河南省周口市中英文学校2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

河南省周口市中英文学校2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

周口中英文学校2019-2020学年度上期高二第一次月考 数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前在答题卡上填写好自己的班级、姓名、班级、考号、考场号、座位号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.在中，若，则的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理化简得角，即得三角形形状.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 即的形状为直角三角形，选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形形状，考查基本分析化简与判断能力，属基础题.‎ ‎2.设等差数列的前n项和为，且，则的值是（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得,即,利用等差数列的性质可得.‎ ‎【详解】由得，，即，所以 ‎，选C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查等差数列的性质：若则,考查运算求解能力，属于基本题.‎ ‎3.钝角中，若，则最大边的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理以及三角形三边关系列不等式，解得结果.‎ ‎【详解】因为钝角，所以，‎ 又因，选A.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.在中，若，则的形状是( )．‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可求得；根据余弦定理可判断出，进而得到结果.‎ ‎【详解】由正弦定理可知： ‎ ‎，可知为钝角三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的问题，属于基础题.‎ ‎5.等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等差数列的性质化简已知条件，由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列性质的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6.若 的三个内角满足,则（ ）.‎ A. 一定是直角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理得边的关系，再根据余弦定理求最大角的余弦值，最后根据符号确定选项.‎ ‎【详解】因为，所以,‎ 因此最大角为C，设,则，所以C为钝角，即一定是钝角三角形，选B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析与求解能力，属基础题.‎ ‎7.已知{an}是等差数列，满足：对∀n∈N*，an+an+1＝2n，则数列{an}的通项公式an＝（　　）‎ A. n B. n﹣1 C. n﹣ D. n+‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.‎ ‎【详解】解：由得，‎ 两式相减得，‎ 故.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出是解题的关键.‎ ‎8.在中，角对边分别是，满足，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，再利用余弦定理即可求出的值，代入三角形面积公式即可。‎ ‎【详解】，，‎ 又，由余弦定理可得： ‎ ‎ ，解得：，‎ 由三角形面积公式可得 ‎ 故答案选B。‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查学生化简、变形的能力，属于中档题。‎ ‎9.中，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求解.‎ ‎【详解】由正弦定理得，选B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.等差数列中其前n项和为, 则为( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前项和性质可得：，，成等差数列；根据等差数列定义可求得结果.‎ ‎【详解】由等差数列前项和性质可知：，，成等差数列 又， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和性质的应用问题，属于基础题.‎ ‎11.在数列中，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把通项公式进行配方，求出最大值，要注意.‎ ‎【详解】，当或时，最大，‎ 所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的最大项问题.‎ ‎12.已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 因为等差数列的前项和有最大值，所以，‎ 又，所以，，且，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以满足的最大正整数的值为10‎ ‎【点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎13.在等差数列中，，，则公差__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质可得，从而．‎ ‎【详解】因为，故，所以，填．‎ ‎【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 等差数列.‎ ‎14.在中，，则角的大小为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出的形式，进而求得结果.‎ ‎【详解】由正弦定理得：，即 则 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.‎ ‎15.如图，为测量某山峰的高度（即的长），选择与在同一水平面上的，为观测点.在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为.若米，，则山峰的高为_________米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出OP，分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度．‎ ‎【详解】设OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=．‎ 在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝h 在△AOB中，由余弦定理得 ‎，‎ 得h＝（米）．则山峰的高为m．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．‎ ‎16.设等差数列的前项和为，若，，当取最大值时，______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 数列的公差：，‎ 则数列的通项公式为：，‎ 数列单调递减，据此求解不等式组：，‎ 可得：，‎ 结合可得：‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知的内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，将已知转化为.（1）先求得，然后利用余弦定理求得的值.（2）利用余弦定理列方程，解方程求得的值，利用三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎（1）由余弦定理，可得；‎ ‎（2），由勾股定理可得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎18.（1）设数列满足且，求的通项公式；‎ ‎（2）数列的前项和，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.‎ 试题解析：（1）∵， ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时， .‎ ‎∴‎ ‎【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎19.在中，角，，所对的边分别是，，，已知的周长为，且 ‎（Ⅰ）求边的长； ‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求；（Ⅱ）根据三角形面积公式得的值，再根据余弦定理求结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得,‎ 因为周长为，所以 ‎（Ⅱ）因为的面积为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎20.已知数列是等差数列，其前项和为，且，‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和表示出和，解方程组求得和；利用等差数列通项公式得到结果；（2）根据等差数列前项和公式构造关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】（１）设数列的公差为 由得：‎ ‎（2）由等差数列前项和公式可得：‎ 解得：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、等差数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎21.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知.‎ ‎(Ⅰ)求B；‎ ‎（Ⅱ）若.‎ ‎【答案】(I) ‎ ‎（II），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．‎ ‎（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．‎ ‎【详解】(I)由正弦定理得 由余弦定理得.‎ 故，因此 ‎ ‎（II）‎ 故 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．‎ ‎22.的三个内角，，所对的边分别为，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件中恒等式特点，利用正弦定理的变形 将式子转化，再利用同角三角函数的平方关系消去角，从而得到.‎ ‎（2）利用式子，分别用表示，结合余弦定理求出.‎ 详解】解：（1）由正弦定理，得，‎ 因为 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由余弦定理及，可得.‎ 由（1）知，故.‎ 所以.又，故.‎ 又，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有边角恒等式的解三角形问题，属于中档题.解决这类型问题主要有两条途径：（1）化角为边，利用正弦定理或余弦定理的变形化角为边，走代数变形之路；（2）化边为角，主要利用正弦定理化边为角，走三角变形之路，常常需要运用到三角恒等变换的公式.‎ ‎ ‎