（本小题满分12分）‎ 请按要求完成下列两题的证明（每小题6分）‎ ‎（1）已知，用分析法证明：‎ ‎（2）若都是正实数，且用反证法证明：与中至少有一个成立.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 数列中，已知，.‎ ‎（1）计算的值，并归纳猜想出数列的通项公式；‎ ‎（2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知向量，若函数 ‎（1）若，求的极大值与极小值。‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，求的范围。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．‎ ‎（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；②设OP(km) ，将表示成的函数．‎ A B C D O P ‎（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．‎ 参考答案：‎ 一、选择题 BBDABC ACDABA ‎11、对于集合E，当满足时，的值最大，此时分类讨论：‎ 当时，均可取0，１，２，３四个数中的任意一数，此时共有个不同的值；‎ 当时，均可取0，１，２三个数中的任意一数，此时共有个不同的值；‎ 当时，均可取0，１两个数中的任意一数，此时共有个不同的值；‎ 当时，只可取0，此时共有１个不同的值；‎ 于是，‎ ‎　 再看对于集合F，由于相互独立，‎ 于是，仅看，当时，可取０，１，２，３四个数；当时，可取０，１，２三个数；当时，可取０，１两个数；当时，只取０一个数；这样中的不同情形有：种；同理中的不同情形也有种，故集合F中的不同元素个数是。‎ 故 ‎12、A；设平行于轴的直线方程为，由于，‎ 则，而满足 那么 设，则 显然，时，，得，此时函数递减；时，，得，此时函数递增； ‎ 于是，当时， 有最小值 二、填空题 ‎13. 种；从这六个数任取个，仅有一种情况符合要求，故所有情况为种；‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ；设切点为，又 于是，切线方程为，即 由 三、解答题 ‎17、解. （1）略 ‎（2）‎ ‎18、略 ‎19. 解：（1）猜想： . ‎ ‎（2）用数学归纳法证明如下：‎ ‎20、解析：（1）‎ ‎（2）由于，所以 由，若在区间上是增函数，则时，，即，得在区间上恒成立。‎ 又是对称轴为且开口向上的抛物线，因此，当时，的最大值为。‎ 因此，所求的范围为。‎ ‎21、假若弦的斜率与 弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为；对于方程，若，则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为或；‎ 于是，设弦的两端点的坐标分别为，中点为，则 即两斜率之积为 ‎22．（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，‎ 则, 故，又OP＝，‎ 所以， ‎ 所求函数关系式为 ‎②若OP=(km) ，则OQ＝10－，‎ 所以OA =OB=‎ 所求函数关系式为 ‎（2）选择函数模型①，‎ 令0 得sin ，因为，所以=，‎ 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函 数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．这时(km)‎ 因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短． ‎