【数学】2020届一轮复习人教B版圆的参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教B版圆的参数方程学案

‎1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程 如图圆O与x轴正半轴交点M0(r，0)．‎ ‎(1)设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是(θ为参数)．‎ 其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．‎ ‎(2)设动点M在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0经过时间t转过的角θ＝ωt，则以t为参数的圆O的参数方程为(t为参数)．‎ 其中参数t的物理意义是质点作匀速圆周运动的时间．‎ ‎2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为(θ为参数)．‎ ‎1．圆的参数方程为(θ为参数)，则圆的圆心坐标为(　　)‎ A．(0，2)　　　　　　　　 B．(0，－2)‎ C．(－2，0) D．(2，0)‎ 解析：选D.由得(x－2)2＋y2＝4，其圆心为(2，0)，半径r＝2.‎ ‎2．已知圆C的参数方程为(θ为参数)，则点P(4，4)与圆C上的点的最远距离是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选C.由圆的参数方程知，圆C的圆心为(1，0)，半径为1，则点P与圆心的距离d＝＝5，则点P(4，4)与圆C上的点的最远距离是5＋1＝6.故选C.‎ ‎3．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 解析：选D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线的距离d＝<2，故选D.‎ ‎4．圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的一个参数方程为____________．‎ 解析：令＝cos θ，＝sin θ得 (θ为参数)．‎ 答案：(θ为参数)(注本题答案不唯一)‎ ‎　求圆的参数方程 ‎　圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．‎ ‎[解]　如图所示，‎ 设圆心为O′，连接O′M，因为O′为圆心，‎ 所以∠MO′x＝2φ.‎ 设M(x，y)．当－<φ<且φ≠0时，‎ x＝r＋rcos 2φ，y＝rsin 2φ.‎ 所以 当φ＝0，即M点与A(2r，0)重合时，适合上式．‎ 当φ＝±，即M点与原点O(0，0)重合时，也适合上式．‎ 故圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)的参数方程为(φ为参数且－≤φ≤)．‎ 圆的参数方程的求法 ‎(1)求圆的参数方程时，如果已知条件中已经选定参数，就必须针对所选参数，利用圆的几何性质寻求参数与动点坐标x，y之间的关系式，进而化简得到参数方程．‎ ‎(2)如果已知条件中没有选定参数，就要自选一个参数，通常都是选动点M 对应的圆心角为参数．　 ‎ ‎　已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．‎ 解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则参数方程为(θ为参数)．‎ ‎　圆的参数方程的应用 ‎　已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求 ‎(1)x2＋y2的最值；‎ ‎(2)x＋y的最值．‎ ‎[解]　由x2＋y2－6x－4y＋12＝0，得(x－3)2＋(y－2)2＝1，用参数方程表示为(θ为参数)，‎ 由于点P(x，y)在圆上，所以可设点P为(3＋cos θ，2＋sin θ)，‎ ‎(1)x2＋y2＝(3＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2‎ ‎＝14＋4sin θ＋6cos θ ‎＝14＋2sin(θ＋φ)，‎ 所以x2＋y2的最大值为14＋2，最小值为14－2.‎ ‎(2)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θ＝5＋sin，‎ 所以x＋y的最大值为5＋，最小值为5－.‎ ‎(1)根据圆的参数方程可知圆x2＋y2＝r2上动点M(x，y)可直接写成M(rcos θ，rsin θ)，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上动点M(x，y)可直接写成M(a＋rcos θ，b＋rsin θ)，这样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题．一般地，如果曲线C：F(x，y)＝0的参数方程是(t为参数)，那么曲线上的动点M(x，y)可直接写成M(f(t)，g(t))．‎ ‎(2)利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值和取值范围问题．　 ‎ ‎　已知点P(x，y)是圆 x2＋y2＝2y上的动点．‎ ‎(1)求2x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设圆的参数方程为(θ为参数)，‎ 则2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)．‎ 所以－＋1≤2x＋y≤＋1.‎ ‎(2)由题可知x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，‎ 所以a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－sin－1，‎ 所以a≥－1.‎ ‎　圆的参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎　(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 ‎(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．　 ‎ ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．‎ 解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以圆C的直角坐标方程为：x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)设z＝x＋y，‎ 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0⇒(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.‎ 将 代入z＝x＋y，得z＝－t.‎ 又直线l过点C(－1，)，圆C的半径是2，‎ 由题意有－2≤t≤2，‎ 所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2，2]．‎ ‎1．对圆的参数方程的理解 ‎(1)普通方程x2＋y2＝r2对应的参数方程为(θ为参数)．‎ 普通方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2对应的参数方程为(θ为参数)．‎ 这时参数θ有明确的几何意义，θ的取值范围可以是R，也可以缩小为θ∈[0，2π)．‎ ‎(2)圆的参数方程也不唯一，选取的参数不同，相应的参数方程也不同，对于任意给定的一个参数，均可按求曲线参数方程的一般步骤求解．‎ ‎2．圆的参数方程与普通方程相互转化 把圆的普通方程转化为参数方程后可以把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题解决．‎ ‎1．圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为(　　)‎ A.，(θ为参数)‎ B.，(θ为参数)‎ C.，(θ为参数)‎ D.，(θ为参数)‎ 解析：选B.因为圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为，(θ为参数)．‎ 所以圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为，(θ为参数)．‎ ‎2．圆的参数方程为：(θ为参数)，则圆的圆心坐标为(　　)‎ A．(0，2)　　　　　　　　　 B．(0，－2)‎ C．(－2，0) D．(2，0)‎ 解析：选D.将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)．‎ ‎3．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C.将化为x2＋y2＝4，它表示以(0，0)为圆心，2为半径的圆，由于＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．‎ ‎4．已知点P(2，0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．‎ 解：设Q(1＋cos θ，1－sin θ)，PQ中点M(x，y)，则由中点坐标公式得x＝＝cos θ＋，y＝＝－sin θ.‎ 所以所求轨迹的参数方程为(θ为参数)，消去θ可化为普通方程为(x－)2＋(y－)2＝，它表示以(，)为圆心、半径为的圆．‎ ‎[A　基础达标]‎ ‎1．已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≥2　　　　　　　　 B．a＞3‎ C．a≥1 D．a＜0‎ 解析：选A.因为曲线C的参数方程是(θ为参数)，所以化为普通方程为(x－a)2＋y2＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆．‎ 因为曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.‎ ‎2．圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(　　)‎ A.(0≤θ<2π)‎ B.(0≤θ<2π)‎ C.(0≤θ<π)‎ D.(0≤θ<2π)‎ 解析：选D.圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0，2π))．故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．‎ ‎3．已知圆P：，(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是(　　)‎ A．P(1，3)，r＝10　　　　　‎ B．P(1，3)，r＝ C．P(1，－3)，r＝ ‎ D．P(1，－3)，r＝10‎ 解析：选C.由圆P的参数方程可知圆心P(1，－3)，半径r＝.‎ ‎4．已知圆C的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.由题意(0≤θ<2π)，即，(0≤θ<2π)，解得θ＝.‎ ‎5．若P(x，y)是曲线，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2‎ 的最大值为(　　)‎ A．36　　　　　　　　　 B．6‎ C．26 D．25‎ 解析：选A.依题意P(2＋cos α，sin α)，‎ 所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝，sin φ ＝)‎ 所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.‎ ‎6．如图，已知圆心C(0，1)，半径r＝1，则圆C的参数方程为__________(θ为参数)．‎ 解析：设M(x，y)，由CP∥x轴得：，(θ为参数)，这就是圆C的参数方程．‎ 答案： ‎7.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．‎ 解析：圆的方程为＋y2＝，则圆的半径r＝，‎ 如图连接AP，∠OPA＝90°，故|OP|＝|OA|cos θ＝cos θ，‎ 设点P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝cos2θ，‎ y＝|OP|sin θ＝cos θsin θ，‎ 故圆的参数方程为(θ为参数，－≤θ≤)‎ 答案：(θ为参数，－≤θ≤)‎ ‎8．已知圆C：，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin ＝－1，当θ＝时，x＝－3＋2sin ＝－5，故|AB|＝|－1＋5|＝4.‎ 答案：4‎ ‎9．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6，0)，M是PQ的中点，‎ ‎(1)画图并写出⊙O的参数方程；‎ ‎(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．‎ 解：(1)如图所示，⊙O的参数方程 ‎(2)设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因为Q(6，0)，‎ 所以M的参数方程为 即 ‎10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，即.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．已知曲线C的参数方程为，(θ为参数)，则曲线C上的点到直线l：x－y＋1＝0的距离的最大值为(　　)‎ A．2 B．＋1‎ C. D．＋1‎ 解析：选B.点C(1＋cos θ，sin θ)到直线l的距离 d＝＝ ‎＝≤＝＋1，‎ 即曲线C上的点到直线l的最大距离为＋1.‎ ‎12．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是____________．‎ 解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．‎ 则即为所求．‎ 答案：，(θ为参数)‎ ‎13．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ 解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，(，－)．‎ ‎(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)．‎ 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为(α为参数)．‎ P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.‎ 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．‎ ‎14．(选做题)已知圆C：，(θ为参数)和直线l：，(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．‎ ‎(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；‎ ‎(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．‎ 解：(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.‎ ‎(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得t2＋2(cos α＋sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，‎ 故Δ＝4(cos α＋sin α)2－12≥0，则sin2≥，‎ 即sin≥或sin≤－.‎ 又0≤α≤π，故只能sin≥，‎ 即≤α＋≤，即≤α≤.‎ 故α的取值范围是.‎