2019届二轮复习（理）第十二章选考部分第75讲课件（35张）（全国通用）

2019届二轮复习（理）第十二章选考部分第75讲课件（35张）（全国通用）

第 75 讲　不等式选讲 考试要求　 1. 不等式的基本性质 (B 级要求 ) ； 2.| ax ＋ b | ≤ c ， | ax ＋ b | ≥ c ， | x － a | ＋ | x － b | ≤ c 型不等式的解法 (B 级要求 ) ； 3. 不等式证明的基本方法 ( 比较法、综合法、分析法 )(B 级要求 ) ； 4. 算术 — 几何平均不等式与柯西不等式 (A 级要求 ) ； 5. 利用不等式求最大 ( 小 ) 值 (B 级要求 ) ； 6. 运用数学归纳法证明不等式 (B 级要求 ). 1. 求不等式 | x － 1| － | x － 5|<2 的解集 . 解　 ① 当 x ≤ 1 时，原不等式可化为 1 － x － (5 － x )<2 ， ∴ － 4<2 ，不等式恒成立， ∴ x ≤ 1. ② 当 1< x <5 时，原不等式可化为 x － 1 － (5 － x )<2 ， ∴ x <4 ， ∴ 1< x <4 ， ③ 当 x ≥ 5 时，原不等式可化为 x － 1 － ( x － 5)<2 ，该不等式不成立 . 综上，原不等式的解集为 ( － ∞ ， 4). 诊 断 自 测 2. 若存在实数 x 使 | x － a | ＋ | x － 1| ≤ 3 成立，求实数 a 的取值范围 . 解　 ∵ | x － a | ＋ | x － 1| ≥ |( x － a ) － ( x － 1)| ＝ | a － 1| ， 要使 | x － a | ＋ | x － 1| ≤ 3 有解， 可使 | a － 1| ≤ 3 ， ∴ － 3 ≤ a － 1 ≤ 3 ， ∴ － 2 ≤ a ≤ 4. 故实数 a 的取值范围为 [ － 2 ， 4]. 1. 绝对值不等式的解法 (1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集： 知 识 梳 理 不等式 a >0 a ＝ 0 a <0 | x |< a ___________ ∅ ∅ | x |> a ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞) ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞) R ( － a ， a ) (2)| ax ＋ b | ≤ c ( c >0) 和 | ax ＋ b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法 ： ① | ax ＋ b | ≤ c ⇔ ________________ ； ② | ax ＋ b | ≥ ________________________ ； (3)| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c >0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c >0) 型不等式的解法： ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 . － c ≤ ax ＋ b ≤ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c 2. 含有绝对值的不等式的性质 (1) 如果 a ， b 是实数， 则 _________ ≤ | a ± b | ≤ _________ ，当且仅当 ________ 时 ，等号成立 . (2) 如果 a ， b ， c 是实数，那么 | a － c | ≤ ____________ ，当且仅当 _ __ ___________ 时 ，等号成立 . | a | － | b | | a | ＋ | b | ab ≥ 0 | a － b | ＋ | b － c | ( a － b )( b － c ) ≥ 0 3. 不等式证明的方法 a － b >0 (2) 综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法 . 即 “ __ ___ ______ ” 的方法 . (3) 分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 ( 已知条件、定理等 ) ，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法 . 即 “ _______ ___ _ ” 的方法 . 由因导果 执果索因 (4) 反证法和放缩法： ① 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法 . ② 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法 . (5) 数学归纳法： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n 0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： ① 证明当 n ＝ n 0 时命题成立； ② 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ，且 k ≥ n 0 ) 时命题成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立 . 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n 0 的所有正整数都成立 . 这种证明方法称为数学归纳法 . 4. 几个常用基本不等式 (1) 柯西不等式： ① 柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) ≥ _________( 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立 ). ② 柯西不等式的向量形式：设 α ， β 为平面上的两个向量，则 | α || β | ≥ | α · β | ，等号当且仅当 α ， β 共线时成立 . ( ac ＋ bd ) 2 考点一　绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值 【例 1 － 1 】 (2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － 2| x － a | ， a >0. (1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x )>1 的解集； (2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 a 的取值范围 . 解　 (1) 当 a ＝ 1 时， f ( x )>1 化为 | x ＋ 1| － 2| x － 1| － 1>0. 当 x ≤ － 1 时，不等式化为 x － 4>0 ，无解； 当 x ≥ 1 时 ，不等式 化为－ x ＋ 2>0 ，解得 1 ≤ x <2. 规律方法 　形如 | x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( 或 ≤ c ) 型的不等式主要有三种解法： (1) 分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ( － ∞ ， a ] ， ( a ， b ] ， ( b ，＋ ∞ )( 此处设 a ＜ b ) 三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集； (2) 几何法，利用 | x － a | ＋ | x － b | ＞ c ( c ＞ 0) 的几何意义：数轴上到点 x 1 ＝ a 和 x 2 ＝ b 的距离之和大于 c 的全体； (3) 图象法：作出函数 y 1 ＝ | x － a | ＋ | x － b | 和 y 2 ＝ c 的图象，结合图象求解 . 【例 1 － 2 】 (1) 对任意 x ， y ∈ R ，求 | x － 1| ＋ | x | ＋ | y － 1| ＋ | y ＋ 1| 的最小值 . (2) 对于实数 x ， y ，若 | x － 1| ≤ 1 ， | y － 2| ≤ 1 ，求 | x － 2 y ＋ 1| 的最大值 . 解　 (1) ∵ x ， y ∈ R ， ∴ | x － 1| ＋ | x | ≥ |( x － 1) － x | ＝ 1 ， | y － 1| ＋ | y ＋ 1| ≥ |( y － 1) － ( y ＋ 1)| ＝ 2 ， ∴ | x － 1| ＋ | x | ＋ | y － 1| ＋ | y ＋ 1| ≥ 1 ＋ 2 ＝ 3. ∴ | x － 1| ＋ | x | ＋ | y － 1| ＋ | y ＋ 1| 的最小值为 3. (2)| x － 2 y ＋ 1| ＝ |( x － 1) － 2( y － 1)| ≤ | x － 1| ＋ |2( y － 2) ＋ 2| ≤ 1 ＋ 2| y － 2| ＋ 2 ≤ 5 ， 即 | x － 2 y ＋ 1| 的最大值为 5. 规律方法　 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1) 利用绝对值的几何意义 . (2) 利用绝对值三角不等式，即 | a | ＋ | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | － | b |. (3) 利用零点分区间法 . 考点二　绝对值不等式的综合应用 (1) 求 M ； (2) 证明：当 a ， b ∈ M 时， | a ＋ b |<|1 ＋ ab |. 规律方法 　 (1) 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决 . (2) 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 . 【训练 1 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . (1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； (2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求实数 a 的取值范围 . 解 　 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2. 解不等式 |2 x － 2| ＋ 2 ≤ 6 得－ 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3}. (2) 当 x ∈ R 时， 所以当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 － a | ＋ a ≥ 3. ① 当 a ≤ 1 时， ① 等价于 1 － a ＋ a ≥ 3 ，无解 . 当 a >1 时， ① 等价于 a － 1 ＋ a ≥ 3 ，解得 a ≥ 2. 所以实数 a 的取值范围是 [2 ，＋ ∞). 考点三　证明不等式 证明　 当 | a ＋ b | ＝ 0 时，不等式显然成立 . 当 | a ＋ b |≠0 时， 【例 3 － 2 】 设 a ， b ， c ＞ 0 ，且 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1. 由于 a ， b ， c ＞ 0 ，因此只需证明 ( a ＋ b ＋ c ) 2 ≥ 3. 即证： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3 ，而 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1 ， 故需证明： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3( ab ＋ bc ＋ ca ). 即证： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ca . 规律方法 　当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 . 证明　 由 2 n ≥ n ＋ k > n ( k ＝ 1 ， 2 ， … ， n ) ，得 考点四　柯西不等式的应用 解 　由柯西不等式可得 证明　 由柯西不等式及题意得，