【数学】2020届一轮复习浙江版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.了解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，了解四种命题的相互关系；
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[常用结论与易错提醒]
若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修2－1P6练习改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.
答案 C
3.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
答案 B
4.(2019·温州适应性考试)已知a，b为实数，p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当a＝1，b＝－1时，满足a＋b＝0，但此时a2＋b2＝2≠0，故充分性不成立；当a2＋b2＝0时，a＝b＝0，则有a＋b＝0，必要性成立，所以“a＋b＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件，故选B.
答案 B
5.(2018·北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________.
解析 由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1(答案不唯一，满足a>0，b<0即可).
答案 1，－1(答案不唯一)
6.已知命题p：“若a2＝b2，则a＝b”，则命题p的否命题为________，该否命题是一个________命题(填“真”，“假”).
解析 由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a＝b，则a2＝b2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.
答案 “若a2≠b2，则a≠b” 真
考点一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
解析 (1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.
(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
答案 (1)C (2)B
规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】 (1)已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析 (1)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，
＋∞)上不是增函数”是真命题.
(2)这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意x∈(0，2]都成立 ，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可.如f(x)＝sin x，答案不唯一.
答案 (1)D (2)f(x)＝sin x(答案不唯一 )
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)(2019·嘉兴检测)已知x，y是非零实数，则“x>y”是“<”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)x>0>y满足x>y，但此时>0>，充分性不成立；x<0
y不成立，必要性不成立，所以“x>y”是“<”的既不充分也不必要条件，故选D.
(2)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
答案 (1)D (2)B
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.
【训练2】 (1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·宁波模拟)记Sn为数列{an}的前n项和.“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立.故选C.
(2)由{Sn}为递增数列得Sn－Sn－1＝an>0(n≥2，n∈N*)，必要性不成立，但由任意正整数n，均有an>0，能推出{Sn}为递增数列，充分性成立，所以“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.
答案 (1)C (2)A
考点三 充分条件、必要条件的应用变式迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，
∴1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，可知当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件.
【变式迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，
∴
∴
这样的m不存在.
【变式迁移2】 本例条件不变，若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，∴PS.
∴[－2，10][1－m，1＋m].
∴或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验.
【训练3】 ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________.
解析 当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
所以有即0＜a≤1.
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
答案 0≤a≤1
基础巩固题组
一、选择题
1.设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.
答案 D
2.(2019·杭州质检)设数列{an}的通项公式为an＝kn＋2(n∈N*)，则“k>2”是“数列{an}为单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当k>2时，an＋1－an＝k>2，数列{an}为单调递增数列；若数列{an}为单调递增数列，则需an＋1－an＝k>0，所以“k>2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.
答案 A
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
答案 B
4.(2018·绿色评价联盟适考)已知函数f(x)，x∈R，则“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由f(x)max＝1知，f(x)≤1且存在实数x0∈R，使f(x0)＝1，而f(x)≤1，不能得到f(x)max＝1，故选A.
答案 A
5.(2019·绍兴适应性考试)已知a∈R，则“a＝0”是“f(x)＝x2＋ax是偶函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a＝0，则f(x)＝x2，x∈R，且f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数；反过来，若f(x)为偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，即－＝0，解得a＝0，所以“a＝0”是“f(x)＝x2＋ax为偶函数”的充分必要条件，故选C.
答案 C
6.对于非零向量a，b，“2a＋3b＝0”是“a∥b”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由2a＋3b＝0得2a＝－3b，则a∥b，充分性成立；a＝－b满足a∥b，此时2a＋3b＝b≠0，必要性不成立，所以“2a＋3b＝0”是“a∥b”的充分而不必要条件.
答案 A
7.(2018·丽水测试)已知p：不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为，q：a<，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为得a<0且<1，解得a<0，所以“不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为”是“a<”的充分不必要条件，故选A.
答案 A
8.已知条件p：|x＋1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≤1
C.a≥－1 D.a≤－3
解析 由|x＋1|≤2得－3≤x≤1，即p：－3≤x≤1.若p是q的充分而不必要条件，则a≥1.
答案 A
9.(2018·嵊州适考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2an＋λ，其中λ≠－1，0，
n∈N*，则“λ>0”是“a2＋a5>a3＋a4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a2＝2a1＋λ＝2＋λ，a3＝2a2＋λ＝4＋3λ，a4＝2a3＋λ＝8＋7λ，a5＝2a4＋λ＝16＋15λ，所以由a2＋a5>a3＋a4，得18＋16λ>12＋10λ，解得λ>－1，所以“λ>0”是“a2＋a5>a3＋a4”的充分不必要条件，故选A.
答案 A
二、填空题
10.已知λ是实数，a是向量，若λa＝0，则λ＝________或a＝________(使命题为真命题).
解析 ∵λa＝0，∴λ＝0或a＝0.
答案 0 0
11.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.
解析 cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
12.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.
解析 “若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”；否命题为“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”；逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
答案 若x＝1，则x2－3x＋2＝0 若x2－3x＋2≠0，则x≠1 若x≠1，则x2－3x＋2≠0
13.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－21”是“数列{an}为单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 在等比数列{an}中，当a1<0，q>1时，数列{an}为单调递减数列，充分性不成立；当a1<0，01不成立，必要性不成立.综上所述，“q>1”是“数列{an}为单调递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案 D
16.已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.
由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，
所以0
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