2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练48　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练48　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时分层训练(四十八)　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎(对应学生用书第297页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A．x－y＋1＝0　　　 B．x－y－1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0‎ D　[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]‎ ‎2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　)‎ A．a＋b＝1 B．a－b＝1‎ C．a＋b＝0 D．a－b＝0‎ D　[由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.‎ 又因为tan α＝－，所以－＝－1，则a＝b.]‎ ‎3．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为(　　)‎ A．－ B．－3‎ C. D．3‎ A　[结合图形(图略)可知选A.]‎ ‎4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝，则l的斜率为(　　) ‎ ‎【导学号：79140264】‎ A．－ B．－或－2‎ C.或2 D．－2‎ D　[∵sin θ＋cos θ＝①‎ ‎∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，‎ ‎∴2sin θcos θ＝－，∴(sin θ－cos θ)2＝，‎ 易知sin θ＞0，cos θ＜0，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝，②‎ 由①②解得∴tan θ＝－2，即l的斜率为－2，故选D.]‎ ‎5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)‎ C　[令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所围三角形的面积为|－b|＝b2，所以b2≤1，所以b2≤4，又由题意知b≠0，所以b∈[－2,0)∪‎ ‎(0,2]．]‎ 二、填空题 ‎6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．‎ ‎－　[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，‎ ‎∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，‎ ‎∴P(－2,1)，‎ ‎∴k＝＝－.]‎ ‎7．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是________．‎ x－y＋3＝0　[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]‎ ‎8．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140265】‎ ‎(－∞，－1)∪　[设直线l的斜率为k，则k≠0，直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.]‎ 三、解答题 ‎9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：‎ ‎(1)BC边所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎(3)BC边的垂直平分线DE的方程．‎ ‎[解]　(1)直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)设BC边的中点D的坐标为(m，n)，‎ 则m＝＝0，n＝＝2.‎ BC边的中线AD所在直线过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.‎ ‎(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，‎ 则BC边的垂直平分线DE的斜率k2＝2.‎ 由(2)知，点D的坐标为(0,2)．‎ 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)‎ 即2x－y＋2＝0.‎ ‎10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：79140266】‎ ‎[解]　(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，‎ ‎∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不过原点时，截距存在且均不为0，‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1，‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴或∴a≤－1.‎ 综上可知，a的取值范围是a≤－1.‎ B组　能力提升 ‎11．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　)‎ A．2x＋y－7＝0　　 B．x＋y－5＝0‎ C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0‎ B　[由条件得点A的坐标为(－1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为|PA|＝|PB|，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.]‎ ‎12．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________. ‎ ‎【导学号：79140267】‎ ‎3　[直线AB的方程为＋＝1.‎ ‎∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，‎ ‎∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)‎ ‎＝≤3，‎ 即当P点坐标为时，xy取最大值3.]‎ ‎13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得 ‎∴无论k取何值，直线l必经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，‎ 要使直线不经过第四象限，则必有 解得k＞0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．‎ 综上，k的取值范围是k≥0.‎ ‎(3)依题意得A，B(0,1＋2k)，‎ 且解得k＞0.‎ ‎∴S＝·|OA|·|OB|‎ ‎＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是4k＝，此时k＝，∴Smin＝4，‎ 此时l的方程为x－2y＋4＝0.‎