【数学】2019届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 学案

第4节　数系的扩充与复数的引入 最新考纲　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ 知 识 梳 理 ‎1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)‎ 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)‎ 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 ‎|z|＝|a＋bi|＝ ‎2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎3．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝ ‎＝(c＋di≠0)．‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.‎ ‎2．－b＋ai＝i(a＋bi)．‎ ‎3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．‎ 诊 断 自 测 ‎1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎(3)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)‎ ‎(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)‎ 解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(2018·湖州调研)设i是虚数单位，复数1－2i的虚部是(　　)‎ A．－2 B．2 C．－2i D．2i 解析　复数1－2i的虚部是－2.‎ 答案　A ‎3．(2017·全国Ⅱ卷)＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析　＝＝2－i.‎ 答案　D ‎4．(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析　∵A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.‎ 答案　C ‎5．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________．‎ 解析　∵＝＝ ‎＝＝2－i，‎ ‎∴z＝2＋i.‎ 答案　2＋i ‎6．(2018·金华调研)设a∈R，若复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，||＝________．‎ 解析　复数＝＝，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＋1＝1－a，解得a＝0，则z＝＋i，则||＝＝.‎ 答案　0　 考点一　复数的有关概念 ‎【例1】 (1)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)‎ A．i B．－i C．1 D．－1‎ ‎(2)(2018·台州调考)已知复数z＝(a∈R)的实部为1，则a＝__________，|z|＝__________．‎ 解析　(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.所以应选A.‎ ‎(2)z＝＝a－i，实部a＝1，所以z＝1－i，|z|＝.‎ 答案　(1)A　(2)1　 规律方法　(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎【训练1】 (1)(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．‎ ‎(2)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．‎ 解析　(1)＝＝＝－i为实数，则＝0，即a＝－2.‎ ‎(2)因为复数a＋bi(a，b∈R)的模为，即＝，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2＝3.‎ 答案　(1)－2　(2)3‎ 考点二　复数的几何意义 ‎【例2】 (1)(2018·浙江“超级全能生”联考)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i ‎(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ 解析　(1)因为z2＝－2i，而＝－，故向量对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D.‎ ‎(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则∴a<－1，故选B.‎ 答案　(1)D　(2)B 规律方法 ‎　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．‎ ‎【训练2】 (1)复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(　　)‎ A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)‎ ‎(2)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________．‎ 解析　(1)因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，故复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1，1)，故选D.‎ ‎(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.‎ 答案　(1)D　(2)－1‎ 考点三　复数的运算 ‎【例3】 (1)(2017·山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)‎ A．－2i B．2i C．－2 D．2‎ ‎(2)(2018·绍兴调测)已知i是虚数单位，复数z＝，则z·＝(　　)‎ A．25 B．5 C. D. 解析　(1)由zi＝1＋i，得z＝＝1－i，‎ ‎∴z2＝(1－i)2＝－2i.‎ ‎(2)∵z＝＝＝＝－i，‎ ‎∴＝＋i，则z·＝＝＋＝.‎ 答案　(1)A　(2)D 规律方法　(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．‎ ‎(2)记住以下结论，可提高运算速度：‎ ‎①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎【训练3】 (1)(2016·北京卷)复数＝(　　)‎ A．i B．1＋i C．－i D．1－i ‎(2)＋＝________．‎ 解析　(1)＝＝＝＝i，故选A.‎ ‎(2)原式＝＋ ‎＝i6＋＝－1＋i.‎ 答案　(1)A　(2)－1＋i 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．(2018·金华十校模拟)已知i为虚数单位，则|3＋2i|＝(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 解析　|3＋2i|＝＝.‎ 答案　C ‎2．(2017·全国Ⅰ卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ 解析　由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.‎ 答案　C ‎3．(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题意：z＝－1－2i，其在复平面内所对应的点位于第三象限．‎ 答案　C ‎4．(2017·山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)‎ A．1或－1 B.或－ C．－ D. 解析　由已知得(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，解得a＝±1.‎ 答案　A ‎5．(2018·杭州模拟)设z＝(i为虚数单位)，则＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析　复数z＝＝－＋i，则|z|＝，＝.‎ 答案　B ‎6．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．i 解析　∵z＝＝＝＝i，故虚部为1.‎ 答案　C ‎7．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 解析　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.‎ 答案　C ‎8．(2018·浙江三市联考)若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是(　　)‎ A．－4 B．－3 C．1 D．2‎ 解析　因为z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.‎ 答案　A ‎9．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0‎ 解析　举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.‎ 答案　C ‎10．(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ 解析　因为复数(m2－m)＋mi为纯虚数，所以解得m＝1，故选C.‎ 答案　C ‎11．(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒⇒所以|x＋yi|＝＝，故选B.‎ 答案　B ‎12．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若|z1－z2|＝0，则1＝2‎ B．若z1＝2，则1＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2‎ D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 解析　A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立．B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1·1＝z2·2，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.‎ 答案　D 二、填空题 ‎13．设i是虚数单位，则复数i－＝________．‎ 解析　i－＝i－＝2i.‎ 答案　2i ‎14．(2017·江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．‎ 解析　z＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i，所以|z|＝＝.‎ 答案　 ‎15．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．‎ 解析　由已知(a＋bi)2＝3＋4i.‎ 即a2－b2＋2abi＝3＋4i.‎ 从而有解得 则a2＋b2＝5，ab＝2.‎ 答案　5　2‎ ‎16．(2018·宁波质测)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＝________；b＝________．‎ 解析　＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.∴解得 答案　0　3‎ 能力提升题组 ‎17．设z＝＋i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析　∵z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，‎ ‎∴|z|＝＝，故选B.‎ 答案　B ‎18．(一题多解)(2018·金丽衢十二校二联)设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　法一　|z－i|≤2表示复数z在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，半径为2的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)到原点的距离，其最大值为1＋2＝3.‎ 法二　因为2≥|z－i|≥|z|－|i|＝|z|－1，即|z|≤3.‎ 答案　C ‎19．(一题多解)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．－1－i C．－1＋I D．1－i 解析　法一　设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.‎ ‎∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.‎ 又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.‎ 法二　∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.‎ 又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，‎ ‎∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.‎ 答案　D ‎20．(2018·温州月考)已知复数z＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．θ＝ B．θ＝ C．θ＝ D．θ＝ 解析　因为z＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i，所以当θ＝时，z＝－i为纯虚数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－(k∈Z)．故选C.‎ 答案　C ‎21．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ 解析　依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.‎ 答案　C ‎22．(2018·杭州月考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)‎ A．－2 B．－1 C．0 D. 解析　∵＝＝－i＝a＋bi，‎ ‎∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0.‎ 答案　C ‎23．若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是(　　)‎ A．－i B.I C．－ D. 解析　i·z＝－(1＋i)⇒z＝＝＝(－1＋i)，则z的共轭复数＝(－1－i)，其虚部是－.‎ 答案　C ‎24．下面是关于复数z＝的四个命题：‎ p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；‎ p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4‎ 解析　∵z＝＝－1－i，‎ ‎∴|z|＝＝，∴p1是假命题；‎ ‎∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵＝－1＋i，‎ ‎∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题共有2个：p2，p4.‎ 答案　C ‎25．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．‎ 解析　z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.‎ 答案　 ‎26．(2018·绍兴一中适应性考试)设z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，若(1＋i)2＋|2i|＝，则直线bx－ay＋a＝0的斜率为__________．‎ 解析　由于＝(1＋i)2＋|2i|＝2i＋2，则z＝2－2i，可得a＝2，b＝－2，即直线的方程为－2x－2y＋2＝0，亦即y＝－x＋1，故斜率k＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎27．(2018·宁波月考)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________；最小值为________．‎ 解析　∵|z－2|＝＝，‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知＝＝.＝－.‎ 答案　　－ 解析　因为x＝＝＝－i.‎ 答案　－2‎