【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-1常用公式大全及必记结论-备战高三数学考试万能工具包学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-1常用公式大全及必记结论-备战高三数学考试万能工具包学案

第一篇 考前必看公式与结论 专题 01 常用公式大全及必记结论 一、集合与简易逻辑 1.几何关系及运算中常用结论 2．含有 个元素的集合共有 个子集； –1 个真子集；非空子集有 –1 个；非空的 真子集有 –2 个. 3.含逻辑连接词命题真假判定 ① 与 真假相反； - / ② 一假即为假，两真才为真； ③ 一真即为真，两假才为假。 4.常见结论的否定形式 结 论 是 都 是 大 于 小 于 至 少 一 个 至 多 一个 至少 个 至 多 有 个 对 所 有 ，成立 或 且 对任何 ， 不成立 否 定 不 是 不 都 是 不 大 于 不 小 于 一 个 也 没有 至 少 两个 至 多 有 （ ） 个 至 少 有 （ ） 个 存 在 某 ，不成 立 且 或 存在某 ， 成立 5.特称命题与全称命题的否定 全称命题：对 ，使 成立，其否定为： ，使 成立； 特称命题： ，使 成立，其否定为： ，使 成立。 6. .四种命题的相互关系 原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题 若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互 A B A A B B= ⇔ =  U UA B C B C A⇔ ⊆ ⇔ ⊆ UA C B⇔ = Φ UC A B R⇔ = n 2n 2n 2n 2n p p¬ p q∧ p q∨ n n x p q p q x 1n − 1n + x p¬ q¬ p¬ q¬ x x A∀ ∈ ( )p x x A∃ ∈ ( )p x¬ x A∃ ∈ ( )p x x A∀ ∈ ( )p x¬ 　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 　否命题　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　 若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ 原命题与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假 7.充要条件判定方法 ①定义法：若 ，则 是 充分条件；若 ，则 是 必要条件；若 ， 且 ，则 是 充要条件. ②集合法：若满足条件 的集合为 A，满足条件 的集合为 B，若 A B，则 是 的充分不 必要条件；若 B A，则 是 必要不充分条件；若 A=B 则， 是 充要条件。 对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常 用集合法. 二、函数 1.函数值域与最值求法 (1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法. (2)换元法：换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括代 数换元和三角代换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这 个函数为 ，如是关于 或 的二次函数，如含 和 的函数等 常用换元法，常设 = ， = ， = ，等等，在用代数换元法时，注意① 新变量的范围.②在换元前后原变量的范围应保持不变；对于 ， 满足圆的方程或椭圆的 方程或可化为平方和为 1 的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换即圆的参数方程或椭 圆的参数方程；对定义域为 或（0，1）的含二次根式的函数的最值问题，常设 = 或 = ，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围. （3）利用函数有界性求值域（最值） 若可化为关于 、 、 、 （ ＞0 且 ≠1）等函数的函数的最值问题，就利 用这些函数的有界性求最值，这类问题通常有两种思路，（1）将函数解析式看作方程，用 将 ， 或 表示出 ，利用 ， 等值域或 范围，化为关于 的不等式，通过解 p q⇒ p q q p⇒ p q p q⇒ q p⇒ p q p q p q p q p q t sin x cos x sin cosx x+ cos sinx x sin x t cos x t sin cosx x+ t x y [ 1,1]− x sinθ x 2sin θ 2x xsin cos x xa a a y 2x xsin x 2x xsin x y 关于 的不等式求出 的范围，即可求出最值；利用这些函数的有界性，再利用不等式性 质或函数的图像与性质，求出函数的最值. （4）不等式法 若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域. 若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为 两项的和的形式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以 利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值时，.应注意均值不等式成立的条件：一正 二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不 等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值. （5）利用判别式求值域（最值） 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根 的问题，则常可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件， 若有限定条件不能用此法，另外要注意要验证判别式为 0 时是否成立． （6）数形结合法 对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三 角函数在某个区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据 的范围，求 出内函数的值域，结合三角函数的图像，求出三角函数的范围，在利用不等式的性质求出值 域，这类最值问题是高考考查的重点 （7）分段函数的值域 先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域. （8）复合函数的值域 先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外 函数的定义域，在求出完函数的值域就是复合函数的值域. 2.分式函数 （ ）图像与性质 通过常量分离化为： = y y x ( ) ax bf x cx d += + 0ab ≠ ( ) ax bf x cx d += + 2 bc ad a c dc x c − + + 对称中心为（ ， ），可将函数 = 的图像向左（ ＞0）(向右（ ＜0））平 移| |个单位，再向上（ ＞0）（向下（ ＜0））平移| |个单位得到. 当 ＞0 时， 减区间为（-∞， ），（ ，+∞）； 当 ＜0 时， 的增区间为（-∞， ），（ ，+∞）. 3.二次函数 解析式与性质 (1)解析式：①一般式 ; ②顶点式 ; ③零点式 . （2）性质:顶点为（ ， ），对称轴为： = ； 当 ＞0 时，减区间为（-∞， ），增区间为（ ，+∞）； 当 ＜0 时，增区间为（-∞， ），减区间为（ ，+∞） 4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间 的两端点处取得，具体如下： (1)当 ＞0 时， ， ， . 若 ，则 ； (2)当 ＜0 时，若 ，则 ， 若 ，则 ， . 5.一元二次方程的实根分布 ， 是一元二次方程 =0 的根，设 = . 根的分布 充要条件 充要条件 1 充要条件 2 d c − a c y 2 bc ad c x − d c d c d c a c a c a c bc ad− ( )f x d c − d c − bc ad− ( )f x d c − d c − 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠ 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠ 2 b a − 24 4 ac b a − x 2 b a − a 2 b a − 2 b a − a 2 b a − 2 b a − )0()( 2 ≠++= acbxaxxf [ ]qp, a bx 2 −= a [ ]qpa bx ,2 ∉−= { }max max( ) ( ), ( )f x f p f q= { }min min( ) ( ), ( )f x f p f q= [ ]qpa bx ,2 ∈−= min( ) ( )2 bf x f a = − { }max max( ) ( ), ( )f x f p f q= a [ ]qpa bx ,2 ∈−= { }min( ) min ( ), ( )f x f p f q= [ ]qpa bx ,2 ∉−= { }max( ) max ( ), ( )f x f p f q= { }min( ) min ( ), ( )f x f p f q= 1x 2x 2ax bx c+ + ( )f x 2ax bx c+ + , ∈ ( ,+ ∞) ＞ 且 ＞ , ∈(-∞, ) ＜ 且 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 6. 不等式恒成立、有解判断结论： (1) (2)对于参数 及函数 . 若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 ； 若 有解，则 ；若 有解，则 ； 若 有解，则 . 7.函数的单调性 (1)设 那么 上是增函数； 上是减函数. (2) 设 函 数 在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 ， 则 为 增 函 数 ； 如 果 ，则 为减函数. 2x 1x m 1x m 2x m 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 4 0 x m x m x m x m b ac  − + − >  − − > ∆ = − ≥ 2 2 4 0 ( ) 0 b ma b ac af m − > ∆ = − ≥  >  1x 2x m 1x m 2x m 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 4 0 x m x m x m x m b ac  − + − <  − − < ∆ = − ≥ 2 2 4 0 ( ) 0 b ma b ac af m − < ∆ = − ≥  >  1x m 2x 1x m 2x 1 2( )( ) 0x m x m− − < ( ) 0af m < m 1x 2x n m 1x 2x n 1 2( )( ) 0x m x n− − < 2 2 4 0 ( ) 0 ( ) 0 bm na b ac af m af n  < − < ∆ = − ≥  > > ( )N f x M< < ⇔ [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N− − < [ ] 2121 ,, xxbaxx ≠∈⋅ [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − > ⇔ [ ]baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在⇔>− − [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔ [ ]baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在⇔<− − )(xfy = 0)( >′ xf )(xf 0)( <′ xf )(xf a ( ),y f x x A= ∈ ( )a f x≥ max ( )a f x≥ ( )a f x≤ min ( )a f x≤ ( )a f x≥ min ( )a f x≥ ( )a f x≤ max ( )a f x≤ ( )a f x= min max( ) ( )f x a f x≤ ≤ 8.单调函数性质与复合函数单调性 如果函数 和 在相同区间上是单调函数,则①增函数+增函数是增函数；②减函数+ 减函数是减函数；③增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数； 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数（增函数）,则复合函数 是增函数. 如果函数 和 在其对应的定义域上一个是减函数另一个是增函数，则复合 函数 是减函数. 9．函数的奇偶性 是奇函数 对定义域内任意 ，都有 对定义域内任意 ，都有 图像关于原点对称； 是偶函数 对定义域内任意 ，都有 对定义域内任意 ，都有 图像关于 轴对称； 10.函数 的图象的对称性结论 ①若函数 关于 对称 对定义域内任意 都有 = 对定 义域内任意 都有 = 是偶函数； ②函数 关于点（ ，0） 对定义域内任意 都有 =－ =－ 是奇函数； ③若函数 对定义域内任意 都有 ,则函数 的对称轴是 ； ④若函数 对定义域内任意 都有 ,则函数 的对称轴中 心为 ； ⑤函数 关于 对称. - /- 11.两个函数对称的结论 )(xf )(xg )(ufy = )(xgu = )]([ xgfy = )(ufy = )(xgu = )]([ xgfy = ( )f x ⇔ x ( ) ( )f x f x− = − ⇔ x ( ) ( ) 0f x f x− + = ⇔ ( )f x ( )f x ⇔ x ( ) ( )f x f x− = ⇔ x ( ) ( ) 0f x f x− − = ⇔ ( )f x y ( )y f x= )(xfy = x a= ⇔ x ( )f a x+ ( )f a x− ⇔ x ( )f x (2 )f a x− ⇔ ( )y f x a= + )(xfy = a ⇔ x ( )f a x− ( )f a x+ ⇔ (2 )f a x− ( )f x ⇔ ( )y f x a= + )(xfy = x )()( xbfaxf −=+ )(xf 2 bax += )(xfy = x ( ) ( )f x a f b x+ = − − )(xf ( ,0)2 a b+ (| |)y f x a= − x a= ①两个函数 与 的图象关于直线 对称. ②函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称. ③函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称。 ④函数 与函数 的图象关于点（0,0）（即原点)对称。 12.函数 的图象变换 ①将函数 图像 的图象； ②将函数 图像 的图象； ③将函数 图像 的图象； ④将函数 图像 的图象； 13.几个函数方程的周期(约定 >0) （1）对定义域内任意 都有 ，则 的周期 T= ； （2）对定义域内任意 都有 ，或 ， 或 ,则 的周期 T=2 ； （3）若函数 关于 = ， = 对称，则 的周期为 ； （4）若函数 关于（ ，0），（ ，0）对称，则 的周期为 ； （5）若函数 关于 = ，（ ，0）对称，则 的周期为 . 14.分数指数幂 (1) （ ，且 ）. (2) （ ，且 ）. 15．根式的性质 （1） . )( axfy += )( xbfy −= 2 bax += ( )y f x= ( )y f x= − 0x = y ( )y f x= ( )y f x= − 0y = x ( )y f x= ( )y f x= − − )(xfy = ( )y f xω= 0)( ( 0)) | |a a a> <  向左( 向右 单位 ( ( ))y f x aω= + )(xfy = 0)( ( 0)) | |b b b> <  向上( 向右 单位 ( )y f x b= + )(xfy = x x x轴下方部分沿 轴对折到 轴上方 | ( )|y f x= )(xfy = y 擦除 轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折 (| |)y f x= a x )()( axfxf += )(xf a x ( ) ( )f x f x a= − + )0)(()( 1)( ≠=+ xfxfaxf 1( ) ( )f x a f x + =− ( ( ) 0)f x ≠ )(xf a )(xf x a x b )(xf 2 | |b a− )(xf a b )(xf 2 | |b a− )(xf x a b )(xf 4 | |b a− 1m n n m a a = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > 1m n m n a a − = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > ( )nn a a= （2）当 为奇数时， ； 当 为偶数时， . 16．有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . (3) . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质， 对于无理数指数幂都适用. 17.指数式与对数式的互化式 . 18.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). 对数恒等式： 19．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1) ; (2) ; (3) . 20. 平均增长率的问题 如 果 原 产 值 的 基 础 数 为 N ， 平 均 增 长 率 为 ， 则 对 于 时 间 的 总 产 值 ， 有 . 三、数列 1.数列的第 n 项与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ). 2.等差数列的通项公式 n n na a= n , 0| | , 0 n n a aa a a a ≥= = − < ( 0, , )r s r sa a a a r s Q+⋅ = > ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ log b a N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ > loglog log m a m NN a = 0a > 1a ≠ 0m > 1m ≠ 0N > log logm n aa nb bm = 0a > 1a > , 0m n > 1m ≠ 1n ≠ 0N > loga Ma M= log ( ) log loga a aMN M N= + log log loga a a M M NN = − log log ( )n a aM n M n R= ∈ p x y (1 )xy N p= + 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ { }na 1 2n ns a a a= + + + ； 其前 n 项和公式为 . 3.等比数列的通项公式 ； 其前 n 项的和公式为 或 . 4.等比差数列 : 的通项公式为 ； 其前 n 项和公式为 . 四、三角函数与解三角形 1．常见三角不等式 （1）若 ，则 . (2) 若 ，则 . (3) . 2.两角和差的三角函数： * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   = { }na 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠ 1 ( 1) , 1 ( ) , 11 n n n b n d q a bq d b q d qq − + − = = + − − ≠ − ( 1) ,( 1) 1( ) ,( 1)1 1 1 n n nb n n d q s d q db n qq q q + − = = − − + ≠ − − − (0, )2x π∈ sin tanx x x< < (0, )2x π∈ 1 sin cos 2x x< + ≤ | sin | | cos | 1x x+ ≥ 辅助角公式： (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确 定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用. . . 3.三角函数图像的对称中心和对称轴的结论： ①正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴是直线 .函数 对称轴可由 解出；对 称中心的横坐标是方程 的解，对称中心的纵坐标为 .学*- +-/ ②余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线 .函数 对称轴可由 解出；对称中心 的纵坐标是方程 的解，对称中心的横坐标为 . ( )cos cos cos sin sin cos cos sinα β α β α β α β α α α± = = → = − 令 2 2 2 ( )tan tan tan tan tan α β α β α β± = ± 1 · = − = − ⇒2 1 1 22 2cos sinα α tan tan tan2 2 1 2 α α α= − cos cos sin cos 2 2 1 2 2 1 2 2 α α α α = + = − ( )θ++=+ xbaxbxa sincossin 22 θ θ a b=θtan sin cos sinα α α π+ = +   2 4 sin cos sinα α α π+ = +   3 2 3 sin 2 sin cosα α α= 2 2tan 1 tan α α= + 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 2 2 1 tan 1 tan α α −= + 2sin 2 1 cos2tan ,cos1 cos2 sin 2 α αα αα α −= =+ 21 sin 2 2 2 2 (cos sin ) | cos sin |θ θ θ θθ± = ± = ± sin ( )y x x R= ∈ ( )( ),0k k Zπ ∈ ( ) 2x k k Z ππ= + ∈ sin( )y A xω ϕ= + 2x k πω ϕ π+ = + ( )k Z∈ x kω ϕ π+ = ( )k Z∈ 0 cos ( )y x x R= ∈ ( ),02k k Z ππ + ∈   ( )x k k Zπ= ∈ ( )cosy A xω ϕ= + x kω ϕ π+ = ( )k Z∈ 2x k πω ϕ π+ = + ( )k Z∈ 0 ③正切函数 是奇函数，对称中心是 ，函数 对称中心的横坐标可由 解出，对称中心的纵坐标为 ，函数 不具有轴对称性. 4. 中的结论：（1）正弦定理： . （2）余弦定理： ; ; . （3）面积定理： （ 分别表示 a、b、c 边上的高）. . （4）其它结论： . ① , , . ② , , . ③ . ④锐角 中, , . ⑤ . 五、平面向量 1.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律： ; (2)第一分配律： ; (3)第二分配律： 2.向量的数量积的运算律： (1) = ; (2) = = ; (3) 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch= = = a b ch h h、 、 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ µ+ = +    a b•  b a•  ( )a bλ •  a bλ •  ( )a bλ•  ( )a b c a c b c+ • = • + •       tan ( )2y x x k ππ= ≠ + ( )k Z∈ ( ),02 k k Z π  ∈   ( )tany A xω ϕ= + 2 kxω ϕ π+ = ( )k Z∈ 0 ( )tany xω ϕ= + ABC∆ ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − + 2 2 2 C A Bπ +⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − + sin sin( )A B C= + cos cos( )A B C= − + tan tan( )A B C= − + 2 2 sin cosA B C+= 2 2 cos sinA B C+= 2 2 tan cotA B C+= sin sina b A B A B> ⇔ > ⇔ > ABC∆ 2 A B π+ > sin cos ,cos cosA B A B> < tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = 3.平面向量基本定理 如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有 一对实数 ， ，使得 = ． 不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4．向量平行的坐标表示 学/* +-* 设 = , = ，且 ，则 ( ) 存在唯一 使得 . 5. 与 的数量积(或内积) = ． 6. 的几何意义 数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| |cosθ的乘积． 7.平面向量的坐标运算 (1)设 = , = ，则 = . (2)设 A ，B ,则 . (3)设 = ，则 = . (4)设 = , = ，则 = . 8.两向量的夹角公式 ( = , = ). 9.向量垂直的充要条件 设 = , = ， ( ) =0 . 10.三点共线的充要条件及中点公式 （1）P、Q、M 三点共线 （ ）. （2）P 是线段 QM 的中点 1e 2e λ µ a 1 2e eλ µ+  1e 2e a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y b ≠ 0 a  b b ≠ 0 ⇔ λ λa = b 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = a b a b•  | || | cosa b θ  a b•  a b•  a a b a b a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y a b±  1 2 1 2( , )x x y y± ± 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   a ( , ),x y Rλ ∈ λ a ( , )x yλ λ a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y a b•  1 2 1 2( )x x y y+ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ += + ⋅ + a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y a ⊥ b a ≠ 0 ⇔ a b•  1 2 1 2 0x x y y⇔ + = ⇔ OP mOQ nOM= +   1m n+ = ⇔ 1 ( )2OP OQ OM= +   若 M ,N ,则线段 QM 的中点（ ） 11. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则 （1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . （5） 为 的 的旁心 . 六、不等式 1.常用不等式： （1） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)， 变形： (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)， 变形： (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） （当且仅当 时取“=”） （ 4 ） 柯 西 不 等 式 设 ， ， … ， ， ， ， … ， ∈ R, 则 , 当 且 仅 当 =0 （ =1,2，…， ）或存在一个实数 ，使得 = （ =1,2，…， ）时，等号成立. （5） . 2.一元二次不等式解法 若 对应两根为 ， 且 ＞0，则 ＞0 ； ＜0 3.含有绝对值的不等式 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2,2 2 x x y y+ + O ABC∆ , ,A B C , ,a b c O ABC∆ 2 2 2 OA OB OC⇔ = =   O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + =    O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅      O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + =    O ABC∆ A∠ aOA bOB cOC⇔ = +   ,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 22( ) ( )a b a b+ ≥ + ,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ 2( )2 a bab +≤ 3 3 3 3 .a b c abc+ + ≥ a b c= = 1a 2a na 1b 2b nb 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2( )( ) ( )n n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + ≥ + + +   ib i n k ia ikb i n a b a b a b− ≤ ± ≤ + 2 0ax bx c+ + = 1x 2x a 2ax bx c+ + ⇔ 1 2,x x x x< >或 2ax bx c+ + ⇔ 1 2x x x< < 当 a> 0 时，有 . 或 . ( ＜ ） 或 或 4.指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ; . (2)当 时, ; 5.线性规划目标函数常用的转化公式： ① 与直线的截距相关联. ② ③ 表示 到 两点距离的平方； ④ 表示 到直线 的距离 的 倍. 22x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < 2 2x a x a x a> ⇔ > ⇔ > x a< − | | | |x a x b c− + − < a b ⇔ x a a x b x c <  − + − < a x b x a b x c ≤ ≤  − + − < x b x a x b c >  − + − < 1a > ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  < ,x zz ax by y b b = + ⇒ = − + ( ) ( ) 1 1; 1 1 ; ; ( , ) ( , )( ) ( ) byy b ay b x y b y c b x baz a ak k a b x yy cx a x c x c x c x c y c k x b −−− + + + − − −= ⇔ × = ⇔ + = + ⇔ = ⇒−− + − − + − − − − ； 与 的斜率 2 2 2 2( ) ( )z x y ax by c z x m x n= + + + + ⇒ = − + − ( , )x y ( , )m n 2 2 2 2 ax by cz ax by c z a b a b + += + + ⇒ = × + + ( , )x y 0ax by c+ + = 2 2a b+ 七、解析几何 1.斜率公式 （ 、 ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )． （2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).学*- +-/ （3）两点式 ( )( 、 ( )). (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， ) （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若 ， ① ; ② . (2)若 , , ① ； ② ； 4．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ), 其 中 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 的 直 线 系 方 程 为 ,其中 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直 线系方程为 (除 )，其中λ是待定的系数． 2 1 2 1 y yk x x −= − 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 1( )y y k x x− = − l 1 1 1( , )P x y k y kx b= + l 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − −=− − 1 2y y≠ 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 2x x≠ 1x y a b + = a b、 0a b ≠、 0Ax By C+ + = 1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b l l a a⇔ = ≠ ≠或 、 斜率都不存在， 1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ = − 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 0|| 0 0 A B A Bl l AC A C C B C B − =⇔  − ≠ − ≠ 或 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + = 0 0 0( , )P x y 0 0( )y y k x x− = − 0x x= k 0 0 0( , )P x y 0 0( ) ( ) 0A x x B y y− + − = ,A B 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y Cλ+ + + + + = 2l (3)平行直线系方程：直线 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方 程．与直线 平行的直线系方程是 ( )，λ是参变 量． (4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量． 5.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ). 6. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 . - （2）圆的一般方程 ( ＞0). （3）圆的参数方程 . （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ). 7. 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是 , 其 中 是 直 线 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数． (3) 过圆 : 与圆 : 的交点的 圆 系 方 程 是 , λ 是 待 定 的 系 数． y kx b= + 0Ax By C+ + = 0Ax By λ+ + = 0λ ≠ 0Ax By C+ + = 0Bx Ay λ− + = 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B + += + 0 0( , )P x y l 0Ax By C+ + = 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ − cos sin x a r y b r θ θ = +  = + 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x xλ− − + − − + − − − − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by cλ⇔ − − + − − + + + = 0ax by c+ + = AB l 0Ax By C+ + = C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By Cλ+ + + + + + + = 1C 2 2 1 1 1 0x y D x E y F+ + + + = 2C 2 2 2 2 2 0x y D x E y F+ + + + = 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y Fλ+ + + + + + + + + = 8.点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种 若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. 9.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种: 其中 ; ; . 10.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ; ; ; ; . 11.圆的切线方程 (1)已知圆 ． ①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当 圆外时, 表示过两个切点的切点 弦方程． 0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 22 BA CBbAad + ++= 0<∆⇔⇔> 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+<<− rrdrr 条公切线内切 121 ⇔⇔−= rrd 无公切线内含 ⇔⇔−<< 210 rrd 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 0 0( , )x y 0 0 0 0 ( ) ( ) 02 2 D x x E y yx x y y F + ++ + + + = 0 0( , )x y 0 0 0 0 ( ) ( ) 02 2 D x x E y yx x y y F + ++ + + + = ②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两 条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线． (2)已知圆 ． ①过圆上的 点的切线方程为 ; ②斜率为 的圆的切线方程为 . 12.椭圆 的参数方程是 . 13.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 渐近线方程： . (2)若渐近线方程为 双曲线可设为 . (3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上） 14. 抛物线 的焦半径公式 抛物线 焦半径 . 过焦点弦长 = （其中直线 CD 的倾斜角为 ）. 15.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （弦端点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 八、立体几何与空间向量 1．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点，依据平行线定义：在同一平面内没有公共点的两直线； 0 0( )y y k x x− = − y kx b= + 2 2 2x y r+ = 0 0 0( , )P x y 2 0 0x x y y r+ = k 21y kx r k= ± + 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > cos sin x a y b θ θ =  = 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ 2 2 2 2 0x y a b − = ⇔ xa by ±= xa by ±= ⇔ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x 0>λ 0<λ pxy 22 = 2 2 ( 0)y px p= > 0 2 pCF x= + pxxpxpxCD ++=+++= 2121 22 2 2 sin p θ θ 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 11 | |AB k x x= + − ),(),,( 2211 yxByx    = += 0)y,x(F bkxy 02 =++ cbxax 0∆ > α AB k （2）转化为二直线同与第三条直线平行，依据公理 4：平行同一直线的两条直 线平行； （3）转化为线面平行，依据线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平 行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行； （4）转化为线面垂直，依据线面垂直得性质定理：垂直同一平面的两直线平行； （5）转化为面面平行，依据面面平行的性质定理：两个平面同时和第三个平面相交，则交 线平行. （6）向量法：证明两直线的方向向量共线. 2．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点，依据线面平行定义：若一条直线与一个平面没有公共点， 则称这条直线与这个平面平行； （2）转化为线线平行，依据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行； （3）转化为面面平行，依据面面平行的性质定理：若两个平面平行，则一个平面的任意一 条直线都和另一平面平行. （4）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点，依据面面平行的定义：若两个平面没有公共点，则称这 两个平面平行； （2）转化为线面平行，依据面面平行的判定定:1：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面都平行，那么这两个平面平行.； （3）通过线线平行证明，依据面面平行的判定定理 2：如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面内两直线平行，那么这两个平面平行.； （3）转化为线面垂直，依据线面垂直得性质：垂直于同一直线的两个平面平行. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直，依据：一条直线与两平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直； （2）转化为线面垂直，依据线面垂直的定义：一直线与与一平面垂直 这条直线与平面 内任意直线都垂直； （3）向量法：证明两直线的方向向量垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径 ⇔ （1）定义法：一直线与与一平面垂直 这条直线与平面内任意直线都垂直； （2）判定定理法：若一条直线与平面内两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行，依据线面垂直的性质：若两条平行线的一条直 线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面，依据线面垂直的性质：若一条直线垂直两个平 面的一个，则与另一个平面也垂直； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直，依据面面垂直的性质定理：若两个平面垂 直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直另一个平面. （6）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）定义法：若两个平面所成的二面角的平面角是直角，则称这两个平面垂直； （2）判定定理法：若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律： ＋ = ＋ ． (2)加法结合律：( ＋ )＋ = ＋( ＋ )． (3)数乘分配律：λ( ＋ )=λ ＋λ ． 8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量. 9.共线向量定理 对空间任意两个向量 、 ( ≠ )， ∥ 存在实数λ使 =λ ． 三点共线 . 、 共线且 不共线 且 不共线. 10.共面向量定理 向量 与两个不共线的向量 、 共面的 存在实数对 ,使 ． 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 .学 +-*/ ⇔ a b b a a b c a b c a b a b a b b 0 a b ⇔ a b P A B、 、 ⇔ ||AP AB ⇔ AP t AB=  ⇔ (1 )OP t OA tOB= − +   ||AB CD ⇔ AB CD AB CD、 ⇔ AB tCD=  AB CD、 p a b ⇔ ,x y p xa yb= +   ⇔ ,x y MP xMA yMB= +   ,x y OP OM xMA yMB= + +    11. 对 空 间 任 一 点 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C ， 满 足 （ ），则当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共 面． 四点共面 与 、 共面 （ 平面 ABC）. 12.空间向量基本定理 如果三个向量 、 、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ， ， ，使 ＝ ． 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x， y，z，使 . 13.射影公式 已知向量 = 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ，作 B 点在 上的射影 ，则 〈 ， 〉= 14.向量的直角坐标运算 设 ＝ ， ＝ 则 (1) ＋ ＝ ； (2) － ＝ ； (3)λ ＝ (λ∈R)； (4) · ＝ ； 15.设 A ，B ，则 = . 16．空间的线线平行或垂直 O OP xOA yOB zOC= + +    x y z k+ + = 1k = O 1k ≠ O∈ O∉ C A B、 、 、D ⇔ AD AB AC ⇔ AD xAB yAC= +   ⇔ (1 )OD x y OA xOB yOC= − − + +    O∉ a b c p x y z p xa yb zc+ +   OP xOA yOB zOC= + +    AB a l e l l l 'A l 'B ' ' | | cosA B AB=  a e a e•  a 1 2 3( , , )a a a b 1 2 3( , , )b b b a b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b+ + + a b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b− − − a 1 2 3( , , )a a aλ λ λ a b 1 1 2 2 3 3a b a b a b+ + 1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z AB OB OA= −   2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z− − − 设 ， ，则 ； . 17.夹角公式 设 ＝ ， ＝ ，则 cos〈 ， 〉= . 推论 ，此即三维柯西不等式. 18．异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫异面直线，特征：既不相交也不平行. (2)异面直线所成角概念： 是两条直线，O 是空间任意一点，过 O 作 ∥ ， ∥ ， 则相交直线 、 所成的锐角或直角叫异面直线 所成的角，范围：（0， ]. （3）异面直线 所成角的求解思路 ①定义法：根据异面直线所成角的定义，通过过一点（通常在一条直线上取一点）作两条异 面直线的平行线，转化为相交直线的夹角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二作三证四 解. ②向量法： = （其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量） 19.直线 与平面 所成角 （1）概念：斜线与直线在平面的射影所成的锐角叫这条斜线与这个平面所成的角，规定： 直线与平面平行或在平面内，直线与平面所成的角为 0；直线与平面垂直时，直线与平面所 成角为 ，范围：[0, ]. (2)求线面角的思路 ①几何法：根据定义转化为斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解，解题 步骤，一找二作三证四解.学*/- ②向量法：若直线 的方向向量为 与平面 内的法向量为 ，直线 与平面 的所成的 1 1 1( , , )a x y z= 2 2 2( , , )b x y z= a b   ⇔ ( 0)a b bλ= ≠    ⇔ 1 2 1 2 1 2 x x y y z z λ λ λ =  =  = a b⊥  ⇔ 0a b⋅ =  ⇔ 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z+ + = a 1 2 3( , , )a a a b 1 2 3( , , )b b b a b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + + a b, a′ a b′ b a′ b′ a b, 2 π a b, cos | cos , |a bθ =   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z + +⋅ = ⋅ + + ⋅ + +     θ 0 90θ< ≤  a b, ,a b  a b, AB α 2 π 2 π a n α m a α 角为 ，则 = = . 20.二面角 （1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二 面角的棱，这两个平面叫做二面角的面. （2）二面角平面角的定义：过二面角棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角. （3）二面角问题的解题思路 ①几何法：解题步骤，一找二作三证四解，作二面角平面角有三种方法：①垂面法，过棱上 一点作棱的垂面，垂面与两个半平面交于两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面 角，若易过棱上一点作棱的垂面，常用此法, 如若已知过一点与两个半平面垂直的直线，则过 这两线做棱的垂面，与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角.；②垂线法，过棱上 一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角，若过棱上 一点在两个半平面内易作棱的垂线，常用此法，如若两个半平面都是以棱为底等腰三角形或 一个以棱为底等腰三角形，则做等腰三角形底边上的高，在另一个半平面内过垂直作棱的垂 线，所得的角就是二面角的平面角；③三垂线法，若已知过一个半平面内一点的直线与另一 个半平面垂直，常过这一点在这个平面内作棱的垂线，则所作垂线的垂直与线面垂足与所作 垂线所成的角就是二面角的平面角，然后证明所作角为二面角的平面角，再转化为三角形内 角计算.在做二面角的平面角时，注意观察两个半平面的特点，选择合适的方法作二面角的平 面角. ②向量法：对二面角 的大小问题，先求出平面 、 的法向量 、 ，再求出 、 的夹角，在 内取一点 A，在 内取一点 B，设二面角 大小为 ，若 与 同号，则 = ，若 与 异号，则 = ，注意二面角 大小与法向量夹角的关系. ③面积射影定理法： .(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平 面所成锐二面角的为 ). 21.三视图的一般要求 正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓 θ sinθ | cos , |m n< >  | | | || | n m n m ⋅    lα β− − α β m n m n α β lα β− − θ AB• n AB• m θ m,n AB•n AB• m θ π − m,n ' cos SS θ= S 'S θ 线，化三视图的基本要求是：“正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高”. 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则. 22.几何体的体积与表面积 （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）. （ 、 是台体的上、下底面积、 是台体的高） （球的半径是 R） = （ 是圆柱的底面的半径， 是圆柱的母线长） = （ 是圆锥的底面的半径， 是圆柱的母线长） = （ 、 是圆台的上、下底面的半径， 是圆台的母线长） （球的半径是 R）． 23.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正 方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 . 九、计数原理、概率、随机变量及其分布 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 1 3V Sh=柱体 S h 1 3V Sh=锥体 S h 1 + )3V S SS S h′ ′= +台体 （ S S′ h 34 3V Rπ=球 S圆柱侧面积 2 rlπ r l S圆锥的测面积 rlπ r l S圆台的测面积 1 2 )r rπ +（ 1r 2r l 24S Rπ=球表面积 a 6 12 a 6 4 a 1 2 nN m m m= + + + 1 2 nN m m m= × × × 3.排列数公式 = = .( ， ∈N*，且 )．注:规定 . 4.组合数公式 = = = ( ∈N*， ，且 ). 注:规定 . 5.组合数的两个性质 (1) = ; (2) + = . 6．排列组合问题常见解法 1、元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其 他元素的排法。 2、位置分析法：在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其 他位置的排法。 3、间接法：又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数， 再减去不符合条件的排列数。 4、树图法：又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限 定条件在 3 个以上，排列组合问题。 5、五、逐一插入法：若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指 定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。 6、消序法：若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元 素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。 7、优序法：若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数 选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。 8、捆绑法：若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他 元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。 9.插空法：若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两 端选出若干个空挡插入这些特殊元素。学 +-*/ 10. 查字典法：对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头 m nA )1()1( +−− mnnn  ！ ！ )( mn n − n m m n≤ 1!0 = m nC m n m m A A m mnnn ××× +−−   21 )1()1( ！！ ！ )( mnm n −⋅ n m N∈ m n≤ 10 =nC m nC mn nC − m nC 1−m nC m nC 1+ 的排列数计算出 ；（2）再找下一位数字。 11、分组问题：（1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。 （2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别， 故除以元素个数相同组数的全排列以消序。 12.隔板法：又叫隔墙法，插板法，n 件相同物品（n 个名额）分给 m 个人，名额分配，相 同物品分配常用此法。 若每个人至少 1 件物品（1 个名额），则 n 件物品（n 名额）排成 1 排，中间有 n-1 个空挡，在这个 n-1 空档选 m-1 个空挡放入隔板，隔板 1 种插法对应 1 种分法，所以有 种分法。 若允许有人分不到物品 ，则先把 n 件物品和 m-1 块隔板排成一排，有 n+m-1 个位置，从这 个位置中选 m-1 个位置放隔板，有 种方法，再将 n 件物品放入余下的位置，只有 1 种方法，m-1 块隔板将物品分成 m 块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每 1 种隔板 的放法对应一种分法，所以共有 种分法。 7. 排列组合综合问题：应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个 限定条件问题，注意分类讨论。 8．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法 数共有 . （2）(平均分组无归属问题)将相异的 · 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配 方法数共有 . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件必须 被分完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则其分 配方法数共有 . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件 1 1 − − m nC 1 1 − −+ m mnC 1 1 − −+ m mnC m n m n m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22 =⋅⋅⋅⋅⋅= −−  m n m m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22 =⋅⋅⋅⋅= −− )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m =⋅⋅= − )1 2 mP(P=n +n + +n m 必须被分完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a、b、 c、…个相等，则其分配方法数有 . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数 有 . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a、b、c、…个相等， 则其分配方法数有 . （7）(限定分组有归属问题)将相异的 （ ）个物体分给甲、乙、丙，…… 等 个人，物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，…时，则无论 ， ，…， 等 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 . 9.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 10.等可能性事件的概率 . 11.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 12.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B)． = （ 是 的对立事件） 13.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 1n 2n mn 1n 2n mn m !...!! !...2 1 1 cba mCCCN m m n n n np n p ⋅⋅= − 1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !!...! ! 21 mnnn pN = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m = p 2 mp n n n= 1+ + + m 1n 2n 3n 1n 2n mn m !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m =⋅= − nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−  222110)( rrnr nr baCT − + =1 )210( nr ，，， = ( ) mP A n = ( )p A 1 ( )p A− A A ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P −= − 14.几何概型中，事件 的概率计算公式 = 15.条件概率 设 A、B 为两个事件，且 ＞0，称 为在事件 A 发生的条件下，事件， 事件 B 发生的条件概率.P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. 16.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） ; （2） . 17.离散随机变量的数学期望、方差、标准差 , = ， = . 18.数学期望的性质 （1） . （2）若 ～ ,则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 19.方差的性质 (1) ； (2）若 ～ ，则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 20.方差与期望的关系 . A ( )p A A构成事件 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） ( )p A ( )( | ) ( ) P ABP B A P A = 0( 1,2, )iP i≥ =  1 2 1P P+ + = 1 1 2 2 n nE x P x P x Pξ = + + + Dξ 2 2 2 1 1 2 2- ( ) ( )n nx E P x E P x E Pξ ξ ξ+ − + + −（ ） σξ ξD ( ) ( )E a b aE bξ ξ+ = + ξ ( , )B n p E npξ = ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 1E p ξ = ( ) 2D a b a Dξ ξ+ = ξ ( , )B n p (1 )D np pξ = − ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 2 qD p ξ = ( )22D E Eξ ξ ξ= − 21.常见分布列 （1）两点分布： （2）二项分布：在 次独立重复试验中，用 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 ，则 = （ =0,1,2，……，n），称随机变量 服从 二项分布，记作 ～ ，并称 为成功的概率.学-* /-+ （3）几何分布：若一次试验中某事件发生的概率为 p，在独立重复试验中，某事件第一次 发生时所作的实验的次数ξ=k 的概率为： ，k=1,2,…;q=1-p, 称ξ服从几何分布，并记作 g(k,p)=qk-1p （4）超几何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 件次品，则 = （ =0,1,2，……，m） 其中 = ，且 ≤N，M≤N，M,N∈ ，则称随机变量 服从超几何分布. 22.正态分布 若对于 ， ∈R，随机变量 满足 = ， ， 则称 的分布为正态分布，记作 N（μ， ）（ >0），若随机变量 服从正态分布，记作 ～ ( 为期望， 为方差),当 =0， =1 称为标准正态分布. 23.正态分布的性质 （1）曲线在 轴上方，与 轴不相交. （2）曲线是单峰的，它关于直线 = 对称. （3）曲线在 = 处达到峰值. （4）曲线与 轴之间的面积为 1. （5） 一定时，曲线的形状由 确定. 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越 小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中. 24.正态分布问题的解题思路 n ξ p ( )p kξ = (1 )k k n k nC p p −− k ξ ξ ( , )B n p p 1)( −== kpqkp ξ ξ ( )p kξ = k n k M N M n N C C C − − k m min{ , }M n n *N ξ ∀ a b ξ ( )P a bξ< ≤ ( )2 2261 2 6 x b a e dx µ π −−∫ ( ),x∈ −∞ +∞ ξ 2σ σ ξ ξ 2( , )N µ σ µ 2σ µ σ x x x µ x µ x µ σ σ σ 常结合正态分布密度曲线，利用对称性求解. 25.回归直线方程 ，其中 . 回归直线一定过样本中心点（ ， ）. 26.相关系数 . |r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 27.散点图 表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图。 28.正相关、负相关 如果散点图中的点散步在从左下到右上的区域内，称为正相关，若分布在从左上角到右下角 的区域内，称为负相关. 29.独立性检验 假设两个分类变量 和 ，它们的可能取值分别为 和 ，其样本频数 2×2 列 联表为 总计 总计 常用独立性检验 考察两个分类变量 、 是否有关系，并能较精确地给出这种判断的可靠 程度，具体做法如下： ① 根 据 实 际 问 题 需 要 的 可 信 度 确 定 临 界 值 ； ② 利 用 公 式 = y a bx= + ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx = = = =  − − −  = =  − −  = − ∑ ∑ ∑ ∑ x y ( )( ) 1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( )( ) 1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i x x y y x nx y ny = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ X Y 1 2{ , }x x 1 2{ , }y y 1y 2y 1x a b a b+ 2x c d c d+ a c+ b d+ a b c d+ + + X Y 0k 2K ，由观测数据计算得到随机变量 的观测值 ；③如果 ＞ ， 就以 的把握认为“ 与 有关系”；否则就说样本观测值没有提供 “ 与 有关系”的充分证据. 十、导数 1. 函数 在点 处的导数的几何意义 函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ， 相应的切线方程是 . 2.几种常见函数的导数 (1) （C 为常数）. (2) . (3) . （4) . (5) ； . (6) ; . 3.导数的运算法则 （1） . （2） . （3） . 4.复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U 处有导数 ， 则 复 合 函 数 在 点 处 有 导 数 ， 且 ， 或 写 作 . 5.曲线的切线问题 ①求曲线在某点的切线：先求出曲线在该点的导数即为切线的斜率，再用点斜式求出切线方 程. ②求曲线过某点的切线：先设出切点的坐标，求出曲线在切点的导数，利用切线过已知点， 求出切点坐标，从而求出切线方程. 6.函数的单调性问题 2( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d − + + + + 2K k k 0k 2 0(1 ( )) 100%P k k− > × X Y X Y )(xfy = 0x )(xfy = 0x )(xfy = ))(,( 00 xfxP )( 0xf ′ ))(( 000 xxxfyy −′=− 0=′C ' 1( ) ( )n nx nx n Q−= ∈ xx cos)(sin =′ xx sin)(cos −=′ xx 1)(ln =′ e a x xa log1)(log =′ xx ee =′)( aaa xx ln)( =′ ' ' '( )u v u v± = ± ' ' '( )uv u v uv= + ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv vv v −= ≠ ( )u xϕ= x ' ' ( )xu xϕ= )(ufy = x ' ' ( )uy f u= ( ( ))y f xϕ= x ' ' ' x u xy y u= ⋅ ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u xϕ ϕ= （1）函数的单调性与导数的关系 设函数 在某个区间内可导，若 ，则 为增函数；若 ，则 为减函数. （2）用导数函数求单调区间方法 求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于 0 的不等式，得到区间为增 区间，解导数小于 0 得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法 集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形 式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； - /. (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题 先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0 恒成立问 题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中 条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加. 7.函数的极值与最值问题 （1）函数极值的概念 设函数 在 附近有定义，若对 附近的所有点，都有 ，则称 是函数 的一个极大值，记作 = ； 设函数 在 附近有定义，若对 附近的所有点，都有 ，则称 是函数 的一个极小值，记作 = . 注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定 大于极限值;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系 当函数 在 处连续时，若在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值；若在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值. 注意：①在导数为 0 的点不一定是极值点，如函数 ，导数为 ，在 处导 数为 0，但不是极值点； （3）函数的极值问题 ①求函数的极值，先求导函数，令导函数为 0，求出导函数为 0 时，方程的根和导数不存 ( )y f x= ( ) 0f x′ > ( )f x / ( ) 0f x < ( )f x ( )y f x= 0x 0x 0( ) ( )f x f x< 0( )f x ( )f x y极大值 0( )f x ( )y f x= 0x 0x 0( ) ( )f x f x> 0( )f x ( )f x y极小值 0( )f x ( )y f x= 0x 0x / ( ) 0f x > / ( ) 0f x < 0( )f x 0x / ( ) 0f x < / ( ) 0f x > 0( )f x 3y x= / 23y x= 0x = 在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值， 若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值； ②已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为 0，列出关于参数方程， 求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为 0 的必要不充分条件，故需将 参数代入检验在给点的是否去极值； ③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解， 判别式大于 0，求出参数的范围. 8.最值问题 （1）最值的概念 对函数 有函数值 使对定义域内任意 ，都有 （ ）则称 是函数 的最大（小）值. 注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、 最小值都存在，则最大值一定大于最小值. ②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题 （1）对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大 值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和 极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；（2）对已知最值或不等式恒成立求 参数范围问题，通过参变分离转化为不等式 ≤（≥） （ 是自变量， 是参数） 恒成立问题， ≥ （≤ ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的 区别于联系. 9.导数的综合问题 （1）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值， 利用函数的单调性与最值证明不等式；注意应用前面小题结论； （2）对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另 （小于）一端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，若参变 分离后不易求解，就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成立问题的区别. 10.积分学 -+/ ( )y f x= 0( )f x x ( )f x ≤ 0( )f x ( )f x ≥ 0( )f x 0( )f x ( )y f x= ( )f x ( )g a x a ( )g a max( )f x min( )f x （1）积分的几何意义 若 = （ ≥0），则积分 的几何意义是直线 = ， = ， 轴及曲线 = 围成的曲边梯形的面积. (2)定积分的性质 ① = ， ② = ③ = （ ＜ ＜ ） （3）微积分基本定理 若 是区间[ , ]上的连续函数，且 = ，则 = . （4）积分问题 ①求定积分，利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则从反向求出 ，再微 积分基本定理和积分运算性质求出定积分； ②利用积分求平面图形面积，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点， 选择相应的积分变量以确定积分区间，写出图形面积的积分表达式，再进行求解，要把 定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极 限，可正，也可以为负数或零；而平面图形的面积在一般意义下总是为正，因此当 时，要通过绝对值处理成正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面 积，然后再相加； 如图所示，图像的面积 ③导数在物理中的应用，首先要分清是变力作功问题或是路程问题或是速度问题，在转化为 定积分问题求解. 十一、复数 1.复数的概念 （1）虚数单位 ：① =－1；②实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、 乘运算律仍成立。 （2）复数的定义 y ( )f x ( )f x ( )b a f x dx∫ x a x b x y ( )f x ( )b a kf x dx∫ ( )b a k f x dx∫ [ ( ) ( )]b a f x g x dx±∫ ( ) ( )b b a a f x dx g x dx±∫ ∫ ( )b a f x dx∫ ( ) ( )c d a c f x dx f x dx+∫ ∫ a c b ( )f x a b ( )F x′ ( )f x ( )b a f x dx∫ ( ) ( )F b F a− ( )F x ( ) 0f x ≤ [ ( ) ( )]b a f x g x dx−∫ i 2i 形如 （ ， ∈R）的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部. （3）复数的分类 对于复数 （ ， ∈R），当且仅当 =0 时，复数 （ ， ∈R）是实数 ；当 ≠0 时，复数 （ ， ∈R）叫虚数；当 =0 且 ≠0 时， 叫纯虚数. (4)复数的相等 .（ ） 2.复数的点表示 复数 （ ， ∈R）可用点 ( , )表示，这个建立了直角坐标系表示复数的平面叫 复平面， 轴叫实轴， 轴除去原点叫虚轴，实轴上点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数. 3.复数 的模（或绝对值） = = . 4.复数的四则运算法则 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . a bi+ a b a b a bi+ a b b a bi+ a b a b a bi+ a b a b z bi= ,a bi c di a c b d+ = + ⇔ = = , , ,a b c d R∈ a bi+ a b Z a b x y z a bi= + | |z | |a bi+ 2 2a b+ ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ − + = − + − ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i+ + = − + + 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c dic d c d + −+ ÷ + = + + ≠+ +