2019届二轮复习（理）专题八选修4系列选讲第二讲选修4－5不等式选讲学案（全国通用）
第二讲 选修4－5 不等式选讲
考点一 含绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1)若c>0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；
(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)零点分段讨论法．
(2)绝对值的几何意义．
(3)数形结合法．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－
1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；
若a>0时，则|ax－1|<1的解集为.
所以≥1，故0
x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，
所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.
绝对值恒成立问题应关注的3点
(1)巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值．
(2)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.
(3)f(x)a有解⇔f(x)max>a.
[对点训练]
1．[角度1](2018·山东淄博模拟)设函数f(x)＝|x＋4|.
(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；
(2)求不等式f(x)>1－x的解集．
[解] (1)因为f(x)＝|x＋4|，
所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，
又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，
∴|2a|＝4，
∴a＝±2.
(2)f(x)＝|x＋4|＝
∴不等式f(x)>1－x等价于
解得x>－2或x<－10，
故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}．
2．[角度2](2018·河南郑州二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，
令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
则h(x)＝
故h(x)min＝h＝－，
所以实数a的取值范围为a≥－.
考点三 不等式的证明
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
[证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)
＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
证明不等式的方法和技巧
(1)
如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．
(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．
[对点训练]
已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.
(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；
(2)证明：＋＋≤＋＋.
[证明] (1)∵1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，
∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥2·2·2＝8，
∵abc＝1，∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8.
(2)∵ab＋bc≥2＝2，
ab＋ac≥2＝2，
bc＋ac≥2＝2，
上面三式相加得，
2ab＋2bc＋2ca≥2＋2＋2，
即ab＋bc＋ca≥＋＋.
又＋＋＝ab＋bc＋ac，
∴＋＋≤＋＋.
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而14；
(2)若∀x∈，不等式a＋14⇔
或或
⇔x<－2或01.
∴不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，当x<－时，f(x)＝－3x－2，
∵当x<－时，f(x)＝－3x－2>，
∴a＋1≤，即a≤.
∴实数a的取值范围为.
2．(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．
[解] (1)由f(x)≤2，得或或解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]．
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝
作出函数f(x)的图象，如图所示，
易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4,0)时，k＝；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪.
3．(2018·大庆二模)已知f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.
(1)求不等式f(x)>4的解集；
(2)若对任意的x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)解法一：不等式f(x)>4即|x＋3|＋|x－1|>4.
可得或
或
解得x<－3或x>1，所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，
当且仅当(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1时，等号成立．
所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max，
由(1)知f(x)min＝4，
因为g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，
所以g(x)max＝m2.
由m2≤4得m的取值范围是－2≤m≤2.
4．(2018·西安一模)设a、b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
[解] (1)由2＝＋≥2得ab≥，
当a＝b＝时取等号．
故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
∴(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
∴ab－1＝0，即ab＝1.
