【数学】2018届一轮复习人教A版函数模型及应用教案
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
知识点一 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
1．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B
地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，则汽车离A地的距离S(千米)表示为时间t(小时)的函数解析式是________．
解析：当0≤t≤2.5时，S＝60t；当2.5
1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
________
________
________
增长速度
________
________
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与____接近平行
随x值增大，图象与____接近平行
随n值变化而不同
答案
增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y轴 x轴
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直线t＝t0(0≤t0≤5)左侧部分阴影图形的面积的实际意义是________．
解析：根据速率与时间的关系可得．
答案：在[0，t0]时间段内汽车行驶的里程
5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
答案：B
热点一 一次函数、二次函数模型的应用
【例1】 某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：
年固定成本
(万美元)
每件产品成
本(万美元)
每件产品销售
价(万美元)
每年最多可
生产件数
甲产品
20
a
10
200
乙产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系式；
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．
【解】 (1)由题知y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－20，0≤x≤200且x∈N；y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120且x∈N.
(2)∵3≤a≤8，∴10－a>0，
∴y1＝(10－a)x－20为增函数．
又0≤x≤200，x∈N，
∴x＝200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a)×200－20＝1 980－200a(万美元)．
又y2＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120，x∈N，
∴x＝100时，y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元.
【总结反思】
二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.
加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：由题中图象可知点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)在函数图象上，因此有解得
故p＝－0.2t2＋1.5t－2，
其对称轴方程为t＝＝＝3.75.
所以当t＝3.75时，p取得最大值．故选B.
答案：B
热点二 分段函数模型的应用
【例2】 中共十七届六中全会通过“文化强国”战略，提出要努力建设社会主义文化强国．为响应中央号召，郑州市2012年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似满足f(x)＝4(1＋)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足g(x)＝104－|x－23|.
(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系式；
(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%
的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资？
【解】 (1)由题意，知p(x)＝f(x)g(x)＝4(1＋)(104－|x－23|)(1≤x≤30，x∈N*)．
(2)由(1)，知p(x)＝
①当1≤x≤23时，p(x)＝4(1＋)(81＋x)＝4(82＋x＋)≥4(82＋2)＝400，当且仅当x＝，即x＝9时，p(x)取得最小值是400；
②当23400.
所以当x＝9时，p(x)的最小值为400万元．
则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%＝648>600，所以600万元投资可以在两年内全部收回.
【总结反思】
解决函数建模问题，首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是什么，求解目标是什么，为了表达求解目标需要解决什么问题，这些问题清楚了就可以把求解目标用一个变量表达出来．在函数模型中，含有绝对值的函数本质上是分段函数，要特别注意其中关键点的把握，如本例中x
＝23，而对于解决分段函数问题，要先解决函数在各段上的性质，然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质.
某商场从2016年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N*，且x≤12)，该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是
q(x)＝
(1)写出2016年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2016年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.
验证x＝1符合，故f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)预计该商场第x个月销售该商品的月利润为g(x)＝
，
即g(x)＝
.
当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当50)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
【解】 (1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，即m·2t＋≥2恒成立．
亦即m≥2恒成立．
令＝y，则0
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