2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先化简集合，，利用交集定义能求出 详解：‎ 则 ‎ 故选 点睛：本题主要考查了集合的交集及其运算，利用指数、对数求出不等式解集得到集合，继而求出交集。‎ ‎2．复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由的幂的结果进行化简 详解：‎ 故选 点睛：本题考查了复数的化简，由的幂的结果进行化简，然后进行除法运算即可。‎ ‎3．已知等差数列的通项公式为，且满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由等差数列先求出通项，然后求出 详解：由已知可得：‎ ‎，即 解得 则 故选 点睛：本题考查了等差数列的通项及和的运算，较为基础，运用公式即可求出结果。‎ ‎4．已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：结合偶函数得，在由单调性即可求出答案 详解：函数为偶函数，‎ ‎，则，‎ 在单调递减，‎ 在单调递增，‎ 即的解集为 故选 点睛：本题考查了函数性质的综合运用，由奇偶性可得其单调性，运用性质可以求出不等式的结果，本题较为基础。‎ ‎5．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得的值，再由的关系即可求得的值，然后求得焦距 详解：双曲线的离心率为 双曲线的渐近线方程为 不妨设，即，则 焦点到渐近线的距离为，‎ ‎，解得 则焦距为 故选 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。‎ ‎6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线面出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条弧均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先确定该几何体的空间结构，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：如图所示，在棱长为4的正方体中，分别为其对应棱上的中点，‎ 将正方体裁取四分之一圆柱和四分之一圆锥后对应的几何体即为三视图所对应的几何体，‎ 其中正方体的体积，‎ 四分之一圆柱的体积 四分之一圆锥的体积，‎ 则所求组合体的体积为：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎7．如图程序中，输入，，，则输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】分析：比较对数值得大小，结合流程图输出结果 详解：，‎ ‎，则 代入程序中，输出 故选 点睛：在比较对数值的大小时，当底数不同可以运用换底公式来进行比较，底数相同时根据单调性进行判断。‎ ‎8．函数的导函数在区间上的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵f（x）=xcosx，‎ ‎∴=xcosx=cosx﹣xsinx，‎ ‎∵=1，可排除C、D；‎ 又∵在x=0处取最大值；‎ 故排除B 故选：A 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎9．已知函数.‎ 命题：的值域是；命题：在单调递减.‎ 则在命题：；：；：和：中，真命题是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出函数的值域和单调减区间，然后作出判断 详解：‎ 的值域为 和为单调减区间 故命题为真命题，命题为假命题，‎ 为真命题，为真命题 故选 点睛：在求分式型函数值域和单调区间时可以先分离出常数，然后判定，本题又结合了命题的判定，“或”是一真即为真，“且”一假即为假，从而作出判断。‎ ‎10．对任意实数都有，若的图象关于成中心对称，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：依题意求得是奇函数，结合已知可求得是一个周期为的周期函数，，然后求得的值 详解：‎ 则 即 函数的周期为 的图象关于成中心对称 则函数为奇函数 令代入可得：，‎ 故 故选 点睛：本题主要考查的是抽象函数及其应用，求得是一个周期为的周期函数是解题的关键，考查了推理与运算能力，属于中档题。‎ ‎11．对于实数、、，下列说法：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则的最小值是，正确的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由不等式性质对其判定 详解：对于①，若，，则，故正确 对于②，若，则，正确 对于③，若，，则，故正确 对于④，若且，则，‎ 当时等号成立，即 这与矛盾，故错误 综上所述，正确的个数为 故选 点睛：由不等式性质对其判定，若能举出反例即可判断其错误，注意数值的符号，对于④中利用基本不等式求出最小值需要满足一正二定三相等，本题在取等号时是取不到的，故错误。‎ ‎12．已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意转化为，求出的最小值，将其转化为关于的不等式进行求解 详解：根据题意，对任意的，都有 即 ‎，恒成立 ‎，在内先增后减 ‎，故 则，‎ 解得 令，则 在区间内，，递减，，故递减 ‎，‎ 则实数的取值范围是 故选 点睛：本题考查了不等式恒成立问题求解参数的范围问题，利用导数转化为两个函数的最值问题，求导后进一步转化为关于的不等式进行求解，当一阶导数不能判定符号时可以利用二阶导数来求解，本题的方法较为重要，需要掌握。‎ 二、填空题 ‎13．已知奇函数满足，则__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】分析：由函数是奇函数，赋值即可求出结果 详解：已知 当时，‎ 点睛：在解答抽象函数时结合函数的奇偶性，运用赋值法求出结果。‎ ‎14．已知曲线的一条切线为，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设切点为，对求导，从而得到切线的斜率 ‎，结合直线方程的点斜式化简的切线方程为，对照已知直线列出关于，的方程组，即可得到答案 详解：设切点为，对求导，‎ 得到 切线的斜率为，‎ 故切线方程为 整理可得 与比较可得：且 解得，故 则实数的值为 点睛：本题考查了导数的几何意义，在求切线方程时，若不知切点，可以设出切点坐标，求出含有切点的切线方程，然后进行求解。‎ ‎15．通常，满分为分的试卷，分为及格线.若某次满分为分的测试卷，人参加测试，将这人的卷面分数按照，，…，分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面分，则换算成分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．（结果用小数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率 详解：由题意可知低于36分的为不及格，若某位学生卷面36分，则换算成60‎ 分作为最终成绩，由频率直方图可得组的频率为，所以这次测试的及格率为 点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率，结合题目要求的转化分数即可算出结果。‎ ‎16．已知定义在上的函数，若有零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出的范围，讨论的范围，得出在的值域，然后求得答案 详解：令，则 故有零点在上有解 当时，则在时，，无解 当时，则在时，‎ ‎，‎ 解得 当时，‎ ‎，又，则无解 综上所述，实数的取值范围是 点睛：本题结合零点考查了分段函数的值域问题，注意分类讨论，在分类讨论过程中一定要把所有的可能性全部讨论完，不要漏掉情况，在求解过程中还要注意限制条件，本题有一定难度。‎ 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边分别是，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：⑴利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出的值，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小；‎ ‎⑵由题意及余弦定理可得出， 的值，然后由三角形面积公式即可求解；‎ 解析：（1）由，可得，‎ ‎∴， ∴，‎ 又∵， ∴；‎ ‎（2）若，则，由题意， ，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴， ∴， ∴．‎ ‎18．近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，年年初至年年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：‎ 年份 年份代号 绿化面积 ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区年年初的绿化面积.‎ ‎（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为：，‎ ‎.其中）‎ ‎【答案】(1) (2) 预测绿化面积为平方公里 ‎【解析】分析：⑴求出，，，，即可得出线性回归方程 ‎⑵将年年号代入即可求得答案 详解：（1），，，，‎ 线性回归方程为.‎ ‎（2）将年年号代入，预测绿化面积为平方公里.‎ 点睛：本题考查了线性回归方程的求法，利用公式代入即可求出结果，较为基础 ‎19．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角为，，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）在中，由余弦定理得，根据勾股定理可证得，因为，所以平面，由面面垂直的判断定理可得平面平面；（2）取的中点，连接，，可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，找到与平面所成的角，求得， ，，根据线面平行可得到平面的距离即为点到平面的距离，在三棱锥中，根据等体积变换即可求得点到平面的距离.‎ 试题解析：（1）在中，由余弦定理得，‎ 因为，，所以， ‎ 所以，即，‎ 又因为，，所以平面， ‎ 因为平面，所以平面平面． ‎ ‎（2）取的中点，连接，，因为，所以，由（Ⅰ）知平面平面，交线为，所以平面，‎ 由，得，，，因为与平面所成的角为，所以，得，所以，，‎ 因为∥，所以∥平面，故点到平面的距离即为点到平面的距离，‎ 在三棱锥中，有，即，‎ 求得，所以点到平面的距离为．‎ ‎【考点】空间中垂直关系的证明及直线与平面所成的角、点到平面的距离.‎ ‎20．已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线交于，两点，且的面积为，求的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：⑴由题意可知其轨迹为抛物线 ‎⑵设直线方程，联立抛物线方程求出两根之和与两根之积，按要求表示出面积求出直线斜率 详解：（1）由抛物线定义可知，的轨迹方程是：.‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线：，，，‎ 由得：，‎ ‎，，‎ 由，∴，‎ ‎∴直线方程为：，所以直线恒过定点，‎ ‎∴，∴，‎ 即，∴，‎ ‎，，‎ 所以直线方程为：.‎ 点睛：本题考查了抛物线的相关知识，根据题意可知其轨迹为抛物线，在解答直线与抛物线的位置关系时可以设直线方程和交点坐标，设而不求，表示出三角形面积，建立等式求出斜率，即可求得直线方程。‎ ‎21．设函数， 为正实数．‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证： ；‎ ‎（3）若函数有且只有个零点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，所以先求导数，代入即得，又，由点斜式得切线方程 ‎（2）由于，所以转化为证明恒成立，即，转化为利用导数求函数最值（3）因为，而先增后减，且，所以必为最大值（极大值），解得，最后证明当1不为极值点时， 的零点不唯一．‎ 试题解析：（1）当时， ，则，……………2分 所以，又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．…………4分 ‎（2）因为，设函数，‎ 则， …………………………………………………6分 令，得，列表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ‎ ‎ 所以的极大值为．‎ 所以．………………………………………………8分 ‎（3）， ，‎ 令，得，因为，‎ 所以在上单调增，在上单调减．‎ 所以．………………………………………………10分 设，因为函数只有1个零点，而，‎ 所以是函数的唯一零点．‎ 当时， ， 有且只有个零点，‎ 此时，解得．…………………………………………12分 下证，当时， 的零点不唯一．‎ 若，则，此时，即，则．‎ 由（2）知， ，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，‎ 所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；‎ 若，则，此时，即，则．‎ 同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．‎ 因此，所以的值为．…………………………………………………16分 ‎【考点】导数几何意义，利用导数证明不等式，利用导数研究函数零点 ‎【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为r q + = .‎ ‎（Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（ Ⅱ ） 设直线 与轴和轴的交点分别为，为圆上的任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点，代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）由直线的方程可得点，点.‎ 设点，则 .‎ ‎ .‎ 由（Ⅰ）知，则 .‎ 因为，所以.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若对于任意， 都满足，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】【试题分析】(I) 因为， ，所以的图象关于对称.而的图象关于对称，所以，所以.(II)将原不等式等价变形为,将左边构造成函数,利用分类讨论法求得函数的最小值,由此求得的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）因为， ，所以的图象关于对称.‎ 又的图象关于对称，所以，所以.‎ ‎（Ⅱ）等价于.‎ 设 ，‎ 则 .‎ 由题意，即.‎ 当时， ， ，所以；‎ 当时， ， ，所以，‎ 综上.‎