高中数学 2_1_2 演绎推理同步练习 新人教A版选修2-2

高中数学 2_1_2 演绎推理同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 ‎2.1.2‎ 演绎推理 一、选择题 ‎1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)‎ A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 ‎[答案]　B ‎[解析]　由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.‎ ‎2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是(　　)‎ A．大前提错　　　　　　　‎ B．小前提错 C．结论错 ‎ D．正确的 ‎[答案]　D ‎[解析]　前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.‎ ‎3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)‎ A．类比推理 ‎ B．归纳推理 C．演绎推理 ‎ D．一次三段论 ‎[答案]　C ‎[解析]　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．‎ ‎4．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”．上面推理的错误是(　　)‎ A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 ‎[答案]　A ‎[解析]　对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．‎ ‎5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　)‎ A．① ‎ B．②‎ C．③ ‎ D．①②‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.‎ ‎6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是(　　)‎ A．① ‎ B．②‎ C．①② ‎ D．③‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　易知应为②.故应选B.‎ ‎7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理(　　)‎ A．大前提错 ‎ B．小前提错 C．推论过程错 ‎ D．正确 ‎[答案]　C ‎[解析]　大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.‎ ‎8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理(　　)‎ A．正确 ‎ B．推理形式正确 C．两个自然数概念不一致 ‎ D．两个整数概念不一致 ‎[答案]　A ‎[解析]　三段论的推理是正确的．故应选A.‎ ‎9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为(　　)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；‎ 如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.‎ ‎10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误 ‎[答案]　D ‎[解析]　应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．‎ 二、填空题 ‎11．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．‎ ‎[答案]　log2x－2≥0‎ ‎[解析]　由三段论方法知应为log2x－2≥0.‎ ‎12．以下推理过程省略的大前提为：________.‎ ‎∵a2＋b2≥2ab，‎ ‎∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.‎ ‎[答案]　若a≥b，则a＋c≥b＋c ‎[解析]　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.‎ ‎13．(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝，‎4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　令y＝1得‎4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)‎ 即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)　①‎ 令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)　②‎ 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，‎ 即f(x－1)＝－f(x＋2)‎ ‎∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)‎ ‎∴f(x)＝f(x＋6)‎ 即f(x)周期为6，‎ ‎∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)‎ 对‎4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得 ‎4f‎(1)f(0)＝‎2f(1)，‎ ‎∴f(0)＝即f(2010)＝.‎ ‎14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．‎ ‎[答案]　四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等 ‎[解析]　设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，‎ 又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．‎ 因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．‎ 三、解答题 ‎15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.‎ ‎[证明]　如下图延长AB，DC交于点M.‎ ‎①平行线分线段成比例大前提 ‎②△AMD中AD∥BC小前提 ‎③＝结论 ‎①等量代换大前提 ‎②AB＝CD小前提 ‎③MB＝MC结论 在三角形中等边对等角大前提 MB＝MC小前提 ‎∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论 等量代换大前提 ‎∠B＝π－∠1　∠C＝π－∠2小前提 ‎∠B＝∠C结论 ‎16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．‎ ‎[证明]　若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提 ‎∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提 ‎∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论 ‎17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．‎ 若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．‎ ‎[解析]　推理的第一个关键环节：‎ 大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，‎ 小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，‎ 结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．‎ ‎∴|－a＋2|－6＝0与|‎2a＋2|－6＝0同时成立．‎ 推理的第二个关键环节：‎ 大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，‎ 小前提：|－a＋2|＝6且|‎2a＋2|＝6，‎ 结论：－a＋2＝±6且‎2a＋2＝±6.‎ 以下可得出结论a＝－4.‎ ‎18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．‎ ‎(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；‎ ‎(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A、B两点到抛物线的准线的距离相等．‎ ‎∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.‎ ‎∴上述条件等价于 y1＝y2⇔x＝x⇔(x1＋x2)(x1－x2)＝0.‎ ‎∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.‎ ‎(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－.‎ A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝＋‎8m>0，即m>－.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则 x0＝(x1＋x2)＝－，‎ y0＝－x0＋m＝＋m.‎ 由N∈l，得＋m＝－＋b，于是 b＝＋m>－＝.‎ 即得l在y轴上截距的取值范围是.‎