【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第48讲　圆的方程学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第48讲　圆的方程学案

第48讲　圆的方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.掌握确定圆的几何要素．‎ ‎2．掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置.‎ ‎2016·江苏卷，18‎ ‎2015·全国卷Ⅰ，14‎ ‎2014·陕西卷，12‎ 求圆的方程，利用圆的性质求解最值.‎ 分值：5分 ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的轨迹叫做圆 标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心C：__(a，b)__‎ 半径：__r__‎ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F＞0)‎ 圆心： 半径：r＝ ‎2．点与圆的位置关系 ‎(1)理论依据：__点__与__圆心__的距离与半径的大小关系．‎ ‎(2)三种情况 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，‎ ‎①(x0 －a)2＋(y0 －b)2__＝__r2⇔点在圆上；‎ ‎②(x0 －a)2＋(y0 －b)2__>__r2⇔点在圆外；‎ ‎③(x0－a)2＋(y0 －b)2__<__r2⇔点在圆内．‎ ‎3．空间直角坐标系及相关概念 ‎(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做__坐标原点__，x轴，y轴，z轴统称__坐标轴__，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．‎ ‎(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指一定指向z轴的__正方向__.‎ ‎(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的__‎ 横坐标__，y叫做点M的__纵坐标__，z叫做点M的__竖坐标__.‎ ‎(4)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____，AB的中点P的坐标为____.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　×　)‎ ‎(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．(　×　)‎ ‎(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　√　)‎ ‎(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y ＋Dx0 ＋Ey0＋F>0.(　√　)‎ ‎(5)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)‎ 解析 (1)错误．t≠0时，方程表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆．‎ ‎(2)错误．a2＋(‎2a)2－4(‎2a2＋a－1)>0即－20得方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，反之也成立．‎ ‎(4)正确．因为点M(x0，y0)在圆外，所以2＋2>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.‎ ‎(5)正确．设M(x，y)是圆上异于直径端点A，B的点，由·＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ 显然A，B也满足上式．所以以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ ‎2．已知点A(1，－1)，B( －1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　A　)‎ A．x2＋y2＝2　　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1　　 D．x2＋y2＝4‎ 解析 ∵圆心为(0,0)，半径r＝＝，‎ ‎∴圆的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎3．方程x2 ＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2 ＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　D　)‎ A．(－∞，－2)∪　　 B． C．(－2,0)　　 D． 解析 ∵方程表示圆，则a2＋(‎2a)2－4(‎2a2＋a－1)>0，‎ ‎∴－20，即(a＋2)(‎3a－2)<0，‎ ‎∴－20，b>0)的离心率e＝，右焦点F(c,0)，方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系为(　C　)‎ A．点P在圆外　　 B．点P在圆上 C．点P在圆内　　 D．不确定 解析 ∵e2＝1＋2＝2，∴2＝1，∴＝1，∴a＝b，c＝a，∴方程ax2－bx－c＝0 可化为x2－x－＝0.∴x1＋x2＝1，x1·x2＝－.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2<8，‎ ‎∴点P在圆内，故选C．‎ 二、填空题 ‎7．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1__.‎ 解析 依题意设圆心为(a,‎2a－3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a|＝|‎2a－3|，解得a＝1或a＝3，即r＝1或3，故圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是__x2＋y2－2x－4y＋4＝0__.‎ 解析 设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1,0)，由点A，C关于直线x＋y－1＝0对称，得解得又因为圆的半径是1，所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.‎ ‎9．若过点P(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋‎2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是　(－∞，－3)∪　.‎ 解析 圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－‎2a，‎ 因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以点P在圆的外部，‎ 即解得a<－3或1

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