数学北师大版（2019）必修第二册：6-6-2 柱、锥、台的体积 学案与作业

数学北师大版（2019）必修第二册：6-6-2 柱、锥、台的体积 学案与作业

6.2 柱、锥、台的体积 (15 分钟 30 分) 1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为 2,2,3,则长方体的体积与表面 积分别为( ) A.12,32 B.12,24 C.22,12 D.12,11 【解析】选 A.V=2×2×3=12,S=2×(2×2)+2×(2×3)+2×(2×3)=32. 【补偿训练】 若圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,则圆锥的体积是( ) A.12π B.6π C.4π D.3π 【解析】选 A.由已知圆锥的高 h=4, 所以 V 圆锥= π×32×4=12π. 2.棱台的上、下底面面积分别是 2,4,高为 3,则棱台的体积等于( ) A.6+ B.3+2 C.6+2 D.6 【解析】选 C.V 棱台= ×(2+4+ )×3 = ×3×(6+2 )=6+2 . 3.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的 ,且其轴截面的周长为 24, 则该圆柱的体积为( ) A.16π B.27π C.36π D.54π 【解析】选 D.设圆柱的高为 h,底面圆半径为 r, 因为圆柱的侧面积等于其表面积的 , 且其轴截面的周长为 24, 所以 解得 r=3,h=6, 所以该圆柱的体积为 V=πr2h=π×32×6=54π. 4.已知圆柱的底面周长为 c,侧面展开图矩形的面积为 S,则它的体积为 ________. 【解析】设圆柱底面半径为 r,高为 h, 则 所以 r= ,h= , 所以 V=πr2h=π× 2· = . 答案: 5.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱 锥 F-ADE 的 体 积 为 V1, 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 体 积 为 V2, 则 V1∶V2=________. 【解析】 = = = . 答案:1∶24 6.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 6 cm,底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm, 5 cm.以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几 何体的表面积和体积. 【解析】因为 32+42=52, 所以底面是直角三角形. 所以上、下底面内切圆半径 r= =1(cm). 所以 S 表=(3+4+5)×6+2× ×3×4 -2π×12+2π×1×6=72+12-2π +12π=(84+10π)(cm2), V= ×3×4×6-π×12×6=(36-6π)(cm3). 故剩余部分形成几何体的表面积是(84+10π)(cm2), 体积是(36-6π)(cm3). (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设四棱锥的底面是对角线长分别为 2 和 4 的菱形,四棱锥的高为 3, 则该四棱锥的体积为( ) A.12 B.24 C.4 D.30 【解析】选 C.由题意得四棱锥的底面积为 S= ×2×4=4.故四棱锥的体 积 V= Sh= ×4×3=4. 2.《九章算术》卷五《商功》记载一个问题:“今有圆堡瑽,周四丈八 尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘, 以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为 “周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为 V= ×(底面圆的周长的平方×高)则由此可推得圆周率π的取值为 ( ) A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2 【解析】选 A.因为圆堡瑽(圆柱体)的体积为 V= ×(底面圆的周长的 平方×高), 所以 ×(2πr)2×h=πr2×h,解得π=3. 3.《九章算术》是我国古代数学著作,书中有如下问题:“今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少?”已知一斛米的 体积约为 1.62 立方尺,由此估算出堆放的米约有( ) A.21 斛 B.34 斛 C.55 斛 D.63 斛 【解析】选 A.设米堆所在圆锥的底面半径为 r 尺, 则 ×2πr=8,解得 r= ,所以米堆的体积为 V= × ×πr2×5= ≈33.95, 所以米堆的斛数是 ≈21. 【补偿训练】 我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书,这就是 历来被尊为算经之首的《九章算术》,其中卷五《商功》有一道关于圆 柱体的体积试题:“今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?” 其意思是:“今有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是 4 丈 8 尺,高 1 丈 1 尺,问它的体积是多少?”若π取 3,估算小城堡的体积为( ) A.1 998 立方尺 B.2 012 立方尺 C.2 112 立方尺 D.2 324 立方尺 【解析】选 C.设圆柱形城堡的底面半径为 r,则由题意得 2πr=48,所以 r= ≈8 尺 . 又 城 堡 的 高 h=11 尺 , 所 以 城 堡 的 体 积 V=πr2h=π×64×11≈2 112 立方尺. 4.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个 狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流 到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组 成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度 为圆锥高度(h)的 (细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰 好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高 h 的 比值为( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.细沙全部在上部时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 h, 设圆锥的底面半径为 r,则细沙形成的圆锥的底面半径为 r, 所以细沙的体积为 V= π· r 2· h = πr2h. 细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径 r,设高为 h′,则 V= πr2·h′ = πr2h, 得 h′= h.所以 = . 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.正三棱锥底面边长为 3,侧棱长为 2 ,则下列叙述正确的是( ) A.正三棱锥高为 3 B.正三棱锥的斜高为 C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为 【解析】选 ABD.在正三棱锥 S-ABC 中,底面△ABC 是边长为 3 的等边三 角形,侧棱长为 SA=SB=SC=2 ,取 BC 中点 D,连接 SD,AD,过 S 作 SO⊥平 面 ABC,交 AD 于 O,AD= = ,AO= AD= × = , 所以正三棱锥的高为 SO= = =3,故 A 正确; 正三棱锥的斜高为 SD= = = ,故 B 正确; 正三棱锥的体积为 V= S△ABC·SO= × ×3× ×3= ,故 C 错误; 正三棱锥的侧面积为 S=3× ×3× = ,故 D 正确. 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,线段 B1D1 上有两个动点 E,F, 且 EF= a,以下结论正确的有( ) A.AC⊥BE B.点 A 到△BEF 所在平面的距离为定值 C.三棱锥 A-BEF 的体积是正方体 ABCD-A1B1C1D1 体积的 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 【解析】选 AB.对于 A,根据题意,AC⊥BD,AC⊥DD1,又因为 BD∩DD1=D, 所以 AC⊥平面 BDD1B1,所以 AC⊥BE,故 A 正确; 对于 B,A 到平面 DD1B1B 的距离是定值, 所以点 A 到△BEF 所在平面的距离为定值,故 B 正确; 对于 C,三棱锥 A-BEF 的体积为 V 三棱锥 A-BEF= × ×EF×BB1×AB×sin 45°= × × a×a×a× = a3, 所以三棱锥 A-BEF 的体积是正方体 ABCD-A1B1C1D1 体积的 ,故 C 错误; 对于 D,取特例:由图可知,当 F 与 B1 重合时,令上底面中心为 O,则此时 两异面直线所成的角为∠A1AO,当 E 与 D1 重合时,此时点 F 与 O 重合,则 两异面直线所成的角是∠OBC1,此时二角不相等,故异面直线 AE,BF 所 成角不是定值,故错误. 【光速解题】选项逐一验证,对图形进行充分把握. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.已知某圆柱的侧面展开图是边长为 6 的正方形,则该圆柱的体积为 ________. 【解析】设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则母线长为 h,由题意,2π r=h=6,则 r= . 所以该圆柱的体积为 V=π× 2×6= . 答案: 【补偿训练】 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V,P 是 DD1 的中点,Q 是 AB 上的动点,则四 面体 P-CDQ 的体积为________. 【解析】设长方体的长、宽、高分别为 AB=a,BC=b,AA1=c,则有 V=abc. 由题意知 PD= c,S△CDQ= CD·AD= ab, 所以 VP-CDQ= S△CDQ·PD= × ab× c= abc= V. 答案: V 8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 2,E,F 分别为 C1D1,BB1 的中点,则 △AEF 在底面 ABCD 上投影的面积是________;四棱锥 F-ABC1E 的体积是 ________. 【解析】如图,设 E 在底面上的射影为 G,则 G 为 DC 的中点,连接 AG,BG, 可得△AEF 在底面 ABCD 上投影的面积是 ×2×2=2;由 AB⊥平面 BCC1B1, 可得平面 ABC1E⊥平面 BCC1B1,且平面 ABC1E∩平面 BCC1B1=BC1, 过 F 作 FH⊥BC1,则 FH⊥平面 ABC1E, 所以 = × (1+2)×2 × =1. 答案:2 1 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥, 两部分的高都是 0.5 m,公共面 ABCD 是边长为 1 m 的正方形,那么这个 漏斗的容积是多少立方米(精确到 0.01 m3)? 【解析】由题意知 V 长方体 ABCD-A′B′C′D′=1×1×0.5=0.5(m3), VP-ABCD= ×1×1×0.5= (m3), 所以这个漏斗的容积 V= + = ≈0.67(m3). 10.一块边长为 12 cm 的正三角形薄铁片,按如图所示设计方案,裁剪下 三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角),然后用 余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的 直棱柱)形容器. (1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积 V 表示 为关于 x 的函数,并标明其定义域; (2)若加工人员为了充分利用边角料,考虑在加工过程中,使用裁剪下 的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”. 请指出此时 x 的值(不用说明理由),并求出这个封闭的正三棱柱形容器 的侧面积 S. 【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图,求得三棱柱的高 h= 6- cm, 其底面积 S= x2cm2, 则三棱柱容器的容积 V=Sh= x2· 6- = 6- =- + x2, 即所求函数关系式为 V=- + x2(0

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