2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

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2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎(对应学生用书第5页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q,p或q,﹁p的真假判断 p q p且q p或q ‎﹁p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 ‎(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.‎ ‎3.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题. ‎ ‎4.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定为:﹁p且﹁q;p且q的否定为:﹁p或﹁q.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(  )‎ ‎(2)命题﹁(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是假命题.(  )‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(  )‎ ‎(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(  )‎ ‎[解析] (1)错误.命题p或q中,p,q有一真则真.‎ ‎(2)错误.p且q是真命题,则p,q都是真命题.‎ ‎(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”,是全称命题.‎ ‎(4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”.‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(教材改编)已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题﹁p,﹁q,p或q,p且q中真命题的个数为(  )‎ A.1   B.2    C.3    D.4‎ B [p和q显然都是真命题,所以﹁p,﹁q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.]‎ ‎3.下列四个命题中的真命题为(  )‎ A.存在x0∈Z,1<4x0<3‎ B.存在x0∈Z,5x0+1=0‎ C.任意x∈R,x2-1=0‎ D.任意x∈R,x2+x+2>0‎ D [选项A中,<x0<且x0∈Z,不成立;选项B中,x0=-,与x0∈Z矛盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确.]‎ ‎4.命题:“存在x0∈R,x-ax0+1<0”的否定为________.‎ 任意x∈R,x2-ax+1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在x0∈R,x-ax0+1<0”的否定是“任意x∈R,x2-ax+1≥0”.]‎ ‎5.若命题“任意x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[-8,0] [当a=0时,不等式显然成立.‎ 当a≠0时,依题意知 解得-8≤a<0.‎ 综上可知-8≤a≤0.]‎ ‎(对应学生用书第6页)‎ 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ (1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p:函数y=lg(1-x)在(-∞,1)上单调递减,命题q:函数y=2cos x是偶函数,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p且q     B.(﹁p)或(﹁q)‎ C.(﹁p)且q D.p且(﹁q)‎ ‎(2)若命题“p或q”是真命题,“﹁p为真命题”,则(  )‎ A.p真,q真 B.p假,q真 C.p真,q假 D.p假,q假 ‎(1)A (2)B [(1)命题p中,因为函数u=1-x在(-∞,1)上为减函数,所以函数y=lg(1-x)在(-∞,1)上为减函数,所以p是真命题;命题q中,设f(x)=2cos x,则f(-x)=2cos(-x)=2cos x=f(x),x∈R,所以函数y=2cos x是偶函数,所以q是真命题,所以p且q是真命题,故选A.‎ ‎(2)因为﹁p为真命题,所以p为假命题,又因为p或q为真命题,‎ 所以q为真命题.]‎ ‎[规律方法] 判断“p或q,p且q,﹁p”形式的命题真假的三个步骤与依据 (1)确定命题的构成形式;‎ (2)判断p,q的真假;‎ (3)依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,确定“p或q”“p且q”“﹁p”等形式命题的真假.‎ ‎[跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p:x=2π是函数y=|sin x|的一条对称轴,q:是y=|tan x|的最小正周期,下列命题①p或q;②p且q;③p;④﹁q,其中真命题有(  )‎ ‎【导学号:79140013】‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C [由已知得命题p为真命题,命题q为假命题,所以p或q为真命题,p且q为假命题,﹁q为真命题,所以真命题有①③④,共3个,故选C.]‎ 全称命题、特称命题 ‎◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断 ‎ 下列命题中,真命题是(  )‎ A.任意x∈R,x2-x-1>0‎ B.任意α,β∈R,sin(α+β)<sin α+sin β C.存在x∈R,x2-x+1=0‎ D.存在α,β∈R,sin(α+β)=cos α+cos β D [因为x2-x-1=-≥-,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1=+≥,所以C是假命题.当α=β=时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D是真命题,故选D.]‎ ‎◎角度2 含有一个量词的命题的否定 ‎ 命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0‎ D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0‎ D [写全称命题的否定时,要把量词“任意”改为“存在”,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.]‎ ‎[规律方法] 1.全称命题、特称命题的真假判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.‎ (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.‎ ‎2.全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.‎ (2)否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎[跟踪训练] (1)已知命题p:存在x∈,使得cos x≤x,则﹁p为(  )‎ A.存在x∈,使得cos x>x B.存在x∈,使得cos x<x C.任意x∈,总有cos x>x D.任意x∈,总有cos x≤x ‎(2)下列命题中的假命题是(  )‎ A.存在x0∈R,lg x0=0 B.存在x0∈R,tan x0= C.任意x∈R,x3>0 D.任意x∈R,2x>0‎ ‎(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”.故选C.‎ ‎(2)当x=1时,lg x=0,故命题“存在x0∈R,lg x0=0”是真命题;当x=时,tan x=,故命题“存在x0∈R,tan x0=”是真命题;由于x=-1时,x3<0,故命题“任意x∈R,x3>0”是假命题;根据指数函数的性质,对任意x∈R,2x>0,故命题“任意x∈R,2x>0”是真命题.]‎ 由命题的真假求参数的取值范围 ‎ 给定命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根.如果p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] 当p为真命题时,“对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立”⇔a=0或 ‎∴0≤a<4.‎ 当q为真命题时,“关于x的方程x2-x+a=0有实数根”⇔Δ=1-4a≥0,∴a≤.‎ ‎∵p或q为真命题,p且q为假命题,‎ ‎∴p,q一真一假.‎ ‎∴若p真q假,则0≤a<4,且a>,‎ ‎∴<a<4;若p假q真,则即a<0.故实数a的取值范围为(-∞,0)∪.‎ ‎[规律方法] 根据复合命题的真假求参数范围的步骤 (1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围.‎ (2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况).‎ (3)最后由(2)的结果求出满足条件的参数取值范围.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:79140014】‎ ‎(2)已知p:存在x0∈R,mx+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为(  )‎ A.m≥2 B.m≤-2‎ C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2‎ ‎(1)(2,+∞) (2)A [(1)由题意,知“存在x∈(0,+∞),x+<m”是真命题,又因为x∈(0,+∞),所以x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以实数m的取值范围为(2,+∞).‎ ‎(2)依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,任意x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.‎ 因此,由p,q均为假命题得 即m≥2.]‎
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