【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-5简单的三角恒等变换第1课时学案
4.5 简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝.
知识拓展
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( √ )
(2)对任意角α都有1＋sinα＝2.( √ )
(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.( × )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( × )
题组二 教材改编
2．[P127T2]若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－B. C．－D.
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，
∴sinα＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P131T5]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.
答案
解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°
＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°
＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°
＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.
4．[P146T4]tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.
答案
解析 ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)
＝－tan20°tan40°，
∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.
题组三 易错自纠
5．化简：＝.
答案
解析 原式＝
＝＝＝.
6．已知α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则sin2α的值为．
答案 －
解析 由已知得sinα＝，又α在第二象限，
∴cosα＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.
7．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝.
答案 －
解析 由α∈，sinα＝知，cosα＝－，
所以tanα＝－，
所以tan2α＝＝＝－.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
1．(2018·武汉模拟)已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为( )
A. B.
C. D．1
答案 D
解析 ∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝＝＝1.
2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于角α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，
故选A.
3．计算的值为．
答案
解析 ＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
题型二 和差公式的灵活应用
命题点1 角的变换
典例(1)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.
答案
解析 依题意得sinα＝＝，
因为sin(α＋β)＝
α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝.
(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为．
答案
解析 cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，
∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.
命题点2 三角函数式的变换
典例(1)化简： (0<θ<π)；
(2)求值：－sin10°.
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，
∴＝＝2cos.
又(1＋sinθ＋cosθ)
＝
＝2cos
＝－2coscosθ.
故原式＝＝－cosθ.
(2)原式＝－sin10°
＝－sin10°·
＝－sin10°·
＝－2cos10°＝
＝
＝
＝＝.
引申探究
化简： (0<θ<π)．
解 ∵0<<，∴＝2sin，
又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2
＝2sin
∴原式＝
＝－cosθ.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练 (1)(2018·广州质检)等于( )
A．－ B．－
C． D．
答案 C
解析 原式＝
＝
＝＝sin30°＝.
(2)已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，则cosα＝.
答案
解析 ∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，
∴cos(α－45°)＝＝，
∴cosα＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos45°－sin(α－45°)sin45°
＝×－×＝
＝.
用联系的观点进行三角变换
典例(1)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．
(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为．
(3)已知sinα＝，α∈，则＝.
思想方法指导三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
解析 (1)∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin2cos－cos2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
(2)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°
＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°
＝1＋1＝2.
(3)＝
＝cosα－sinα，
∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－，∴原式＝－.
答案 (1) (2)2 (3)－
1．(2018·山西五校联考)若cosθ＝，θ为第四象限角，则cos的值为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由cosθ＝，θ为第四象限角，得sinθ＝－，
故cos＝(cosθ－sinθ)
＝×＝.故选B.
2．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于( )
A．－B． C．－D．
答案 D
解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°
＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)
＝sin30°＝.
3．(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tanα＝－，则sin2α等于( )
A．－B． C．－D．
答案 C
解析 因为α是第二象限角，且tanα＝－，
所以sinα＝，cosα＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
故选C.
4．(2017·河南六市联考)设a＝cos2°－sin2°，b＝，c＝，则有( )
A．a0，∴<α<.
又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.
9．若sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α＝.
答案
解析 ∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，
又α∈，sinα≠0，∴cosα＝－，
又α∈，
∴sinα＝，tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝.
10.＝.
答案
解析 ＝＝
＝＝.
11．已知sinα＋cosα＝，则sin2＝.
答案
解析 由sinα＋cosα＝，两边平方得1＋sin2α＝，
解得sin2α＝－，
所以sin2＝
＝＝＝.
12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝.
答案
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.
又β是第三象限角，所以cosβ＝－.
所以sin＝－sin
＝－sinβcos－cosβsin
＝×＋×＝.
13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为( )
A．－B． C．－D．
答案 C
解析 由3cos2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，
又由α∈可知cosα－sinα≠0，
于是3(cosα＋sinα)＝，
所以1＋2sinα·cosα＝，故sin2α＝－.故选C.
14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为．
答案
解析 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.
所以cos2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝
＝＋＝.
15．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为．
答案 [－1,1]
解析 由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，
∴即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cosα＋sinα＝sin.
∵≤α≤π，∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即取值范围为[－1,1]．
16．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
解 (1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，
而y＝a＋2cos2x为偶函数，
∴y＝cos(2x＋θ)为奇函数．
∵θ∈(0，π)，∴θ＝，
∴f(x)＝－sin2x(a＋2cos2x)．
∴f＝－sin＝－(a＋1)＝0，
∴a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin4x.
∵f＝－sinα＝－，∴sinα＝.
又∵α∈，∴cosα＝－.
∴sin＝sinαcos＋cosαsin
＝×－×＝.
