2019届二轮复习3-1函数的概念及表示方法课件（29张）（全国通用）

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第 3 章 函数 3.1 函数的概念及表示方法 【考纲要求】　 1. 理解函数的概念和函数的三种表示法 , 求函数的解析式 ; 2 . 会求函数的定义域 ; 3 . 会求简单函数的值域 . 【学习重点】　 1 . 会求函数的解析式 ; 2 . 会求函数的定义域 ; 3 . 会求简单函数的值域 . 一、自主学习 ( 一 ) 知识归纳 1 . 函数的定义 一般地 , 设在某变化过程中有两个变量 x 、 y , 如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值 , 按照某种对应法则 f , y 都有唯一确定的值与它对应 , 那么就称 y 是 x 的函数 , 通常记作 y=f ( x ) . 其中 x 叫做自变量 , x 的所有值构成的集合叫做函数的定义域 , 通常用大写字母 D 表示 . 当 x 取遍 D 中所有值时 , 与 x 对应的所有的 y 值构成的集合叫做函数的值域 . 说明 :(1) 与 x 的值 a 对应的 y 的值 , 叫做当 x=a 时的函数值 , 记作 y=f ( a ); (2) 函数的定义域、值域、对应法则是构成函数的三要素 , 其中值域是由定义域和对应法则 确 定的 ; (3) 若两个函数的定义域与对应法则相同 , 那么这两个函数是相同的函数 ; (4) 分段函数 : 在定义域的不同子集上对应法则不相同的函数叫做分段函数 . 2 . 函数的表示方法 函数常用的表示法有三种 : 解析法、列表法、图象法 . (1) 当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时 , 这个等式叫做函数解析式 . 求函数的解析式 , 一般要求出函数的定义域 ; (2) 求函数解析式的常用方法有 : 待定系数法、换元法等 ; (3) 常见函数图象举例 ( 见下面图组 ) . 【小结】　在解决问题时 , 数形结合 , 常见函数图象是有效的分析工具 . 3 . 求函数定义域的原则 在没有特殊说明的情况下 , 函数的定义域是指使函数 解析式 有意义的自变量的取值范围 . 函数解析式的限制条件常有 : (1) 分式的分母不等于 0; (2) 负数不能开偶数次方 ; (3)0 的 0 次方没有意义 ; (4) 对数的底数大于 0 且不等于 1, 对数的真数大于 0; (5) 应用题的函数应考虑变量的实际意义 . 4 . 函数的值域及求法 (1) 函数的值域由函数的定义域和对应法则决定 . 从函数定义来说 , 值域是所有函数值的集合 ; 从图形上来说 , 值域是函数图象上所有点的纵坐标的集合 , 也就是函数图象在纵轴上的投影 . 求函数值域的基本方法是根据定义域和对应法则进行推理 , 求出函数值的取值范围 . (2) 基本函数的值域 ① 一次函数 y=kx+b ( k ≠0) 的值域是 R; ② 二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0) ( 如图 3 - 1) 当 a> 0 时 , 值域为 [, +∞ ); 当 a< 0 时 , 值域为 ( -∞ ,] . ③ 反比例函数 y= ( k ≠0) 的值域是 ( -∞ ,0)∪(0, +∞ ); ④ 指数函数 y=a x ( a> 0, a ≠1) 的值域是 (0, +∞ ); ⑤ 对数函数 y= log a x ( a> 0, a ≠1) 的值域是 R; ⑥ 三角函数 y= sin x , y= cos x 的值域是 [ - 1,1], y= tan x 的值域为 R . 图 3 - 1 (3) 求函数值域的方法与基本类型 求函数值域没有通性通法 , 只能根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法 . 常用的方法有 : 基本函数法、配方法、反函数法、数形结合法、单调性法等 . ( 二 ) 基础训练 【 答案 】D -1 0 29 a 2 - 2 { x|x ≠ - 1, x ∈R} { x|x ≠0, x ∈R} { x|x ≥0} R 【 答案 】C R { y|y ≠0, y ∈R} 9 . 求下列函数的值域 . (1) y=x 2 + 2 x- 3; 　　　 (2) y=-x 2 + 3 x- 3; 　　　 (3) y=- 2 x 2 + 4 x- 3 . (1) 解 :∵ y=x 2 + 2 x- 3 = ( x+ 1) 2 - 4 　 ∵ ( x+ 1) 2 ≥0 ∴ y ≥ - 4 　所以函数的值域为 :[ - 4, +∞ ) . (3) 解 :∵ y=- 2 x 2 + 4 x- 3 =- 2( x 2 - 2 x ) - 3 =- 2( x- 1) 2 - 1 　 ∵ - ( x- 1) 2 ≤0 　 ∴ y ≤ - 1 　所以函数的值域为 :( -∞ , - 1] . 二、探究提高 【例 1 】　已知 f ( x ) = 2 x 2 + 3 x+ 4, g ( x ) =x+ 4, 且 F ( x ) =f ( x ) - 3 g ( x ) . (1) 求 F ( x ); 　 (2) 求 F (2) 的值 . 【解】　 (1) F ( x ) =f ( x ) - 3 g ( x ) = 2 x 2 + 3 x+ 4 - 3( x+ 4) = 2 x 2 - 8; (2) F (2) = 2×2 2 -8=0 . 【例 2 】　已知 f ( x ) 是一次函数 , 且 f [ f ( x )] =f ( x+ 1) - 2, 求 f ( x ) . 分析 : 求一次函数 f ( x ) =kx+b ( k ≠0) 的解析式 , 关键是确定 k 、 b 的值 . 【小结】　形如 y=f [ g ( x )] 的函数叫复合函数 . 已知复合函数求上一级函数的解析式时 , 常用换元法、配方法 . 用换元法求函数解析式 , 要注意中间变量对函数定义域的限制 ; 在变形时 , 要注意代入消元的技巧 . 【例 4 】　我国铁路运输迈入高铁时代 , 高速铁路建设速度快 , 条件好 . 已知某高速铁路某路段每年满负荷运力约为 1800 万人次 , 当票价为 600 元时 , 每年实际运送量约 800 万人次 , 估计票价每下降 100 元 , 实际运送量将提高 200 万人次 . (1) 设票价为 x 元 , 写出售票收入 y ( 单位 : 万元 ) 与票价 x 之间的函数关系式 , 并指明函数的定义域 ; (2) 当票价为多少时 , 售票收入最大 ? 分析 : 售票收入 = 票价 × 运送量 , 同时要注意 “ 0 < 运送量 ≤ 1800” 对函数定义域的限制 . 【解】　定义域为 :(0,2]∪(2,4] = (0,4] . 【小结】　分段函数的定义域是函数各段 x 取值范围的并集 . 【例 10 】　求函数 f ( x ) =x 2 + 2 x- 3( - 2 0) 　 ∵ f (10 x ) =x- 10 2 x + 1 　 ∴ f ( t ) = lg t-t 2 + 1 　 ∴ f ( x ) = lg x-x 2 + 1( x> 0) .