【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案
第三节三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx∈R，且x
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－＋kπ，＋
kπ(k∈Z)上是递
增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋，0(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( )
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( )
(6)若sin x>，则x>.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．(2017·全国卷Ⅱ )函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π
C．π D.
解析：选C 函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.
3．函数y＝tan 2x的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以y＝tan 2x的定义域为.
4．函数f(x)＝cos x－sin x的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选C f(x)＝cos x－sin x＝cos，由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－
≤x≤2kπ－(k∈Z)，又x∈[0，π]，所以当k＝1时，f(x)的单调递增区间为.
5．函数y＝sin的图象的对称轴是________．
解析：y＝sin＝cos x，根据余弦函数的性质可知，y＝sin图象的对称轴是x＝kπ，k∈Z.
答案：x＝kπ，k∈Z
6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：由x∈，得2x－∈，
所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
答案：－
[考什么·怎么考]
三角函数的定义域和值域问题是高考的重点，常与三角恒等变换结合考查，常见的考查形式有：
(1)求已知函数的定义域和值域；
(2)由定义域或值域确定参数的值.考题多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A ∵0≤x≤9，∴－≤－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
答案：1
3．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
解析：由得
∴－3≤x<－或0
0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝0时，|φ|取得最小值，故选B.
[题型技法] 对称轴与对称中心的求法
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω≠0)
①对称轴的求取方法：令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)；
②对称中心的求取方法：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，
得x＝，即对称中心为(k∈Z)．
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω≠0)
①对称轴的求取方法：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)；
②对称中心的求取方法：令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，得x＝，即对称中心为(k∈Z)．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)一般先要对三角函数式进行三角恒等变换，把三角函数式化为同名三角函数，即化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k或y＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，再根据三角函数的周期公式求解；
角度(二)判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的
形式；
角度(三)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解
找共性
这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一名，即“一角一函数”，其解题思维流程是：
[冲关演练]
1．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选B 由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin＝sin ＝1，所以选B.
2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
3．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋ cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B 据已知可得f(x)＝2sin，
若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，
又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，
经代入检验知符合题意．
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．下列函数中，周期为π的奇函数为( )
A．y＝sin xcos x B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，选A.
2．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
3．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2 B．3
C.＋2 D．2－
解析：选B 因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.
4．y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D.
解析：选D 将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
5．若函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω>0，∴当k＝0时，ωmin＝，故选D.
6．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上是增函数
解析：选C f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝不对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确．
7．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义必须有tan≠0，
则
所以x－≠，k∈Z，
所以x≠＋，k∈Z，
所以原函数的定义域为.
答案：
8．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
9．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.
解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝.
答案：
10．若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝________.
解析：由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，所以x0＝－(k∈Z)，而x0∈，所以x0＝.
答案：
B级——中档题目练通抓牢
1．若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.
取k＝0，得|φ|的最小值为.
2．设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)( )
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间 上是减函数
解析：选A 函数f(x)＝(x∈R)的图象如图所示，
由图可知函数f(x)＝sin(x∈R)在区间上是增函数．故选A.
3．直线x＝，x＝都是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间上单调递减，则( )
A．ω＝6，φ＝ B．ω＝6，φ＝－
C．ω＝3，φ＝ D．ω＝3，φ＝－
解析：选A 因为x＝，x＝均为函数f(x)的对称轴，
且函数f(x)在上单调递减．
所以＝－＝，
所以T＝，
由T＝＝，得ω＝6，
因为函数f(x)在上单调递减，
所以f＝1，代入函数可得sin φ＝1，又φ∈(－π，π]，
所以φ＝，故选A.
4．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．
解析：f(x)＝2sin＝2sin，
a＝f＝2sin ，
b＝f＝2sin ，
c＝f＝2sin ＝2sin ，
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，
所以sin 0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解：(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝ sin，且T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
C级——重难题目自主选做
1．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
解析：选A 由0，∴当k＝0时，ωmin＝，故选D.
4.(2018·安徽六安一中月考)y＝2sin的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B ∵函数可化为y＝－2sin，
∴令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选B.
5.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，
得|φ|的最小值为.
6．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
7．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.
解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝.
答案：
8.已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则f＋lg 14＝________.
解析：因为当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，
所以f＝lg ，
又因为函数f(x)是周期为2的奇函数，
所以f＝f＝－f＝－lg，
所以f＋lg 14＝lg 14－lg ＝lg 10＝1.
答案：1
9.(2018·北京怀柔区模拟)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x－1＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)可知，f(x)＝sin.
∵x∈，
∴2x＋∈，
∴sin∈.故函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
10．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解：(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝ sin，且T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2k
π≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
B级——拔高题目稳做准做
1.已知函数f(x)＝a＋b，若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，则ab的值为( )
A．15－15或24－24
B．15－15
C．24－24
D．15＋15或24＋24
解析：选A f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
所以ab＝15－15或24－24.
2.(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝
例如1]( )
A. B．[－1,1]
C. D.
解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，f(x)＝cos x，f(x)∈，当0≤x<或sin x，f(x)＝sin x，f(x)∈∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为.
3.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
答案：
4．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值4，
即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，
所以a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
6.已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)当x∈时，2x－∈，
所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，
即f(x)－3
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