2017-2018学年广东省培正中学高二上学期11月段考数学试题

2017-2018学年广东省培正中学高二上学期11月段考数学试题

广州市培正中学2017-2018年高二11月段考数学试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知点，，若向量，则实数（ ）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．-2‎ ‎3.已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知角的始边为轴的正半轴，点是角终边上的一点，则（ ）‎ A．-3 B． C. D．3‎ ‎5.已知函数，则的值是（ ）‎ A．1 B． C.-1 D．-2‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A．3 B．‎4 C. 5 D．6‎ ‎7.下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 关于直线与平面，有以下四个命题：‎ ‎①若且，则；②若且，则；‎ ‎③若且，则；④若且，则；‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A．②③ B．③④ C．①④ D．①②‎ ‎10. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12‎ ‎11.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知数列满足，，则数列的前100项和为（ ）‎ A．4950 B．‎5050 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13函数（其中为常数，）的部分图象如图所示，则_______.‎ ‎14.已知函数且的图象恒过点. 若点在直线 上, 则的最小值为 . ‎ ‎15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.‎ ‎16.在平面四边形中，，，四个内角的角度比为 ‎，则边的长为__________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知向量设.‎ ‎（1）求函数的对称轴方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；‎ ‎（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，(，为常数)，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求的值；（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列满足 ，证明： ．‎ ‎20.（本小题满分12分）.如图，在三棱锥中，，，，平面平面，，分别为，中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ （1） 求三棱锥的体积．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知直线被圆所截得的弦长为8.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆切于点，当直线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点的坐标.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）= ． ‎ ‎(1)求a，b的值； ‎ ‎(2)不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围； ‎ ‎(3)方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． ‎ 班级_______________姓名_______________学号_______________‎ 广州市培正中学2017-2018学年高二年级第二次段考数学试题 答题卷 一、选择题（共60分）：请将答案涂在答题卡上 二、填空题(共20分)‎ ‎13. ____________________________________ 14._____________；‎ ‎15．___________ 16. _____________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎20．（本题满分12分）‎ ‎21．(本题满分12分)‎ ‎…………………………………………………………………………密 封 线………………………………………………………………………………‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 第二次段考命题明细表 ‎1集合交并补运算 ‎2向量概念和相关加减法运算 ‎3直线平行和垂直的定义 ‎4三角函数定义 ‎5分段函数求值或反求自变量 ‎6算法 ‎7函数的单调性 ‎8线性规化的最值 ‎9零点 ‎10立体集合概念定理的判断 ‎11几何概型 ‎12递推数列求和 ‎13函数的定义域 ‎14三角函数图象和表达式 ‎15球的相关问题 ‎16 解三角形 ‎17三角函数化简、求值和函数基本性质 ‎18概率统计 ‎19数列基本量运算，求通项和求和 ‎20立体几何证明平行垂直问题 ‎21直线与圆 ‎22函数综合大题 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BADDB 6-10:CCAAB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）‎ 所以函数的对称轴方程为.………………4分 ‎（2）由（1）得，.‎ 因为，所以………………5分.……6分所以.……7分 因为，所以.………………8分 所以………………9分 ‎.………………10分 ‎18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在上的频率为，‎ 在上的频率为，‎ 所以，.………………2分 ‎（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，‎ 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是.‎ 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分 ‎（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，‎ 则在上应抽取人，记为，………………5分 在上应抽取人，记为，………………6分 在上应抽取人，记为.………………7分 设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，‎ 则所有基本事件有：‎ ‎，共21种.…………9分 事件包含的基本事件有：，共12种.………………11分 所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为.………………12分 ‎19.解：（1）解：因为，()，‎ 所以，．‎ 因为，，成等差数列，‎ 所以，即， 解得． ‎ ‎（2）解：由（1）得，，所以()，所以（）． ‎ 当时， ‎ ‎．‎ 又也适合上式，所以数列的通项公式为()．‎ ‎（3）证明：由（2）得，，所以． ‎ 因为， ‎ 当时，，‎ 所以当时，，即．‎ 又<<， 所以()．‎ ‎21.解：（1）因为圆的圆心到直线的距离为，……1分 所以. 所以圆的方程.………………3分 ‎（2）设直线与圆切于点，‎ 则.…4分 因为，所以圆的切线的斜率为.……5分 则切线方程为，即.………………6分 则直线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为.‎ 所以围成的三角形面积为.………………9分 因为，所以. 当且仅当时，等号成立.…10分 因为，,所以，所以.‎ 所以当时，取得最小值18.………………11分 所以所求切点的坐标为.………………12分 ‎22. 1）解：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a， 当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数， ‎ 故 ，可得  ，⇔ ． 当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数． 故   可得  可得  ， ∵b＜1∴a=1，b=0 即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+ ﹣2． （2）解：方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+ ﹣2≥k•2x ， k≤1+ ﹣ 令 =t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t ，记φ（t）=t2﹣2t+1， ∴φ（t）min=0， ∴k≤0． （3）解：由f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）=0 得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0， |2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0， 令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）， ∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解， ∴由t=|2x﹣1|的图象（如下图）知， t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2 ， 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1， 记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k）， 则 或 ∴k＞0． ‎