2020-2021年新高三数学一轮复习训练：基本不等式
2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：基本不等式
利用基本不等式求最值
(1)(2019·天津)设 x>0，y>0，x＋2y＝4，则x＋12y＋1
xy 的最小值为________．
答案 9
2
解析 x＋12y＋1
xy ＝2xy＋x＋2y＋1
xy ＝2xy＋5
xy ＝2＋ 5
xy.
∵x>0，y>0 且 x＋2y＝4，∴4≥2 2xy(当且仅当 x＝2，y＝1 时取等号)，
∴2xy≤4，∴ 1
xy≥1
2，∴2＋ 5
xy≥2＋5
2＝9
2.
(2)(2020·天津模拟)已知 a>0，b>0，c>0，若点 P(a，b)在直线 x＋y＋c＝2 上，则 4
a＋b＋a＋b
c 的最小值为
________．
答案 2＋2 2
解析 ∵P(a，b)在 x＋y＋c＝2 上，
∴a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0， 4
a＋b＋a＋b
c ＝ 4
2－c＋2－c
c ＝ 4
2－c＋2
c－1，
设
2－c＝m，
c＝n， 则 m＋n＝2， 4
2－c＋2
c＝4
m＋2
n＝m＋n
2 × 4
m＋2
n ＝3＋2n
m＋m
n≥3＋2 2n
m×m
n＝3＋2 2，
当且仅当 m2＝2n2，即 c＝2 2－2 时，等号成立，
∴ 4
2－c＋2
c－1≥3＋2 2－1＝2＋2 2，即 4
a＋b＋a＋b
c 的最小值为 2＋2 2.
基本不等式的综合应用
(1)已知函数 f (x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为 2，则8a＋b
ab 的最小值是( )
A．10 B．9 C．8 D．3 2
答案 B
解析 由函数 f (x)＝ax2＋bx，得 f′(x)＝2ax＋b，
由函数 f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为 2，
所以 f′(1)＝2a＋b＝2，
所以8a＋b
ab ＝1
a＋8
b＝1
2 1
a＋8
b (2a＋b)
＝1
2 10＋b
a＋16a
b ≥1
2
10＋2 b
a·16a
b
＝1
2(10＋8)＝9，
当且仅当b
a＝16a
b ，即 a＝1
3，b＝4
3时等号成立，
所以8a＋b
ab 的最小值为 9，故选 B.
(2)在△ABC 中，A＝π
6，△ABC 的面积为 2，则 2sin C
sin C＋2sin B＋sin B
sin C的最小值为( )
A. 3
2 B.3 3
4 C.3
2 D.5
3
答案 C
解析 由△ABC 的面积为 2，
所以 S＝1
2bcsin A＝1
2bcsin π
6＝2，得 bc＝8，
在△ABC 中，由正弦定理得
2sin C
sin C＋2sin B＋sin B
sin C＝ 2c
c＋2b＋b
c
＝
2·8
b
8
b＋2b
＋b
8
b
＝ 16
8＋2b2＋b2
8
＝ 8
4＋b2＋b2＋4
8 －1
2
≥2 8
4＋b2·b2＋4
8 －1
2＝2－1
2＝3
2，
当且仅当 b＝2，c＝4 时，等号成立，故选 C.
基本不等式的实际应用
(1)若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则 1
ab的最小值为( )
A.2 B.1
2 C.4 D.1
4
(2)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值为________.
解析 (1)因为 a>0，b>0，故 2a＋b≥2 2ab(当且仅当 2a＝b 时取等号).
又因为 2a＋b＝4，
∴2 2ab≤4⇒0
0)，
则 f (x)＝720 x＋1 600
x ＋240 000
≥720×2 x·1 600
x ＋240 000
＝720×2×40＋240 000＝297 600，
当且仅当 x＝1 600
x ，即 x＝40 时，f (x)有最小值 297 600，
此时另一边的长度为4 800
3x ＝40(m)，
因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为 160 m.
4.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.
某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售
模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足
函数关系式 x＝3－ 2
t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格
为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装
费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元.
解析 由题意知 t＝ 2
3－x－1(10，b>0)
B．a2＋b2≥2 ab(a>0，b>0)
C. 2ab
a＋b≤ ab(a>0，b>0)
D.a＋b
2 ≤ a2＋b2
2 (a>0，b>0)
2．(多选)若 x≥y，则下列不等式中正确的是( )
A．2x≥2y B.x＋y
2 ≥ xy
C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy
3．(多选)设 a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋ 1
ab≥2 2 B. 2ab
a＋b≥ ab
C.a2＋b2
ab ≥a＋b D．(a＋b) 1
a＋1
b ≥4
4．函数 y＝x2＋2
x－1 (x>1)的最小值为________．
5．(多选)设正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( )
A.1
a＋1
b有最小值 4
B. ab有最大值1
2
C. a＋ b有最大值 2
D．a2＋b2 有最小值1
2
6.(2020·绵阳诊断)已知 x>1，y>1，且 lg x，2，lg y 成等差数列，则 x＋y 有( )
A.最小值 20 B.最小值 200
C.最大值 20 D.最大值 200
7.设 a>0，若关于 x 的不等式 x＋ a
x－1≥5 在(1，＋∞)上恒成立，则 a 的最小值为( )
A.16 B.9 C.4 D.2
8.若 P 为圆 x2＋y2＝1 上的一个动点，且 A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.2 B.2 2 C.4 D.4 2
9.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓
储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储
费用之和最小，每批应生产产品( )
A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件
10.函数 y＝x2＋2
x－1 (x>1)的最小值为________.
11.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单
位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公
司创造的年平均利润的最大值是________万元.
12.已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________.
13.已知直线 mx＋ny－2＝0 经过函数 g(x)＝loga x＋1(a>0 且 a≠1)的定点，其中 mn>0，则1
m＋1
n
的最小值为________.
14.已知 a＋b＋c＝3，且 a，b，c 都是正数．
(1)求证： 1
a＋b＋ 1
b＋c＋ 1
c＋a≥3
2；
(2)是否存在实数 m，使得关于 x 的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2 对所有满足题设条件的正实数 a，b，c
恒成立？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．
1．函数 f (x)＝x2＋4
|x| 的最小值为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
1.答案 B
解析 f (x)＝x2＋4
|x| ＝|x|＋ 4
|x|≥2 4＝4，
当且仅当 x＝±2 时，等号成立，故选 B.
2．若 x>0，y>0，则“x＋2y＝2 2xy”的一个充分不必要条件是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2 且 y＝1 D．x＝y 或 y＝1
3．若实数 x，y 满足 xy＋6x＝4 00，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
5．已知函数 f (x)＝ex 在点(0，f (0))处的切线为 l，动点(a，b)在直线 l 上，则 2a＋2－b 的最小值是( )
A．4 B．2 C．2 2 D. 2
6．已知 a>b>0，那么 a2＋ 1
ba－b的最小值为________．
7．已知函数 f (x)＝x2＋ax＋11
x＋1 (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f (x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是__．
8．(2020·海南质检)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S7－S5＝3(a4＋a5)，则 4a3＋ 9
a7
的最小值为
________．
9.已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则Sn＋10
an＋1 的最小值为
________.
10.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交 AC
于点 D，且 BD＝1，则 4a＋c 的最小值为________.
11．已知正数 a，b 满足 a＋b＝2，求 1
a＋1＋ 4
b＋1的最小值．
12．已知 x>0，y>0，且 2x＋5y＝20.
(1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值；
(2)求1
x＋1
y的最小值．
拓展练
1.答案 D
解析 由 AC＝a，BC＝b，可得圆 O 的半径 r＝a＋b
2 ，
又 OC＝OB－BC＝a＋b
2 －b＝a－b
2 ，
则 FC2＝OC2＋OF2＝a－b2
4 ＋a＋b2
4 ＝a2＋b2
2 ，
再根据题图知 FO≤FC，即a＋b
2 ≤ a2＋b2
2 ，当且仅当 a＝b 时取等号．故选 D.
2.答案 AD
解析 由指数函数的单调性可知，当 x≥y 时，有 2x≥2y，故 A 正确；
当 0>x≥y 时，x＋y
2 ≥ xy不成立，故 B 错误；
当 0≥x≥y 时，x2≥y2 不成立，故 C 错误；
x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0 成立，即 x2＋y2≥2xy 成立，故 D 正确．
3.答案 ACD
解析 ∵a＞0，b＞0，
∴a＋b＋ 1
ab≥2 ab＋ 1
ab≥2 2，
当且仅当 a＝b 且 2 ab＝ 1
ab，即 a＝b＝ 2
2 时取等号，
故 A 成立；
∵a＋b≥2 ab＞0，∴ 2ab
a＋b≤ 2ab
2 ab＝ ab，当且仅当 a＝b 时取等号，
∴ 2ab
a＋b≥ ab不一定成立，故 B 不成立；
∵ 2ab
a＋b≤ 2ab
2 ab＝ ab，当且仅当 a＝b 时取等号，
a2＋b2
a＋b ＝a＋b2－2ab
a＋b ＝a＋b－ 2ab
a＋b≥2 ab－ ab＝ ab，
当且仅当 a＝b 时取等号，
∴a2＋b2
a＋b ≥ ab，∴a2＋b2
ab ≥a＋b，故 C 一定成立；
∵(a＋b) 1
a＋1
b ＝2＋b
a＋a
b≥4，
当且仅当 a＝b 时取等号，故 D 一定成立．
4.答案 2 3＋2
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝x2＋2
x－1 ＝x2－2x＋1＋2x－2＋3
x－1 ＝x－12＋2x－1＋3
x－1
＝(x－1)＋ 3
x－1＋2≥2 3＋2.当且仅当 x－1＝ 3
x－1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立．
5.答案 ABCD
解析 正实数 a，b 满足 a＋b＝1，即有 a＋b≥2 ab，可得 0＜ab≤1
4，
即有1
a＋1
b＝ 1
ab≥4，
即当 a＝b 时，1
a＋1
b取得最小值 4，无最大值；
由 0＜ ab≤1
2，可得 ab有最大值1
2；
由 a＋ b＝ a＋b＋2 ab＝ 1＋2 ab≤ 1＋2·1
2＝ 2，
可得当 a＝b 时， a＋ b取得最大值 2；
由 a2＋b2≥2ab 可得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝1，
则 a2＋b2≥1
2，故当 a＝b＝1
2时，a2＋b2 取得最小值1
2.
综上可得 ABCD 均正确．
6.答案 B
解析 由题意得 2×2＝lg x＋lg y＝lg (xy)，所以 xy＝10 000，则 x＋y≥2 xy＝200，当且仅当
x＝y＝100 时，等号成立，所以 x＋y 有最小值 200.
7.答案 C
解析 在(1，＋∞)上，x＋ a
x－1＝(x－1)＋ a
x－1＋1
≥2 （x－1）× a
（x－1）＋1＝2 a＋1(当且仅当 x＝1＋ a时取等号).
由题意知 2 a＋1≥5.所以 a≥4.
8.答案 B
解析 由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，
∴
|PA|＋|PB|
2
2
≤|PA|2＋|PB|2
2 ＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，
∴|PA|＋|PB|≤2 2，∴|PA|＋|PB|的最大值为 2 2.
9.答案 B
解析 设每批生产产品 x 件，则每件产品的生产准备费用是800
x 元，仓储费用是x
8元，总的费
用是
800
x ＋x
8 元，由基本不等式得800
x ＋x
8≥2 800
x ＋x
8＝20，当且仅当800
x ＝x
8，即 x＝80 时取
等号.
10.答案 2 3＋2
解析 y＝x2＋2
x－1 ＝（x2－2x＋1）＋2x－2＋3
x－1
＝（x－1）2＋2（x－1）＋3
x－1 ＝(x－1)＋ 3
x－1＋2≥2 3＋2.
当且仅当 x－1＝ 3
x－1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立.
11.答案 8
解析 每台机器运转 x 年的年平均利润为y
x＝18－
x＋25
x ，而 x>0，故y
x≤18－2 25＝8，当且
仅当 x＝5 时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为 8 万元.
12.答案 6
解析 因为 x>0，y>0，所以 9－(x＋3y)＝xy＝1
3x·(3y)≤1
3·
x＋3y
2
2
，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，
y＝1 时等号成立.设 x＋3y＝t>0，则 t2＋12t－108≥0，
所以(t－6)(t＋18)≥0，又因为 t>0，所以 t≥6.故当 x＝3，y＝1 时，(x＋3y)min＝6.
13.答案 2
解析 因为函数 g(x)＝loga x＋1(a>0 且 a≠1)的定点(1，1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，
所以 m＋n－2＝0，即m
2＋n
2＝1.
所以1
m＋1
n＝
1
m＋1
n
m
2＋n
2 ＝1＋ n
2m＋m
2n
≥1＋2 n
2m·m
2n＝2，
当且仅当 n
2m＝m
2n，即 m2＝n2 时取等号，
所以1
m＋1
n的最小值为 2.
14.(1)证明 因为 a＋b＋c＝3，且 a，b，c 都是正数，
所以 1
a＋b＋ 1
b＋c＋ 1
c＋a
＝1
6[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
1
a＋b＋ 1
b＋c＋ 1
c＋a
＝1
6 3＋
b＋c
a＋b＋a＋b
b＋c ＋
b＋c
c＋a＋c＋a
b＋c ＋
a＋b
c＋a＋a＋c
a＋b ≥1
6(3＋2＋2＋2)＝3
2，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，取等号，
所以 1
a＋b＋ 1
b＋c＋ 1
c＋a≥3
2得证．
(2)解 因为 a＋b＋c＝3，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，
因此 a2＋b2＋c2≥3(当且仅当 a＝b＝c＝1 时，取等号)，
所以(a2＋b2＋c2)min＝3，
由题意得－x2＋mx＋2≤3 恒成立，
即得 x2－mx＋1≥0 恒成立，
因此 Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.
故存在实数 m∈[－2,2]使不等式成立．
模拟练
2.答案 C
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2 2xy，当且仅当 x＝2y 时取等号．
故“x＝2 且 y＝1 ”是“x＋2y＝2 2xy”的充分不必要条件．故选 C.
3.答案 B
解析 实数 x，y 满足 xy＋6x＝4 00，
则4
x＋1
y＝y＋6＋1
y≥2＋6＝8，
当且仅当 y＝1，x＝4
7时取等号．
∴4
x＋1
y的最小值为 8.
4.答案 C
解析 由 lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得 lg(ab)＝lg(a＋b)，即 ab＝a＋b，则有1
a＋1
b＝1，所以 a＋b＝ 1
a＋1
b (a＋b)
＝2＋b
a＋a
b≥2＋2 b
a·a
b＝4，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立，所以 a＋b 的最小值为 4，故选 C.
5.答案 D
解析 由题意得 f′(x)＝ex，f (0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.
∴切线方程为 y－1＝x－0，即 x－y＋1＝0，
∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，
∴2a＋2－b≥2 2a·2 －b＝2 2a－b＝2 2－1＝ 2
当且仅当a＝－1
2，b＝1
2时取等号 ，故选 D.
6.答案 4
解析 由 a>b>0，得 a－b>0，
∴b(a－b)≤
b＋a－b
2
2＝a2
4 ，
∴a2＋ 1
ba－b≥a2＋4
a2≥2 a2·4
a2＝4，
当且仅当 b＝a－b，且 a2＝ 4
a2，即 a＝ 2，b＝ 2
2 时取等号．
∴a2＋ 1
ba－b的最小值为 4.
7.答案 －8
3，＋∞
解析 对任意 x∈N*，f (x)≥3，
即x2＋ax＋11
x＋1 ≥3 恒成立，
即 a≥－ x＋8
x ＋3.
设 g(x)＝x＋8
x，x∈N*，
则 g(x)＝x＋8
x≥4 2，
当且仅当 x＝2 2时等号成立，
又 g(2)＝6，g(3)＝17
3 ，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝17
3 ，
∴－ x＋8
x ＋3≤－8
3，
∴a≥－8
3，故 a 的取值范围是 －8
3，＋∞ .
8.答案 4
解析 设正项等比数列{an}的公比为 q(q>0)，
∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，∴a7＋a6
a5＋a4
＝q2＝3.
∴4a3＋ 9
a7
＝4a3＋ 9
a3q4＝4a3＋ 1
a3
≥2 4a3·1
a3
＝4，当且仅当 4a3＝1
a3
，即 a3＝1
2，a7＝9
2时等号成立．
∴4a3＋ 9
a7
的最小值为 4.
9.答案 3
解析 (1)∵a3＝7，a9＝19，
∴d＝a9－a3
9－3 ＝19－7
6 ＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，
∴Sn＝n（3＋2n＋1）
2 ＝n(n＋2)，
因此Sn＋10
an＋1 ＝n（n＋2）＋10
2n＋2 ＝1
2
（n＋1）＋ 9
n＋1
≥1
2×2 （n＋1）· 9
n＋1＝3，
当且仅当 n＝2 时取等号.故Sn＋10
an＋1 的最小值为 3.
10.答案 9
解析 法一 依题意画出图形，如图所示.
易知 S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，
即1
2csin 60°＋1
2asin 60°＝1
2acsin 120°，
∴a＋c＝ac，∴1
a＋1
c＝1，
∴4a＋c＝(4a＋c)
1
a＋1
c ＝5＋c
a＋4a
c ≥9，
当且仅当c
a＝4a
c ，即 a＝3
2，c＝3 时取“＝”.
法二 以 B 为原点，BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a，∴A
c
2， 3
2 c ，C
a
2，－ 3
2 a .
∵A，D，C 三点共线，∴AD→ ∥DC→ ，∴
1－c
2
－ 3
2 a ＋ 3
2 c
a
2－1 ＝0，
∴ac＝a＋c，∴1
a＋1
c＝1，
∴4a＋c＝(4a＋c)
1
a＋1
c ＝5＋c
a＋4a
c ≥9，
当且仅当c
a＝4a
c ， 即 a＝3
2，c＝3 时取“＝”.
11.解 1
a＋1＋ 4
b＋1＝
1
a＋1＋ 4
b＋1 ·a＋1＋b＋1
4 ＝1
4
1＋4＋b＋1
a＋1＋4a＋1
b＋1
≥1
4
5＋2 b＋1
a＋1·4a＋1
b＋1 ＝9
4，当且仅当b＋1
a＋1＝4a＋1
b＋1 ，即 a＝1
3，b＝5
3时取等号．
所以 1
a＋1＋ 4
b＋1的最小值为9
4.
12.解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得 2x＋5y≥2 10xy.
∵2x＋5y＝20，∴2 10xy≤20，xy≤10，
当且仅当 2x＝5y 时，等号成立．
因此有
2x＋5y＝20，
2x＝5y， 解得
x＝5，
y＝2， 此时 xy 有最大值 10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当 x＝5，y＝2 时，u＝lg x＋lg y 有最大值 1.
(2)∵x>0，y>0，
∴1
x＋1
y＝ 1
x＋1
y ·2x＋5y
20 ＝ 1
20 7＋5y
x ＋2x
y ≥ 1
20
7＋2 5y
x ·2x
y ＝7＋2 10
20 ，
由
2x＋5y＝20，
5y
x ＝2x
y ， 解得
x＝10 10－20
3 ，
y＝20－4 10
3 .
当且仅当 x＝10 10－20
3 ，y＝20－4 10
3 时，等号成立．
∴1
x＋1
y的最小值为7＋2 10
20 .
