江西省瑞金市四校2020届高三第三次联考数学（理）试题 Word版含解析

江西省瑞金市四校2020届高三第三次联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届四校联盟高三第三次联考试卷 数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合B，再求交集.‎ ‎【详解】或 或 故选D ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 的虚部为 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算化简，结合共轭复数的定义，求解即可.‎ ‎【详解】，则 - 24 -‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.‎ ‎3.已知向量，，且在方向上的投影为，则的值为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用投影的定义以及数量积公式求解即可.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 设向量，的夹角为，则 即，整理得，解得（舍）或 故选C ‎【点睛】本题主要考查了数量积公式以及投影的应用，属于中档题.‎ ‎4.已知直线和平面，则“平行内无数条直线”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与平面的位置关系，结合充分条件和必要条件的定义，求解即可.‎ ‎【详解】当直线内时，平行内无数条直线，不能得到 当时，由线面平行的性质可知，平行内无数条直线 即“平行内无数条直线”是“”的必要不充分条件 故选B ‎【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判断，属于中档题.‎ - 24 -‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式得出，再切化弦，结合二倍角的正弦公式，求解即可.‎ ‎【详解】当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了已知三角函数值求值问题，属于中档题.‎ ‎6.函数的部分图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 确定函数为偶函数排除，当时，，排除，得到答案.‎ ‎【详解】，，函数为偶函数，排除；‎ 当时，，故，排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为偶函数为解题的关键.‎ ‎7.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.全力抗疫成为举国上下的首要大事，而口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为(单位:十万只)，已知这组数据的平均值为4，方差为且成递增的等差数列，成等比数列，则这组数据的极差为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列等比数列性质计算得到，或，得到极差.‎ ‎【详解】，‎ 根据题意：，，故.‎ ‎，故，，故.‎ 方差为，故或，故极差为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了平均值，方差，极差，意在考查学生的计算能力和有应用能力.‎ - 24 -‎ ‎8.已知函数，若，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数得出的单调性，利用对数函数和指数函数的性质得出，结合单调性，即可得出的大小关系.‎ ‎【详解】由得，函数在上单调递减 ‎，，，且 即 故选A 点睛】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于中等题.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，若要使输出的结果为，则判断框内应补充的条件为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图的功能以及数列的裂项求和法，即可得出答案.‎ ‎【详解】该程序框图的功能是计算的值 令，解得 要使得输出的结果为，则判断框应填 故选C ‎【点睛】本题主要考查了补全程序框图以及数列的裂项求和法的应用，属于中档题.‎ ‎10.已知函数的部分图像如图所示，其中，，，若与该部分图像在时有公切线，则（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的性质得出函数，利用导数的几何意义得出切线的斜率，结合直线垂直的斜率关系，即可得出答案.‎ ‎【详解】由题意得出，即，所以 由对称性可知，将其代入中 整理得，则，即 因为，所以，即 ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ 由于与切线垂直，则，解得 故选D ‎【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的图象以及导数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎11.已知直线的方程分别为和设交于点，记点的轨迹为曲线若双曲线的渐近线与曲线 - 24 -‎ 没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立方程得到轨迹方程为，根据圆心到直线的半径大于半径得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，消去得到.‎ 的渐近线方程为，取，‎ 根据题意：，即，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎12.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式，得出，再将化简为，利用换元法以及导数，即可得出的取值范围.‎ - 24 -‎ ‎【详解】由，得 整理得 ‎，‎ 又，‎ 令，因为，所以 则 令，则 ‎；‎ 即函数上单调递减，在上单调递增，即 故选B ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，涉及了导数的应用，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13.的展开式中，项的系数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 利用二项式定理求解即可.‎ ‎【详解】的展开式的通项为 令，解得 即项的系数为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为格点顶点为格点的多边形称为格点多边形，历史上有很多数学家对格点问题有过深入的研究，比如奥地利数学家皮克、德国著名数学家高斯等均对此作出过巨大的贡献.如图所示，正方形就是一个格点正方形（设每个小正方形的边长为），则在该格点正方形区域（包括边界）内任取一个格点，所取格点满足条件的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该不等式组对应的平面区域，结合古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示 - 24 -‎ 由图可知，该格点正方形区域（包括边界）共有格点81个，其中落在阴影部分的格点共有20个 则所取格点满足条件的概率为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了线性规划的应用以及古典概型求概率问题，属于中档题.‎ ‎15.已知过抛物线的焦点的直线截抛物线所得的弦长为，设点为抛物线上的动点，点过点作抛物线的准线的垂线，垂足为则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，联立方程得到，根据弦长得到，，得到答案.‎ ‎【详解】焦点为，直线过焦点，故，‎ 设交点的横坐标分别为，，故，故，‎ - 24 -‎ 故，故，故.‎ ‎，当共线时等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据抛物线的弦长求参数，抛物线中最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎16.已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二面角的定义，得出直三棱柱的高，进而得出三棱柱的外接球的半径以及小球的最大半径，即可得出的最大值.‎ ‎【详解】取中点为，连接，容易得出，则 因为，所以，则二面角的平面角为 在直角三角形中，‎ ‎，‎ 直三棱柱的外接球的球心应在矩形的中心，则 由于的值为定值，则取最大值，即小球的半径最大 - 24 -‎ 的内切圆的半径 则小球的半径最大为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了根据二面角求参数以及多面体的外接球问题，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.对于无穷数列，，记，，若同时满足条件①，均单调递增；②且，则称，是无穷互补数列.‎ ‎（1）若，，试判断数列，是否为无穷互补数列，并说明理由；‎ ‎（2）若，且，是无穷互补数列，求数列前项的和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）数列表示所有的正偶数，而数列不能表示所有正奇数，即可得出结论；‎ ‎（2）数列的前30项是的所有整数，除去之后剩下的整数，利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和，即可得出答案.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）数列，不是无穷互补数列，理由如下 数列为递增数列，且表示所有的正偶数 令，解得，则数列，不是无穷互补数列 ‎（2）数列的前7项分别为 因为，是无穷互补数列，所以数列的前30项是的所有整数，除去之后剩下的整数 则数列前项的和为 ‎【点睛】本题主要考查了分组求和，属于中档题.‎ ‎18.如图所示，在正四棱柱中，，，点是棱上一点，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设.当平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为时，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.‎ ‎【详解】以点D为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 - 24 -‎ 设，，则 ‎（1），‎ ‎，则 ‎（2）设平面的法向量为 取，则 设平面与平面所成二面角的平面角为 因为平面的法向量为 所以 整理得，解得（舍）或 ‎【点睛】本题主要考查了利用向量法证明线线垂直，由面面角求其他，属于中档题.‎ ‎19.如图所示，已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上顶点、下顶点、右顶点和右焦点，且的面积为 - 24 -‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线，使得与椭圆交于另一点且是以为底边的等腰三角形，若存在，请求出此时直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，，解得答案.‎ ‎（2）则在以为圆点，为半径的圆上，联立方程解得与点重合，故不存在.‎ ‎【详解】（1）根据题意：，，解得，.‎ 故椭圆方程为.‎ ‎（2）根据题意，则在以为圆点，为半径的圆上，即.‎ ‎，解得，即与点重合，故不存在.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内的存在性问题，意在考查学生计算能力和转化能力.‎ ‎20.2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对 - 24 -‎ 位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，己知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.‎ ‎（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；‎ ‎（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：‎ 方案一：将位居民分成组，每组人；‎ 方案二：将位居民分成组，每组人；‎ 试分析哪一个方案的工作量更少？‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”，利用条件概率公式求解即可；‎ ‎（2）设方案一和方案二中每组的检测次数为，，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”‎ 由题意可得，‎ 由条件概率公式得：‎ 即 故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为 ‎（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为 所以的分布列为 - 24 -‎ 所以 即方案一检测的总次数的期望为 设方案二中每组的检测次数为，则的取值为 ‎；‎ 所以的分布列为 所以 即方案二检测的总次数的期望为 由，则方案二的工作量更少 ‎【点睛】本题主要考查了条件概率公式的应用以及均值的实际应用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设，分别是的极大值点和极小值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对参数进行分类讨论，利用导数证明单调性即可；‎ ‎（2）由（1）得出，根据韦达定理得出，，再将 - 24 -‎ 转化为，构造函数，利用导数得出其值域，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，，则函数在上单调递减 当时，，则，所以函数在上单调递增 当时，，解得；‎ ‎；或 所以函数在和上单调递增，在上单调递减 ‎（2）由（1）可得，只有当时，有极大值和极小值，即 由题意可得是方程的两根，不妨设 由韦达定理可得，，则 由于是极值点，则，即 所以，解得 令 - 24 -‎ 所以函数在上单调递减，则 即 故 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求含参函数的单调性，属于较难题.‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若直线与曲线相切，求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点的直线的参数方程为（为参数），且与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）得出曲线的直角坐标方程，进而利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将代入中，利用参数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】（1）直线的直角坐标方程为 曲线的直角坐标方程为，则曲线表示圆心为，半径为1的圆 因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径 - 24 -‎ 即，解得 故直线的直角坐标方程为 ‎（2）设两点对应的参数为 将代入中 整理得到 则，‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，分类讨论的取值，得出，由，得出实数的取值范围；‎ ‎（2）将不等式的解问题转化为函数图象的交点问题，结合图象，即可得出实数的取值范围.‎ - 24 -‎ ‎【详解】因为关于的不等式的解集非空，所以的解集非空 令，即 当时，‎ 当时，‎ 在上单调递增，，即 当时，‎ ‎，，即 ‎（2）由题意可得不等式的解集中恰有个整数 当时，不成立，则 则的解集中恰有个整数等价于的解集中恰有个整数 令 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 则函数和的图象，如下图所示 - 24 -‎ 由图可知，要使得恰有4个整数解，则 即 ‎【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎