数学卷·2018届四川省绵阳市南山中学高二下学期入学数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届四川省绵阳市南山中学高二下学期入学数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（下）入学数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1．已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则其圆心和半径分别为（　　）‎ A．（1，2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），2 D．（1，﹣2），4‎ ‎2．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（　　）‎ A．2 B．±2 C．﹣2 D．0‎ ‎3．南山中学实验学校2015级入学考试共设置60个试室，试室编号为001～060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取12个试室进行抽查，已抽看了007试室号，则下列可能被抽到的试室号是（　　）‎ A．002 B．031 C．044 D．060‎ ‎4．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1‎ ‎5．根据下面框图，当输入x为8时，输出的y=（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎6．过点（3，2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．在区间[0，2π]内任取一个实数x，使得的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ t ‎4.8‎ ‎6.7‎ 且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（　　）‎ A．4.7 B．4.6 C．4.5 D．4.4‎ ‎9．直线被圆（x﹣1）2+y2=1截得的线段的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．方程=k（x﹣3）+4有两个不同的解时，实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，+∞） C．（，） D．（，]‎ ‎11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎12．已知圆M：（x+）2+y2=64，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G 在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.‎ ‎13．三维空间中点P（1，1，﹣1）关于XOY平面对称点为　　．‎ ‎14．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是　　．‎ ‎15．双曲线8mx2﹣my2=8的一个焦点是（3，0），那么m的值为　　．‎ ‎16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=，则C的离心率e=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知圆C：x2+y2﹣8y+14=0，直线l过点（1，1）‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；‎ ‎（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．‎ ‎18．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．‎ ‎（1）求出第4组的频率；‎ ‎（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；‎ ‎（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？‎ ‎19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ 临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+c+b+d）．‎ ‎20．如图，设F（﹣c，0）是椭圆的左焦点，点P（﹣，0）是x轴上的一点，点M，N为椭圆的左、右顶点，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P作直线l交椭圆于A，B两点，试判定直线AF，BF的斜率之和kAF+kBF是否为定值，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（下）入学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1．已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则其圆心和半径分别为（　　）‎ A．（1，2），4 B．（1，﹣2），2 C．（﹣1，2），2 D．（1，﹣2），4‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用圆的标准方程的性质求解．‎ ‎【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心为（﹣1，2），半径为2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（　　）‎ A．2 B．±2 C．﹣2 D．0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．‎ ‎【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，‎ ‎∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，‎ 经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去 故选：A ‎　‎ ‎3．南山中学实验学校2015级入学考试共设置60个试室，试室编号为001～060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取12个试室进行抽查，已抽看了007试室号，则下列可能被抽到的试室号是（　　）‎ A．002 B．031 C．044 D．060‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为60÷12=5，‎ ‎∵样本一个编号为007，‎ 则抽取的样本为：002，007，012，017，022，027，032，037，042，047，052，057‎ ‎∴可能被抽到的试室号是002，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行可得程序的功能为计算并输出y=的值，根据输出y的值为1，分类讨论可得x的值．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能为计算并输出y=的值，‎ 若输出y的值为1，‎ 当x≥1时，1=x3，解得：x=1；‎ 当x＜1时，1=﹣x2+1，解得：x=0．‎ 综上，则输入x的值为1或0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．根据下面框图，当输入x为8时，输出的y=（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＜0，确定输出y的值．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=8‎ x=5‎ 满足条件x≥0，x=2‎ 满足条件x≥0，x=﹣1‎ 不满足条件x≥0，y=2‎ 输出y的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．过点（3，2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆3x2+8y2=24的焦点（，0），可得c=‎ ‎，设椭圆的方程为：，‎ 可得：，a2﹣b2=5，解得a=，b=，‎ 所求的椭圆方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在区间[0，2π]内任取一个实数x，使得的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据余弦函数的性质以及几何概型的定义求出满足条件的概率即可．‎ ‎【解答】解：由余弦函数的性质得：‎ y=cosx在[0，]和[，2π]上时，cosx≥，‎ 故满足条件的概率是：p==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ t ‎4.8‎ ‎6.7‎ 且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（　　）‎ A．4.7 B．4.6 C．4.5 D．4.4‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出t．‎ ‎【解答】解：∵=（0+1+2+3+4）=2， =（2.2+4.3+t+4.8+6.7）=‎ 代入回归方程=0.95x+2.6，得t=4.5，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．直线被圆（x﹣1）2+y2=1截得的线段的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理，即可求得弦长．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心到直线的距离为=，‎ ‎∴直线被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为2=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．方程=k（x﹣3）+4有两个不同的解时，实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，+∞） C．（，） D．（，]‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】问题转化为半圆和过定点的直线有两个交点，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：设y=，平方可得y2=9﹣x2，即x2+y2=9，‎ 其图形为半圆，圆心在原点，半径为3；‎ 又直线y=k（x﹣3）+4过定点（3，4），‎ 由数形结合可知：当直线y=k（x﹣3）+4与半圆y=有两个交点时，＜k≤‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）‎ 抛物线准线y=﹣1，‎ 根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：‎ S==‎ 由抛物线定义 ‎=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）‎ ‎≥﹣1=2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知圆M：（x+）2+y2=64，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G 在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知得Q为PN的中点且GQ⊥PN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，由此能求出点G的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：∵圆，定点，点P为圆M上的动点，‎ ‎∴M（﹣，0），PM=8，‎ ‎∵点Q在NP上，， =0，‎ ‎∴Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，‎ ‎∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=8，‎ 故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，‎ ‎∴短半轴长b==3，‎ ‎∴点G的轨迹方程是=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.‎ ‎13．三维空间中点P（1，1，﹣1）关于XOY平面对称点为　（1，1，1）　．‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】直接利用空间直角坐标系，求出点P（1，1，1）关于xoy平面的对称点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：点P（1，1，﹣1）关于xoy平面的对称点，纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标（1，1，1），‎ 故答案为：（1，1，1）．‎ ‎　‎ ‎14．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是　64　．‎ ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】中位数是指一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数，注意：和众数不同，中位数不一定在这组数据中）．故只须依据茎叶图写出甲乙两人比赛得分，即可找出中位数．‎ ‎【解答】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28‎ ‎∴甲的中位数为28‎ 乙的得分共有9个，中位数为36‎ ‎∴乙的中位数为36‎ 则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64‎ 故答案为：64．‎ ‎　‎ ‎15．双曲线8mx2﹣my2=8的一个焦点是（3，0），那么m的值为　1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据题意，将方程化为标准方程，再利用c2=a2+b2，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：把方程化为标准形式=1，‎ ‎∴a2=，b2=．‎ ‎∴c2=+=9，解得m=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=，则C的离心率e=　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，设右焦点为F′，由椭圆的对称性与定义可得：BF′=AF=6，BF=2a﹣6．在△ABF中，由余弦定理可得：cos∠FAB==，解得a，在△OAF中，由余弦定理可得：c．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设右焦点为F′，由椭圆的对称性与定义可得：BF′=AF=6，BF=2a﹣6．‎ 在△ABF中，由余弦定理可得：‎ cos∠FAB==，‎ 解得a=7，‎ 在△OAF中，由余弦定理可得：c2=62+52﹣2×6×5×=25，解得c=5．‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知圆C：x2+y2﹣8y+14=0，直线l过点（1，1）‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；‎ ‎（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）确定圆心与半径，利用直线l与圆C相切，分类讨论，即可求直线l的方程；‎ ‎（2）由，得d=1，分类讨论，即可求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8y+14=0，配方，得x2+（y﹣4）2=2，‎ 圆心C（0，4），半径，‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，l：x=1，此时l不与圆相切． 2分 ‎②若直线l的斜率，设l：y﹣1=k（x﹣1），由得k=7或﹣1，‎ 所以直线方程为7x﹣y﹣6=0或x+y﹣2=0‎ ‎（2）由，得d=1，‎ ‎①若当直线l的斜率不存在时，l：x=1，满足题意 ‎ ‎②若直线l的斜率存在，设l：y﹣1=k（x﹣1）由 得，此时l：4x+3y﹣7=0x=1‎ 综上所述l方程为x=1或4x+3y﹣7=0‎ ‎　‎ ‎18．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．‎ ‎（1）求出第4组的频率；‎ ‎（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；‎ ‎（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图能求出第4组的频率．‎ ‎（2）由频率分布直方图能估计样本的中位数．‎ ‎（3）从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，再从这5人中选2人，基本事件总数n==10，至少有一人是“优秀”的对立事件是两人都是良好，由此能求出至少有一人是“优秀”的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得：‎ 第4组的频率为：p=1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2．‎ ‎（2）由频率分布直方图得：‎ ‎[75，85）的频率为（0.01+0.07）×5=0.4，‎ ‎[85，90）的频率为：0.06×5=0.3，‎ ‎∴根据样本频率分布直方图估计样本的中位数为：‎ ‎85+=．‎ ‎（3）从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人与2人，‎ 再从这5人中选2人，‎ 基本事件总数n==10，‎ 至少有一人是“优秀”的对立事件是两人都是良好，‎ ‎∴至少有一人是“优秀”的概率p=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ 临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+c+b+d）．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）根据列联表各数据之间的关系，填写列联表；‎ ‎（2）利用公式计算相关指数K2的值，比较与临界值的大小可得判断两变量有关的可靠性程度．‎ ‎【解答】解：（1）列联表补充如下：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）K2的观测值K=≈8.333＞‎ ‎7.879，‎ 又P（K2≥7.789）=0.005=0.5%．‎ ‎∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系．‎ ‎　‎ ‎20．如图，设F（﹣c，0）是椭圆的左焦点，点P（﹣，0）是x轴上的一点，点M，N为椭圆的左、右顶点，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P作直线l交椭圆于A，B两点，试判定直线AF，BF的斜率之和kAF+kBF是否为定值，并说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由2a=8，﹣a=2（a﹣c），即可求得c的值，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，kAF=kBF=0，当直线l的斜率不为0，代入椭圆方程由韦达定理及直线的斜率公式即可求得kAF+kBF=0为定值，‎ ‎【解答】解：（1）由2a=丨MN丨=8，则a=4，|PM|=2|MF|，则﹣a=2（a﹣c），即a2﹣3ac+2c2=0，‎ 整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2或c=4（舍去），‎ ‎∴b2=a2﹣c2=12，‎ 椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当直线l的斜率为0，显然kAF=kBF=0，则kAF+kBF=0，‎ 当直线l的斜率不为0，直线x=my﹣8，‎ ‎，整理得：（3m2+4）y2﹣48my+144=0，‎ 则△=（﹣48m）2﹣4×144（3m2+4）=576（m2﹣4）＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，‎ 设A（xA，yA），B（xB，yB），则y1+y2=，y1y2=，‎ 则kAF+kBF=+=+，‎ ‎==，‎ 由2myAyB﹣6（yA+yB）=2m×﹣6×=0，‎ ‎∴kAF+kBF=0．‎