【数学】2020届一轮复习人教B版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点一 简单的逻辑联结词
1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：
p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
必备方法 逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
[自测练习]
1．(2018·枣庄模拟)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则( )
A．命题q一定是真命题
B．命题p不一定是假命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q真假相同
解析：由綈p是真命题，则p为假命题．又p∨q是真命题，故q一定为真命题．
答案：A
知识点二 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
3．含有一个量词的命题的否定
命 题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
易误提醒
(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．
(2)p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．
必备方法 不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
[自测练习]
2．(2018·郑州预测)已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是( )
A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0
C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0
解析：本题考查全称命题的否定．依题意，綈p是“∃x>2，x3－8≤0”，故选B.
答案：B
3．下列命题为真命题的是( )
A．∃x0∈Z,1<4x0<3
B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0
D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：1<4x0<3，
0，故D为真命题．
答案：D
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断|
1．(2018·石家庄一模)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q
C．q D．綈p
解析：取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题，故选B.
答案：B
2．给定下列三个命题：
p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；
p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；
p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．
则下列命题中的真命题为( )
A．p1∨p2 B．p2∧p3
C．p1∨綈p3 D．綈p2∧p3
解析：对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题，故选D.
答案：D
判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤
(1)判断复合命题的结构；
(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；
(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．
考点二 全称命题与特称命题真假判断|
1．下列命题中，真命题是( )
A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝
B．任意x∈(0，π)，sin x>cos x
C．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>x
D．存在x0∈R，x＋x0＝－1
解析：对于A选项：∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sin x＝，cos x＝，sin x0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．
答案：C
2．下列命题中，真命题是( )
A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数
B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)为偶函数”是真命题．
答案：A
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
考点三 利用命题的真假求参数范围|
(2018·高考山东卷)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m
的最小值为________．
[解析] 由已知可得m≥tan x恒成立．设f(x)＝tan x，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为tan＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
[答案] 1
根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题．则实数m的取值范围为________．
解析：易知命题p为真命题，
若命题q为真命题，则Δ＝m2－4<0，
即－2－1}．
答案：(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
2.全称命题的否定不当致误
【典例】 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B
[解析] “∀x∈A”的否定为“∃x∈A”，“2x∈B”的否定为“2x∉B”，故原命题的否定为“∃x∈A,2x∉B”，故选D.
[答案] D
[易误点评] 此类题目常易犯下列三种错误：
(1)否定了结论，并没有否定量词．
(2)否定了条件与结论，没有否定量词．
(3)否定了条件，没有否定结论．
[防范措施] (1)弄清楚是全称命题还是特称命题，尤其是省略了量词的命题．(2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手：一是量词变化，“∀”与“∃”互换；二是否定命题的结论，但不是否定命题的条件．
[跟踪练习] (2018·高考全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.
答案：C
A组 考点能力演练
1．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
答案：C
2．已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋4≤0，则下列说法正确的是( )
A．綈p：∃x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为真命题
B．綈p：∃x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为假命题
C．綈p：∀x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为真命题
D．綈p：∀x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为假命题
解析：因为x2－3x＋4＝2＋≥，所以命题p为假命题，所以綈p：∀x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为真命题，故选C.
答案：C
3．(2018·珠海一模)命题p：的值不超过2，命题q：是无理数，则( )
A．命题“p或q”是假命题
B．命题“p且q”是假命题
C．命题“非p”是假命题
D．命题“非q”是真命题
解析：因为≈2.236>2，故p为假命题，是无理数，故q是真命题，由复合命题的真假判断法则可知B正确．
答案：B
4．下列选项中，说法正确的是( )
A．命题“∃x∈R，x2－x≤0”的否定是“∃x∈R，x2－x>0”
B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题
D．命题“在△ABC中，若sin A<，则A<”的逆否命题为真命题
解析：A中命题的否定是：∀x∈R，x2－x>0，故A不对；B中当p为假命题、q为真命题时，p∨q为真，p∧q为假，故B不对；C中当m＝0时，a，b∈R，故C的说法正确；D中命题“在△ABC中，若sin A<，则A<”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选C.
答案：C
5．(2018·太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]
C．R D．∅
解析：若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m3”的否定是________．
解析：本题考查了特称命题与全称命题．命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|>3”的否定是“对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”．
答案：对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3
7．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件；命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中为真命题的是________．
解析：依题意知p假，q真，所以p∨q，綈p为真．
答案：p∨q，綈p
8．命题：“存在实数x，满足不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≤0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意，“对任意的实数x，都满足不等式(m＋1)x2－mx＋m－1>0”是真命题，则必须满足解得m>.
答案：
9．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数a的取值范围．
解：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；
命题q等价于－≤3，即a≥－12.
由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．
若p真q假，则a<－12；
若p假q真，则－40.
q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2<0，a>0得an
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
解析：全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0”．
答案：D
4．(2018·高考湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.
答案：A
