2015届高三一轮理科数学《三年经典双基测验》16

2015届高三一轮理科数学《三年经典双基测验》16

一．单项选择题。（本部分共5道选择题）‎ ‎1． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是(　　)．‎ A．0＜a≤1 B．a＜1‎ C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0‎ 解析　(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.[来源:学§科§网]‎ 答案　C[来源:学#科#网]‎ ‎2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)．‎ A．(－2，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1,2)‎ 解析　f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点．‎ 答案　B ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于(　　)．‎ A．－ B. C．－1 D．1[来源:学科网ZXXK]‎ 解析　根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.‎ 答案　D ‎4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)．‎ A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)‎ C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)‎ 解析　不等式(x－1)f′(x)≥0等价于或 可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．‎ 答案　C ‎5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)‎ A. B．3 C. D.[来源:Com]‎ 解析 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.‎ 答案　A[来源:学科网]‎ 二．填空题。（本部分共2道填空题）‎ ‎1．如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是实数，则实数m＝________.‎ 解析 (m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(1＋m3)i.于是有1＋m3＝0⇒m＝－1.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 答案　－1‎ ‎2．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：‎ ‎①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.‎ 其中正确的个数是________．‎ 解析　如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，‎ PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.‎ 又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.‎ 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.‎ 答案　3个 三．解答题。（本部分共1道解答题）‎ 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.‎ ‎(1)设c＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．‎ 解析　(1)an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，‎ 即bn＋1＝4bn＋2.‎ bn＋1＋＝4，又a1＝1，故b1＝＝－1，‎ 所以是首项为－，公比为4的等比数列，‎ bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.‎ ‎(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.‎ 用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.‎ ‎(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；‎ ‎(ⅱ)设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak＜ak＋1，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1.‎ 故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，an＜an＋1.‎ 当c＞2时，因为c＝an＋1＋＞an＋，‎ 所以a－can＋1＜0有解，‎ 所以＜an＜，令α＝，‎ 当2＜c≤时，an＜α≤3.‎ 当c＞时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝(α－an)＜(α－an)＜(α－an－1)＜…(α－1)．‎ 当n＞log3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾．‎ 因此c＞不符合要求．‎ 所以c的取值范围是.‎