福建省莆田第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题

福建省莆田第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题

‎2019-2020学年高三12月考（文数）试卷 命题人：高三数学备课 组审核人：高三数学备课组 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|lnx＜1}，B={y|y=}，则A∪B=（　　）‎ A. B. C. D. ,‎ 2. 复数,则​（   ）‎ A. 5 B. 3 C. D. ‎ 3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎4．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是(  )‎ A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 ‎ D．月跑步平均里程逐月增加 ‎5.已知向量,满足,,,则向量在方向上的投影为( )‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎6.函数f（x）=的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.将函数f(x)=cos(2x-)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(    ).‎ A. B. 在区间上是增函数 C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 ‎8.已知数列满足，，则（）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）‎ A. B. 24 C. 16 D. 8‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（  ） A. B. C. D. ‎ ‎11. 定义在R上的偶函数，其导函数，当时，恒有，若，则不等式的解集为    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C.6 D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= . ‎ ‎14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为________．‎ ‎15.在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是 .‎ ‎16.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，将数列、中的共有元素依次取出，构成数列，则c10=________．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.（本题12分）已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小值； （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（C）=1，S△ABC=，c=，求△ABC的周长．‎ ‎18. （本题12分）某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；‎ ‎（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．‎ ‎19.（本题12分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，E是棱PC上一点．‎ ‎(1)证明：平面ADE⊥平面PAB．‎ ‎ (2)若PE＝4EC，O为点E在平面PAB上的投影，，AB＝AP＝2CD＝2，求四棱锥P－ADEO的体积． ‎ ‎20.（本题12分）‎ 已知椭圆的长轴与短轴比值是2，椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（0，m）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值 ‎ ‎21.（本题12分）函数f（x）＝（x＋b）（ex-a）（b＞0）的图象在x＝-1处的切线方程是（e-1）x＋ey＋e-1＝0．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若m≤0，证明：f（x）≥mx2＋x．‎ 请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 ‎22.（本题10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设M（1，1），求的值． ‎ ‎23. ‎ ‎ ‎ ‎2019-2020学年高三12月考（文数）答案和解析 ‎1. C 2. A. 3A. 4.B. 5.A 6.D 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.C 13. 14. -3 15. 6 p 16. 812 .‎ ‎17. 解：（Ⅰ）根据题意， = ． 当时，f（x）取最小值为． （Ⅱ），即， 又由C∈（0，π），则，则； ，解可得ab=3， 由余弦定理得， ∴（a+b）2=16，即a+b=4，∴， 所以△ABC的周长为． ‎ ‎18. 解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02． （2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A， 基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2）， （a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4． ‎ ‎19. (1)证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AB⊥AD，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB， 又平面ADE，所以平面ADE⊥平面PAB； (2)解：取AB的中点F， 所以CF∥AD，则CF⊥AB ‎， 又PA⊥CF，PA∩AB＝A，所以CF⊥面PAB， 则EO∥CF，即O点在线段PF上， 又PE＝4EC，所以PO＝4OF，， 则，，   ，． ‎ ‎20. 解：（1）∵椭圆的长轴与短轴比值是2， ∴a=2b，设椭圆C的方程为：​， ∵椭圆C过点， ∴，∴b=1，a=2， ∴椭圆C的标准方程为． （2）由题意知，|m|≥1． 由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m， 由，得， 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）， 则， 又∵l与圆x2+y2=1相切， ∴=1，k2=m2-1， ∴|AB|= = =， ∴，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞） ∴（当且仅当时取等号） ∴当时，S△AOB的最大值为1． ‎ ‎21. 解：（1）由得该切线斜率为且， 所以， 解得或， 又 ‎， 所以， 若，则，与矛盾， 故，. （2）证明：由（1）可知， 由，可得， 令，， 当时，， 当时，设，， 故函数在上单调递增，又， 所以当时，， 即函数在区间上单调递减， 当时，， 即函数在区间上单调递增， ， 所以， 即. ‎ ‎22. 解：（1）由（t为参数）消去参数t，可得直线l的普通方程为：, 由得 所以曲线C的直角坐标方程为：; （2）依题意可得直线l的参数方程为：（m为参数）， 将其代入曲线C的方程得：m2+m-3=0，显然， 且设点A、B对应的参数分别为m1和m2, 所以， 所以 ​= ​=. ‎ ‎23. 解：（1）当a=-3时，f（x）≥3即|x-3|+|x-2|≥3，‎ 即或或，‎ 解得或，‎ 即原不等式的解集为； ‎ ‎（2）f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]， 即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，‎ 即在[1，2]上恒成立，‎ 等价于，即，‎ 所以在[1，2]上恒成立，‎ 故当时，-2-x的最大值为-2-1=-3，2-x的最小值为0.‎ 故a的取值范围为[-3,0]．‎