【推荐】专题7-4 基本不等式及不等式的应用-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学
真题回放
1. 【2017天津，理12】若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
2. 【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.
3. 【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
基本不等式
C
高考对基本不等式的考察有这样三个方面：1、利用基本不等式证明简单不等式考查较少，一般出现在解答题中；利用基本不等式比较大小通常出现在选择题中，常与不等关系结合考查。2、利用基本不等式求最值是基本不等式考查的热点。3、常以函数应用题为载体，结合新背景考查基本不等式的实际应用。
知识链接
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4. 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
融会贯通
题型一 利用基本不等式求最值
典例1. (1)已知0
1)的最小值为________．
【答案】(1) (2)1 (3)2＋2
典例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
【答案】 4
【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
引申探究
1．条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．
2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．
【解析】
由＋＝4，得＋＝1.
∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.
当且仅当a＝b＝时取等号．
3．将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值．
【解析】
∵a＋2b＝3，
∴a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋
≥1＋2＝1＋.
当且仅当a＝b时，取等号．
解题技巧与方法总结
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
【变式训练】
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.
【答案】 (1)5 (2)4
≥(1＋m＋2)
(当且仅当＝，即y＝x时取等号)，
∴(1＋m＋2)＝3，
解得m＝4.
题型二 基本不等式的实际应用
典例3 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解题技巧与方法总结
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【变式训练】
(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．
【答案】 (1)80 (2)8
题型三 基本不等式的综合应用
典例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
【答案】 (1)A (2)
【解析】 (1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
(2) an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝＝(n＋＋1)≥
(2＋1)＝，
当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是.
典例5 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
【答案】 (1)B (2)[－，＋∞)
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，
∴－(x＋)＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)．
解题技巧与方法总结
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
【变式训练】
(1)(2017·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B. C．1 D．2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)C (2)A
＝(5＋＋)
≥(5＋2)＝.
当且仅当＝时，等号成立，
又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意．
故＋的最小值等于.
练习检测
1. （2017年黑龙江省大庆实验中学）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的
最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 12 D. 16
【答案】B
2.（2017河南省林州市第一中学）. 已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】C
【解析】由题意可得： ，由可得，
由等比数列的性质可得： 成等比数列，
则： ，综上可得：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得，则的最小值为20.
本题选择C选项.
3. （2017河南省师范大学附属中学）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）
A. B. C. D. -4
【答案】A
4. （2017云南省师范大学附属中学）. 若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线平分圆周，则直线过圆心，所以有
（当且仅当时取“=”），故选D.
5. （2017安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟）. 若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵两个正实数满足
∴，又恒成立，故，即
故选：C
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
6. （2017湖北省部分重点中学2018届高三7月联考）. 在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知成等差数列，则cosB的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7. （2017山东省寿光现代中学）. 已知a>0,b>0，且2a+b=4，则1ab的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】由2a＋b＝4，得22ab≤4，即ab≤2，
又a>0，b>0，所以1ab≥，
当且仅当2a＝b，即b＝2，a＝1时，1ab取得最小值.故选C.
8.（2017江西省六校2018届高三上学期第五次联考）. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9.（2017湖北省荆州中学）. 已知，则的最小值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 9 D. 6
【答案】B
【解析】=,当且仅当成立时，等号成立，即。选B.
10.（2017河南省南阳市第一中学）. 设，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 9 C. 7 D. 13
【答案】B
【解析】设t=x+1(t>0)，则
