【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题28离心率学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题28离心率学案

专题二十八 离心率 ‎【椭圆】‎ 椭圆的第一定义：‎ 平面内与两个定点为F1，F2的距离的和等于常数（大于）的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段F1F2，当常数小于时，无轨迹。‎ 椭圆的第二定义：‎ 平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，e叫椭圆的离心率。‎ ‎【椭圆的离心率】‎ 椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。‎ 即：‎ 椭圆中离心率的求法：‎ 在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．‎ 【双曲线】 ‎ 双曲线第一定义：‎ 平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|-|PF2||=2a（2a＜|F1F2|）。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 双曲线的第二定义：‎ 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。‎ ‎【曲线的离心率】‎ 到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。即：‎ 离心率：‎ ‎【抛物线】‎ 抛物线的定义:‎ 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线，抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹．‎ ‎【抛物线离心率】‎ 抛物线则点到定点和到定直线的距离相等，所以离心率=1‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文11】‎ 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点】椭圆的离心率 ‎【点拨】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. ‎ 答题思路 ‎【命题意图】 本类题考查椭圆的离心率的求解，圆锥曲线的简单几何性质及几何图形的应用考查.‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是求圆锥曲线的离心率的值；一种是求离心率的取值范围，，属于中档次的题型。试题既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目源于将课本中若干基础知识串并联、类比、改造而成。‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步：由题目条件列出关于的关系式 因为是椭圆C：的左、右顶点，故以线段为直径的圆的圆心为，半径为，且与直线相切，所以圆心到直线的距离；‎ 第二步：解方程，求得离心率的值 整理化简上式得，又，代入得 所以该离心率为 ‎【方法总结】‎ 题型一：求离心率 方法1：直接求出、，再求解离心率 当圆锥曲线的标准方程已知或者易求时，可直接利用率心率公式来解决。‎ 方法2：采用圆锥曲线的统一定义求解 从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形）。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率。根据的取值范围不同，曲线也各不相同：当时，轨迹为圆；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。‎ 方法3：构造、的齐次方程，解出 根据题设条件建立之间的等量关系，再借助椭圆中（或双曲线中）消去，从而构造、的齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以的齐次得到关于的方程，便可解方程得到离心率。‎ 题型二：求解离心率的取值范围 方法1：运用函数思想求解离心率的范围 通过已知条件分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率的函数关系，转换为求函数值域的问题。‎ 方法2：构建关于的不等式，求的取值范围 根据已知和潜在条件构建一个关于基本量的齐次不等式（通常要借助一些不等式性质、平面解析几何知识，函数性质与数形结合思想等来探求），再化简为形式，便可求得离心率范围。‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅰ卷，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【考点】双曲线 ‎【点拨】‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅰ卷，文12】设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点】椭圆 ‎【点拨】‎ ‎3.【2017年高考全国Ⅱ卷，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以，则，故选C．‎ ‎【考点】双曲线离心率 ‎【点拨】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎4.【2017巢湖柘皋中学最后一模】已知双曲线： 与双曲线： ，给出下列说法，其中错误的是（ ）‎ A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等 ‎【答案】D ‎5．【2017西安铁一中五模】设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎6．【2017衡水中学二模】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即，所以，即，所以，应选答案A。‎ ‎【点拨】解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为，然后依据题设建立不等式，即，然后借助参数之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。‎ ‎7．【2017锦州质量检测（二）】已知， 是双曲线（， ）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心， 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【点拨】平面解析几何小题常用的处理方法为数形结合，根据题中的条件在图中找到相应的几何关系，一般有：中位线定理，相似比，直角三角形的勾股定理，切线长定理，平行四边形等，根据几何关系建立代数式即可求解.‎ ‎8．【2017唐山三模】已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）‎ A. B. 或 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎9．【2017安庆一中三模】已知直线的斜率为2， 、是直线与双曲线C： ， 的两个交点，设、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设 则, 点（2，1）是AB的中点, ,, 直线的斜率为2, , 得, , . 10．【2017庄河高级中学四模】已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线 的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：双曲线的渐近线为： ，则： ，‎ 据此有： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎11．【2017厦门外国语学校适应性考试】已知是双曲线： 的右焦点， 是轴正半轴上一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点．若点， ， 三点共线，且的面积是面积的5倍，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎12．【2017衡阳第二次联考】双曲线的两条渐近线为，则它的离心率为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】双曲线的两条渐近线为， ，根据双曲线焦点位置的不同从而得到两种可能： 或，再由可得离心率或 ‎【点拨】要注意到双曲线的焦点位置不同时所对应的渐近线方程的系数比值所代表的式子的不同 ‎13．【2017南京三中热身试卷一】已知双曲线的离心率为2，则实数的值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ，所以，由，得， ,故填 ‎ ‎14.【2016年高考全国Ⅰ卷，文5】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【考点】椭圆的几何性质 ‎【点拨】求椭圆或双曲线的离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e .‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅲ卷，文12】已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【考点】椭圆的几何性质、三角形相似 ‎【点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出 ‎16.【2016年高考山东卷，文14】已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，不妨设，作出图象如下图所示 则故离心率. ‎ ‎【考点】双曲线的几何性质 ‎【点拨】本题主要考查双曲线的几何性质.解答本题，可利用特殊化思想，通过对特殊情况求解，得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好地考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.‎ ‎17．【2016年高考浙江卷，文13】设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|‎ 的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】双曲线的几何性质.‎ ‎【点拨】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．‎ ‎18．【2016年高考江苏卷10】如图，在平面直角坐标系中，F是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且 ，则该椭圆的离心率是 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，故，，‎ 又，所以 ‎【考点】椭圆离心率 ‎ ‎【点拨】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ‎，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.‎