2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．幂函数过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先根据幂函数定义得到k=1,再代点（4,2）求出，即得的值.‎ 详解：由幂函数的定义得k=1.所以，‎ 因为幂函数经过点（4,2），所以 所以故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查幂函数的定义，考查求幂函数的解析式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 形如的函数叫幂函数，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同。函数不是幂函数，是复合函数.‎ ‎2．命题“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“， ”的否定是， ‎ 选D.‎ ‎3．已知条件： ，条件： ，则是成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. ‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】， ‎ 则 解得 ‎ ‎，解集为 故是成立的充分不必要条件 故选 ‎4．函数的零点个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】，如图，‎ 由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C。‎ ‎5．已知且，函数在同一坐标系中图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：对每一个选项逐一判断分析，看三个函数的a的范围是否一致，如果一致的就是正确答案.‎ 详解：在选项B中，先看直线的图像，得，所以过点（1,0）且单调递增.‎ 因为.所以指数函数过点（0,1）且单调递增.故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查一次函数、指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)根据多个函数的解析式找图像，一般是逐一研究每一个选项，看相同字母的取值范围是否一致，一致的就是正确答案.‎ ‎6．若函数的定义域为，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题得恒成立，再解这个恒成立问题即得解.‎ 详解：由题得恒成立，‎ a=0时，不等式恒成立.‎ a≠0时，由题得 综合得故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为不一定时一元二次不等式.‎ ‎7．已知函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可得可得a＞1，且 4﹣a×2＞0，由此求得实数a的取值范围．‎ 详解：由题意可得，a＞0，且a≠1，故函数t=4﹣ax在区间[0，2]上单调递减．‎ 再根据y=loga（4﹣ax）在区间[0，2]上单调递减，可得a＞1，且 4﹣a×2＞0，‎ 解得1＜a＜2，‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1‎ ‎）本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时不要忽略了函数的定义域，即4-ax>0恒成立.‎ ‎8．若函数满足，则的值为( )‎ A. 0 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导，再求得解.‎ 详解：‎ 令x=1,则 故答案为：A 点睛：本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.‎ ‎9．若函数同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数．则的解析式可以是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数的最小正周期为，不满足条件①，故排除A；由于函数的最小正周期为，满足条件①；当时，函数取得最大值，图象关于直线对称，故满足条件②；在上，，函数为增函数，故满足条件③；综上可得，函数满足所给的三个条件，由于函数，当时，函数值为零，图象不关于直线对称，故不满足条件②；‎ 故排除C；由于函数，当时，函数值为，不是最值，图象不关于直线对称，故不满足条件②，故排除D，故选B.‎ ‎10．函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析: 由方程f（x）=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=kx有2个交点，又k表示直线y=kx的斜率，数形结合求出k的取值范围．‎ 详解: ∵方程f（x）=kx恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=kx有2个交点，‎ 又∵k表示直线y=kx的斜率，‎ x＞1时，y=f（x）=lnx，∴y′=；‎ 设切点为（x0，y0），则k=，‎ ‎∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），‎ 又切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，‎ 如图所示；结合图象，可得实数k的取值范围是.‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答．（2）零点问题是高中数学的一个重要问题，常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.‎ ‎11．已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 有两个不同的正根, ‎ ‎,所以当 时,函数单调递增, ; 当 时,函数单调递减, ;因此的取值范围为,选D.‎ ‎;‎ ‎12．若曲线和上分别存在点 ‎ 和点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上则 范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据OA⊥OB可得=0，从而得出a关于x1+1的函数，求出此函数的值域即可得出a的范围．‎ 详解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x2=﹣x1，‎ ‎∴y1=f（x1）=，y2=g（﹣x1）=x12（x1+1）2．‎ ‎∴=（x1，y1），=（﹣x1，y2），‎ ‎∵OA⊥OB，∴=0，‎ 即﹣x12+=0，‎ ‎∴=1，即a=．‎ ‎∵﹣1＜x1＜e﹣1，∴＜x1+1＜e．‎ 令h（x）=（＜x＜e），则h′（x）=，‎ ‎∴当＜x＜时，h′（x）＜0，当＜x＜e时，h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x）在（，）上单调递减，在[，e）上单调递增，‎ ‎∴h（x）的最小值为h（）=2e，‎ 又h（）=4，h（e）=e2，‎ ‎∴h（x）的值域为[2e，e2），即a的范围为[2e，e2）．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求得a=，其二是构造函数h（x）=（＜x＜e）求其最值.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的单调递减区间为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先把函数化成分段函数，再根据其图像得到其单调减区间.‎ 详解：由题得=，‎ 所以函数在上是增函数，在上是减函数.‎ 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查分段函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)作分段函数的图像一般利用零点讨论法，先分类讨论化简解析式，再作图.‎ ‎14．若直线与曲线相切，则实数_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先对函数求导，再设切点为，列方程组解方程组即得k的值.‎ 详解：由题得设切点为，则.‎ 由题得，解之得k=1-e.故答案为：1-e.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与切线有关的问题，常要设切点，再解答.‎ ‎15．集合，若，‎ 则实数的取值范围是__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集，根据A与B的交集为空集，分两种情况考虑：B为空集与B不为空集，求出满足题意a的范围即可．‎ 详解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，且x+1≠0，‎ 解得：﹣1＜x≤4，即A=（﹣1，4]，‎ 由B中不等式解得：2a＜x＜a2+1，即B=（2a，a2+1），‎ ‎∵A∩B=∅，‎ ‎∴分两种情况考虑：当B=∅时，2a=a2+1，即a=1；‎ 当B≠∅时，则有2a≥4或a2+1≤﹣1，即a≥2，‎ 综上，实数a的范围为{1}∪[2，+∞）．‎ 故答案为：{1}∪[2，+∞）．‎ 点睛：（1）本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答集合的运算问题时，不要遗漏了空集的情况，所以本题要分B为空集与B不为空集两种情况讨论.‎ ‎16．函数，若函数在区间 内没有零点，则实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先化简函数f(x) ,再求得再根据函数在区间 内没有零点得到不等式组，最后解不等式组即得w的范围.‎ 详解：由题得f(x)=,‎ 因为 ，所以 当或时，f(x)在内无零点，由前一式得 即由k=0得，‎ K取其它整数时无解，同理，由后一式，解得，‎ 综上，w的取值范围是.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析得到当或时，f(x)在内无零点，其二是进一步转化得到不等式组解不等式组.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎⑴求，，的值；‎ ‎⑵若函数在区间上恰有个零点，求的范围 ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据函数的部分图象求出A、T、ω和φ的值；（2）根据题意，结合正弦函数的图象与性质求出b﹣a的取值范围．‎ 详解：（1）根据函数)的部分图象知，‎ A=2，.‎ 又x=时f（x）=2，‎ ‎∴2×+φ=，解得φ=；‎ ‎（2）函数g（x）=f（x）﹣1=2sin（2x+）﹣1，‎ 由g（x）=0得2sin（2x+）=1，‎ ‎∴sin（2x+）=，‎ 求得x=kπ﹣或x=kπ+，k∈Z；‎ 函数f（x）在每个周期上有两个零点，∴共有3个周期，‎ ‎∴3T﹣＜b﹣a≤3T+，‎ 即＜b﹣a≤．‎ 点睛：（1）本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析得到3T﹣＜b﹣a≤3T+.‎ ‎18．二次函数满足,且解集为 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设 ,若在上的最小值为,求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）直接根据两个已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程组即得的解析式.(2)对m分类讨论，利用二次函数的图像和性质求m的值.‎ 详解：（1）∵ ∴ 即 ① ‎ 又∵即的解集为 ‎ ‎∴是的两根且a>0. ‎ ‎∴ ②③a=2,b=1,c=-3‎ ‎∴‎ ‎（2） 其对称轴方程为 ‎①若即m<-3时，由 得不符合 ‎②若即时，得：符合 ‎③若即m>9时，=由 得不符合题意 ‎∴ ‎ 点睛：（1）本题主要考查二次函数解析式的求法和二次函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)求函数在区间上的最值，由于对称轴与区间位置关系不确定，所以要分类讨论.‎ ‎19．如图， 是正方形， 平面， ， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： 平面；‎ ‎（3）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，由线面垂直的判定定理可得；（2）设 ，取 中点 ，连结 ，可证 是平行四边形，所以 ，线面平行的判定定理可得；（3）可得 平面 ，结合已知数据，代入体积公式即可得答案.‎ 试题解析：（1）证明:因为平面， 所以.‎ 因为是正方形， 所以， ‎ 因为， 所以平面. ‎ ‎（2）证明:设， 取中点，连结， 所以， . ‎ 因为，，所以 ， 从而四边形是平行四边形， . ‎ 因为平面，平面， 所以平面，即平面. ‎ ‎（3）解:因为平面， 所以 ，因为正方形中，，所以平面，因为，，所以的面积为， ‎ 所以四面体的体积.‎ ‎20．已知函数在处取得极小值.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与曲线有三条切线，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件有，求出的值；（Ⅱ）设切点为 ，写出切线方程，将点代入切线方程中，得，依题意，方程有三个根，令，则 ，得出结果。‎ 试题解析：（Ⅰ）∵函数在处取得极小值.‎ ‎∴ ，‎ 经验证，函数的解析式为.‎ ‎（Ⅱ）设切点为，曲线的切线斜率 则切线方程为代入点，‎ 得 依题意，方程有三个根 令，‎ 则,‎ ‎∴当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， ；‎ 故在上单调递减，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴， ，‎ 当时， 与有三个交点，‎ 故时，存在三条切线.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，属于中档题。在（Ⅱ）中，依题意得出方程有三个根，且，得出的范围。‎ ‎21．函数图象与函数（）图象关于直线对称 ‎（1）求解析式 ‎（2）若在区间（）上的值域为，求实数范围；‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求函数（）的反函数即得解析式.(2)先根据函数f(x)的单调性得到，，再等价转化方程，有两个相异的解即得p的取值范围.‎ 详解：（1）因为（），所以 所以交换x,y得 因为（）的值域为，‎ 所以函数的定义域为.‎ 故.‎ ‎（2）因为，所以在上为单调递增函数，所以在区间（），‎ ‎，，即，，，所以，是方程，‎ 即方程，有两个相异的解,‎ 等价于解得为所求．‎ 点睛：（1）本题主要考查反函数的求法，考查指数对数函数的图像和性质，考查一元二次方程的根的情况的判断,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是得到，之后的转化，，是方程，即方程，有两个相异的解.‎ ‎22．设函数. ‎ ‎（1）若，证明： 在上存在唯一零点；‎ ‎（2）设函数，（ 表示中的较小值），若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明在上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值.‎ 试题解析：‎ 解：(1)函数的定义域为，因为，当时， ，而，所以在存在零点.因为，当时， ，所以，则在上单调递减，所以在上存在唯一零点.‎ ‎（2）由（1）得， 在上存在唯一零点， 时， 时，‎ ‎.当时，由于； 时， ，于是在单调递增，则，所以当时， .当时，因为， 时， ，则在单调递增； 时， ，则在单调递减，于是当时， ，所以函数的最大值为，所以的取值范围为.‎