【数学】2020届一轮复习人教B版离散型随机变量分布列与数字特征学案

【数学】2020届一轮复习人教B版离散型随机变量分布列与数字特征学案

微专题87 离散型随机变量分布列与数字特征 一、基础知识：‎ ‎（一）离散型随机变量分布列：‎ ‎1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量 ‎（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件 ‎（2）量化的事件之间通常互为互斥事件 ‎（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为，则“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，‎ ‎（4）随机变量的记法：随机变量通常用等表示 ‎（5）随机变量的概率：记为取所代表事件发生的概率 ‎2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集 ‎3、分布列：一般地，若离散型随机变量可能取得不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：‎ 称该表格为离散型随机变量的分布列，分布列概率具有的性质为：‎ ‎（1）‎ ‎（2），此性质的作用如下：‎ ‎① 对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确 ‎② 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率 ‎（二）常见的分布：‎ ‎1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：‎ ‎（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.‎ ‎（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布 ‎2、常见的分布 ‎（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：‎ 则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率 ‎（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中 即：‎ 则称随机变量服从超几何分布，记为 ‎（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即：‎ ‎ ‎ 则称随机变量符合二项分布，记为 ‎ ‎（三）数字特征——期望与方差 ‎1、期望：已知离散性随机变量的分布列为：‎ 则称的值为的期望，记为 ‎ ‎（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次，设投进篮的次数为随机变量，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如次），统计每次试验中的取值，则这个值的代数平均数将很接近期望 ‎ ‎（2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有 ‎① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：‎ 则的分布列为：‎ ‎②‎ ‎ 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望 ‎2、方差：已知离散性随机变量的分布列为：‎ 且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：‎ ‎（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计。方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）‎ ‎（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则 ‎ ‎（3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：‎ ‎3、常见分布的期望与方差：‎ ‎（1）两点分布：则 ‎ ‎（2）二项分布：若，则 ‎ ‎（3）超几何分布：若，则 注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）‎ 二、典型例题：‎ 例1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛 ‎（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率 ‎（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望 ‎（1）思路：本题可用古典概型进行解决，设为“五支队伍的比赛顺序”，则，事件为“甲乙排在前两位”，则，从而可计算出 解：设事件为“甲乙排在前两位”‎ ‎（2）思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数能取得值为，同样适用于古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序问题。‎ 解：可取得值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ 例2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．‎ 求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；‎ ‎（2）选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望．‎ ‎（1）思路：本题可用古典概型来解，事件为“10名教师中抽取3人”，则，事件为“语文教师人数多于数学教师人数”，则分为“1语0数”，“2语1数”，“2语0数”，“3语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为，则即可求出。为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“‎ ‎3人中有名语文教师”和“3人中有名数学教师”。‎ ‎ 设事件为“3人中有名语文教师”，为“3人中有名数学教师”，事件为“语文教师人数多于数学教师人数”‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10个元素中不放回的抽取3个元素，特殊元素个数的分布列”，即符合超几何分布。随机变量的取值为，按超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望 ‎ 语文教师人数可取的值为，依题意可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 例3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在‎185cm以上（包括‎185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在‎190cm以上（包括‎190cm）的只有两个人，且均在甲队 ‎（1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在 （单位：cm）内的运动员人数 ‎ ‎（2）在甲，乙两队所有成绩在‎180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率 ‎（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数的分布列及期望 ‎（1）思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲，乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布（但不区分甲，乙队），由此可明确要确定全体运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据，则两个图要结合着看。在第（1）问中，可以以‎190cm以上的人数为突破口，通过频率直方图可知‎190cm以上所占的频率为，而‎190cm以上只有2人，从而得到全体人数，然后再根据频率直方图得到的人数，减去甲队的人数即为 ‎ 解：由频率直方图可知：‎ 成绩在以‎190cm以上的运动员的频率为 所以全体运动馆总人数（人）‎ ‎ 成绩位于中运动员的频率为，人数为 ‎ 由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有3名 ‎（人）‎ ‎（2）思路：通过频率直方图可知‎180cm以上运动员总数为：（人），结合茎叶图可知乙在‎180cm以上不缺数据。题目所求的是条件概率，所以可想到公式，分别求出“至少有1人成绩为‘优秀’”和“两人成绩均‘优秀’”‎ 的概率，然后再代入计算即可 解：由频率直方图可得：‎180cm以上运动员总数为：‎ 由茎叶图可得，甲乙队‎180cm以上人数恰好10人，且优秀的人数为6人 ‎ 乙在这部分数据不缺失 设事件为“至少有1人成绩优秀”，事件为“两人成绩均优秀”‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）思路：由（2）及茎叶图可得：在优秀的6名运动员中，甲占了4名，乙占了2名，依题意可知的取值为，且符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算 解：由（2）可得：甲有4名优秀队员，乙有2名优秀队员 可取的值为 ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ 例4：现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎（1）思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为，4个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即可。‎ 解：依题意可得：参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为 设事件为“有个人参加甲游戏”‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件，又因为互斥，所以根据加法公式可得：，进而可计算出概率 解：设事件为“甲游戏人数大于乙游戏人数”‎ ‎ ‎ ‎（3）思路：表示两个游戏人数的差，所以可取的值为。时对应的情况为，时对应的情况为，时对应的情况为，从而可计算出对应的概率，得到分布列 解：可取的值为 例5：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是分钟 ‎（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 ‎（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望，方差 解：（1）思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立，。在第三个路口首次遇到红灯，即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算 解：设事件为“在第个路口遇到红灯”，则， ‎ 设事件为“第三个路口首次遇到红灯”即 ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：在上学途中遇到一次红灯就需要停留2分钟，一共四个路口，所以要停留的时间可取的值为，依题意可知的取值对应的遇到红灯次数为，且该模型属于独立重复试验模型，所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率，即为对应取值的概率，从而列出分布列，在计算期望与方差时，如果借用分布列计算，虽然可得到答案，但过程比较复杂（尤其是方差），考虑到符合二项分布，其期望与方差可通过公式迅速得到，且与之间存在联系：。所以先利用二项分布求出的期望与方差，再利用运算公式得到的期望方差即可 解：可取的值为，设遇到红灯的次数为，则对应的值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：本题的亮点在于求的期望方差时，并不是生硬套用公式计算，而是寻找一个有特殊分布的随机变量，通过两随机变量的联系（线性关系）和的期望方差来得到所求。‎ 例6：甲，乙去某公司应聘面试，该公司的面试方案为:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响 ‎（1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；‎ ‎（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？‎ ‎（1）思路：依题意可知对于甲而言，只要在抽题的过程中，抽中甲会答的题目，则甲一定能够答对，所以甲完成面试题数的关键在于抽题，即从6道题目中抽取3道，抽到甲会的4道题的数量，可知符合超几何分布；对于乙而言，抽的题目是无差别的，答对的概率相同，所以乙正确完成面试题数符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公式即可得到分布列和方差 解：（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：‎ ‎，可取的值为 ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎（2）思路：由（1）可知，说明甲，乙两个人的平均水平相同，所以考虑甲，乙发挥的稳定性，即再计算，比较它们的大小即可 解：‎ 甲发挥的稳定性更强，则甲胜出的概率较大 小炼有话说：（1）第（2）问在决策时，用到了期望和方差的意义，即期望表明随机变量取值的平均情况，而方差体现了随机变量取值是相对分散（不稳定）还是集中（稳定），了解它们的含义有助于解决此类问题 ‎（2）当随机变量符合特殊分布时，其方差也有公式以方便运算：‎ ‎① 二项分布：若，则 ‎② 超几何分布：若，则 例7：某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，两人租用的时间都不超过4小时．‎ ‎（1）求甲、乙两人所付费用相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．‎ 解：（1）设事件为“甲，乙租用时间均不超过2小时” ‎ 事件为“甲，乙租用时间均在2小时至3小时之间” ‎ 事件为“甲，乙租用时间均在3小时至4小时之间”‎ ‎ ‎ 故所求事件的概率 ‎（2）的取值可以为 则 ‎ ‎ 故的分布列为：‎ 例8：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左，右两边下落的概率分别是 ‎ ‎（1）分别求出小球落入袋和袋中的概率 ‎（2）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望 ‎（1）思路：本题的关键要抓住小球下落的特点，通过观察图形可得：小球要经历三层障碍物，且在经历每层障碍物时，只有一直向左边或者一直向右边下落，才有可能落到袋中，其余的情况均落入袋，所以以袋为突破口即可求出概率 解：设事件为“小球落入袋”，事件为“小球落入袋”，可知 ‎ 依题意可得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：每个小球下落的过程是彼此独立的，所以属于独立重复试验模型，由（1）可得：在每次试验中，落入袋发生的概率为，所以服从二项分布，即，运用二项分布概率计算公式即可得到答案 解：可取的值为，可知 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ 例9“已知正方形的边长为，分别是边的中点．‎ ‎（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；‎ ‎（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎（1）思路：首先明确本题应该利用几何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件个数为无限多个）。为“正方形内部的点”，所以，设事件为“”，则点位于以为圆心，为半径的圆内，所以为正方形与圆的公共部分面积，计算可得：，从而算出 解：设事件为“”‎ ‎（2）思路：八个点中任取两点，由正方形性质可知两点距离可取的值为，概率的计算可用古典概型完成。为“八个点中任取两点”，则，当时，两点为边上相邻两点，共8组；当时，该两点与中点相关有4组；当时，除了正方形四条边，还有，所以由6组；当时，该两点为顶点与对边中点，共8组；当时，只能是正方形对角线，有2组，根据每种情况的个数即可计算出概率，完成分布列 解： 可取的值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ 例10：一种电脑屏幕保护画面，只有符号和随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现和之一，其中出现的概率为，出现的概率为，若第次出现，则记；出现，则记，令．‎ ‎（1）当时，求的分布列及数学期望．‎ ‎（2）当时，求且的概率．‎ ‎（1）思路：依题意可知表示试验进行了三次，可能的情况为3，12，21，3。且符合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应的取值为，分别计算出概率即可列出分布列 解：的取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎（2）思路：由可知在8次试验中出现5次，3次。而可知在前四次中，出现的次数要大于出现的次数，可根据前四次出现的个数进行分类讨论，并根据安排和出现的顺序 解：设为“前四次试验中出现个，且，‎ ‎ ‎ 三、历年好题精选 ‎1、已知箱装有编号为的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），箱装有编号为的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.‎ ‎（1）求概率；‎ ‎（2）设随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎2、春节期间，某商场决定从3种服装，2种家电，3种日用品中，选出3种商品进行促销活动 ‎（1）试求出选出的3种商品中至少有一种是家电的概率 ‎（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为元的奖金，若中3次奖，则共获得数额为元的奖金，假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利 ‎3、为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）若身高在‎175cm以上（包括‎175cm）定义为“高个子”，身高在‎175cm以下（不包括‎175cm）定义为“非高个子”，切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”‎ ‎（1）求12名男志愿者的中位数 ‎（2）如果用分层抽样的方法从所有“高个子”，“非高个子”中共抽取5人，再从这5个人中选2人，那么至少有一个是“高个子”的概率是多少？‎ ‎（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列并求出期望 ‎4、如图所示：机器人海宝按照以下程序运行：‎ ‎① 从A出发到达点B或C或D，到达点B,C,D之一就停止 ‎② 每次只向右或向下按路线运行 ‎③ 在每个路口向下的概率为 ‎ ‎④ 到达P时只向下，到达Q点只向右 ‎（1）求海宝从点A经过M到点B的概率和从A经过N到点C的概率 ‎（2）记海宝到B,C,D的事件分别记为，求随机变量的分布列及期望 ‎5、如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落至或或，已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入到小球落到，则分别设为一、二、三等奖 ‎（1）已知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为，记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望 ‎（2）若由3人参加促销活动，记随机变量为获得一等奖或二等奖的人数，求 ‎ ‎6、某地区一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8，某场生产的产品当天怕雨，若下雨而不作处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元 ‎（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的概率分布，并求其平均值 ‎（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的概率分布，计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择 ‎7、正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，从正四棱柱的12条棱中任取两条，设为随机变量，当两条棱相交时，记；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记 ‎（1）求概率 ‎（2）求的分布列，并求其数学期望 ‎8、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为 ‎（1）求投到该杂志的一篇稿件被录用的概率 ‎（2）记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望 ‎9、（2018，湖南师大附中月考）师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔10辆就抽取一辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：统计后得到如下图的频率分布直方图．‎ ‎（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？并求这20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在 的车辆中做任意抽取3辆，求车速在和内都有车辆的概率；‎ ‎（3）若从车速在的车辆中任意抽取3辆，求车速在的车辆数的数学期望．‎ ‎10、已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同），现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中 ‎（1）求第二次取出红球的概率 ‎（2）求第三次取出白球的概率 ‎（3）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望 ‎11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1个黑色球，顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖，规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励 ‎（1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率 ‎（2）记为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望 ‎12、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在9.5分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定：‎ ‎① 两轮测试均通过的定为一级工程师 ‎② 仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师 ‎③ 第一轮测试没通过的不予定级 已知甲，乙，丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为；通过第二轮测试的概率均为 ‎（1）求经过本次考核，甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师的概率 ‎（2）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率 ‎（3）设甲，乙，丙三位工程师中被定为一级工程师的人数为随机变量，求的分布列和数学期望 ‎13、（2015，广东）已知随机变量服从二项分布，若，则____‎ ‎14、（2015，安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.‎ ‎（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 ‎（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值 ‎15、（2015，福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.‎ ‎（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎16、（2015，天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；‎ ‎（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎17、（2015，山东）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.‎ ‎（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；‎ ‎（2）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望 ‎18、（四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．‎ ‎（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ ‎19、（2018，唐山一中）设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为.‎ ‎（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域内的概率；‎ ‎（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域内的个数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎20、（2018，天一大联考）某猜数字游戏规则如下：主持人给出8个数字，其中有一个是幸运数字，甲，乙，丙三人依次来猜这个幸运数字，有人猜中或者三人都未猜中游戏结束。甲先猜一个数，如果甲猜中，则甲获得10元奖金，如果甲没有猜中，则主持人去掉四个非幸运数字（包括甲猜的）；乙从剩下的四个数中猜一个，如果乙猜中，则甲，乙均获得5元奖金，如果乙没有猜中，则主持人再去掉两个非幸运数字（包括乙猜的）；丙从剩下的两个数中猜一个，如果丙猜中，则甲，乙，丙均获得2元奖金。如果丙没有猜中，则三个人均没有奖金 ‎（1）求甲至少获得5元奖金的概率 ‎（2）记乙获得的奖金为元，求的分布列及数学期望 ‎21、（2018，广东省四校第二次联考）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．‎ 分数（分数段）‎ 频数（人数）‎ 频率 ‎[60，70）‎ ‎9‎ ‎[70，80）‎ ‎0.38‎ ‎[80，90）‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎[90，100）‎ 合 计 ‎1‎ ‎（1）求出上表中的的值；‎ ‎（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出 场顺序．已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．‎ ‎① 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；‎ ‎② 记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎22、（2018，唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，‎ 方案一：每满200元减50元：‎ 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）‎ ‎（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；‎ ‎（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？‎ 习题答案：‎ ‎1、解析：（1）设事件为“取出号球”，设事件为“取出号球”，则 ‎（2）的取值为 ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎2、解析：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有种．‎ 所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 ‎（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3、解析：（1）由茎叶图可得：男志愿者身高数据为：‎ ‎ ‎ 所以中位数为： ‎ ‎（2）由茎叶图可得：“高个子”12人，“非高个子”18人 所以这5个人中，有2个高个子，3个“非高个子”‎ 设事件为：“至少有一个是‘高个子’”‎ ‎ ‎ ‎（3）由茎叶图可得高个子中能担任礼仪小姐的有4人 则可取的值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、解析：（1）依题意可得每个路口向下的概率为，向右的概率为 ‎ 设事件为“点A经过M到点B”‎ ‎ ‎ 设事件为“从A经过N到点C”‎ ‎（2） ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5、解析：（1）可取的值为 ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可知：获得一等奖或二等奖的概率为，且 ‎ ‎ ‎ ‎6、解析：（1）可取的值为，依题意可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）可取的值为 ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，所以按天气预报作防雨处理是正确的选择 ‎ ‎7、解：（1）‎ ‎（2）可取的值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎8、解：（1）设事件为“一篇稿件被录用”‎ ‎（2）可取的值为，可知 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎9、解析：（1）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样．这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5‎ ‎（2）车速在的车辆有辆，其中速度在和内的车辆分别有4辆和6辆 设事件为“内有辆车”，事件为“内有辆车”，事件为“车速在和内都有车辆”‎ ‎（3）车速在的车辆共有7辆，车速在和的车辆分别有5辆和2辆，若从车速在的车辆中任意抽取3辆，设车速在的车辆数为，则的可能取值为1、2、3．‎ ‎，．‎ 故分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴车速在的车辆数的数学期望为．‎ ‎10、解析：（1）设事件为“第二次取出红球”‎ 可得 ‎（2）设事件为“第三次取出白球”，则包含白白白，白红白，红白白，红红白 ‎ ‎ ‎（3）可取的值为 的分布列为：‎ ‎11、解：（1）设事件为“一名顾客摸球3次停止摸奖”‎ 则 ‎（2）的取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎12、解：（1）设事件为“甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师”‎ 所以 ‎（2）设甲，乙，丙被定为一级工程师的事件分别为，事件表示所求事件 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）可取的值为 ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎13、答案： ‎ 解析：因为，所以，从而，可得 ‎ ‎14、解析：（1）设事件为“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”‎ ‎ ‎ ‎（2）的可能取值为 ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎15、解析：（1）设事件为“当天小王的该银行卡被锁定”‎ ‎ ‎ ‎（2）依题意得，所有可能的取值是1，2，3‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎16、解析：（1） ‎ ‎（2）所有可能的取值是1，2，3，4，可知符合超几何分布 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望 ‎17、解：（1） ‎ ‎（2）所有可能的取值是 ‎ 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎-1‎ ‎1‎ P ‎18、解析：（1）所有可能的取值是 ‎ ‎ ‎ ‎ X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P 的分布列为：‎ ‎（2）设“第盘没有出现音乐”为事件 ‎ 所以 ‎ 设事件为“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”‎ ‎ ‎ ‎（3）由（1）知， ‎ 这表明，获得的分数的均值为负值 所以多次游戏之后分数减少的可能性更大 ‎19、解析：（1）依题意可得中整点为：共13个，中整点为，设事件为“整点中恰有2个整点在区域内”‎ ‎（2）平面区域的面积为，平面区域的面积为 可取的值为 可知 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎20、解析：（1）设事件为“甲至少获得5元奖金”‎ ‎（2）依题意可知可取的值为 ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎21、解析：（1）由题意知，由上的数据，所以 ‎，同理可得：‎ ‎（2）① 由（1）可得，参加决赛的选手共人 设事件为“甲不在第一位、乙不在第六位”‎ ‎② 随机变量的可能取值为 ‎ ‎ 所以的分布列为：‎ ‎22、解析：（1）设事件为“顾客获得半价”，则 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：‎ ‎（2）若选择方案一，则付款金额为 若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为 ‎ ‎ 所以方案二更为划算