高考数学知识点大串讲(3)

高考数学知识点大串讲(3)

2013 年高考数学知识点大串讲（3） 必考点三、 排列组合问题精讲 知识导航 排列组合问题精讲 高考数学试题中排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题 型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟 练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解 题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素 参与排列. 例 1. , , , ,A B C D E 五人并排站成一排，如果 ,AB必须相邻且 B 在 A 的右边，那么 不同的排法种数有（ ） A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 解析：把 ,AB视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 4 4 24A  种，答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素 全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 （ ） A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种 解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 5 5A 种，再用甲乙去插 6 个空位有 2 6A 种，不 同的排法种数是 52 56 3600AA  种，选 B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩 小倍数的方法. 主编：章晓峰（高考教学研究组教研员） 副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师） 编委会成员：（排名不分先后） 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 范晓峰 章晓峰 例 3. , , , ,A B C D E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ ,AB可以不相 邻）那么不同的排法种数是（ ） A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素 全排列数的一半，即 5 5 1 602 A  种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应 数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填 法，共有 3×3×1=9 种填法，选 B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组 法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中 选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项 任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 2 1 1 10 8 7 2520C C C  种，选C . （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不 同的分配方案有（ ） A、 4 4 4 12 8 4C C C 种 B、 4 4 4 12 8 43C C C 种 C、 4 4 3 12 8 3C C A 种 D、 4 4 4 12 8 4 3 3 C C C A 种 答案： A . 6.全员分配问题分组法: 例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同 的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成 3 组有 2 4C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 3 3A 种， 故共有 23 43 36CA 种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数 为（ ） A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案： B . 7.名额分配问题隔板法: 例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同 分配方案？ 解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法 对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 6 9 84C  种. 8.限制条件的分配问题分类法: 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部 经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案 4 8A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有 3 8A 方法，所以共有 3 83A ；③若乙参加而甲不参加同 理也有 3 83A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 2 8A 种，共有 2 87A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 4 3 3 2 8 8 8 83 3 7 4088A A A A    种. 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几 类情况分别计数，最后总计. 例 9（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有（ ） A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种 解析：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 5 5A 个， 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 4 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3, , ,A A A A A A A A A A A 个，合并总计 300 个,选 B . （2）从 1，2，3…，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除， 这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将 这 100 个 数 组 成 的 集 合 视 为 全 集 I, 能被 7 整 除 的 数 的 集 合 记 做  7,14,21, 98A  共有 14 个元素, 不能被 7 整除的数组成的集合记做  1,2,3,4, ,100A 共有 86 个元素；由此可知，从 A 中任取 2 个元素的取法有 2 14C ，从 A 中任取一个，又从 A 中任取一个共有 11 14 86CC ，两种情形共符合要求的 取法有 2 1 1 14 14 86 1295C C C种. （3）从 1，2，3，…，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法 （不计顺序）有多少种？ 解析：将  1,2,3 ,100I  分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集  4,8,12, 100A ；能被 4 除余 1 的数集  1,5,9, 97B  ，能被 4 除余 2 的数 集  2,6, ,98C  ，能被 4 除余 3 的数集  3,7,11, 99D  ，易见这四个集合中 每一个有 25 个元素；从 A 中任取两个数符合要；从 ,BD中各取一个数也符合要 求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求 的取法共有 2 1 1 2 25 25 25 25C C C C种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素 个数公式 ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B     . 例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 解析：设全集=｛6 人中任取 4 人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙 跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： ( ) ( ) ( ) ( )n I n A n B n A B    4 3 3 2 6 5 5 4 252A A A A     种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素； 再排其它的元素。 例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的 排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有 1 3A 种，4 名同学在其余 4 个位置上有 4 4A 种 方法；所以共有 14 34 72AA  种。. 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数 是（ ） A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排， 共 6 6 720A  种，选C . （2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前 排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 2 4A 种，某 1 个 元素排在后半段的四个位置中选一个有 1 4A 种，其余 5 个元素任排 5个位置上有 5 5A 种，故共有 1 2 5 4 4 5 5760A A A  种排法. 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视 机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号 的电视机，故不同的取法共有 333 9 4 5 70CCC   种,选.C 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台； 甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 2 1 1 2 5 4 5 4 70C C C C台,选C . 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的 位置上，可用先取后排法. 例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的 放法有多少种？ 解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 2 4C 种，再排：在四 个盒中每次排 3 个有 3 4A 种，故共有 23 44 144CA 种. （2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有 多少种不同的分组方法？ 解析：先取男女运动员各 2 名，有 22 54CC 种，这四名运动员混和双打练习有 2 2A 中 排法，故共有 2 2 2 5 4 2 120C C A  种. 15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中 减去不符合条件数，即为所求. 例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种 解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 4 8C 四面体，但 6 个表面 和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 4 8 12 58C 个. （2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法 共有（ ） A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 解析：10 个点中任取 4 个点共有 4 10C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面 体的四个面上，每面内四点共面的情况为 4 6C ，四个面共有 4 64C 个；②过空间四 边形各边中点的平行四边形共 3 个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个. 所以四点不共面的情况的种数是 44 10 64 3 6 141CC    种. 16.圆排问题单排法:把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列，顺序 （例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以 重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之 分，下列 n 个普通排列： 1 2 3 2 3 4 1 1, , , ; , , , , , ; , , ,n n n na a a a a a a a a a a  在圆排列中只算一种，因为旋转后可 以重合，故认为相同， n 个元素的圆排列数有 !n n 种.因此可将某个元素固定展成 单排，其它的 1n  元素全排列. 例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 4 4A 种，然后在让插入其间，每 位均可插入其姐姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 524 2 768 种 不同站法. 说明：从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1 m nAm 种不同排法. 17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不 受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 n 个不同元素排在m 个不同位置 的排列数有 nm 种方法. 例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？ 解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数 原理知共有 67 种不同方案. 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18.马路上有编号为 1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能 关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少 种？ 解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 3 5C 种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队 模型，装盒模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将 这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子 号码相同，问有多少种不同的方法？ 解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 2 5C 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号 不能对应，利用枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号 球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法， 因此总共装法数为 2 52 20C  种. 20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？ 解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶 因数 2 必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因 数为 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 32C C C C C C      个. （2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？ 解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构 成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 4 8 12 58C 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有 3×58=174 对. 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以 将复杂的问题转化为简单问题处理. 例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四 边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个 点可以确定多少个不同的四边形，显然有 4 10C 个，所以圆周上有 10 点，以这些点 为端点的弦相交于圆内的交点有 4 10C 个. （2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 A 到 B 的最 短路径有多少种？ 解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段，其 中：向东 4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走 过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 4 7C 种. A B