2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知变量、满足约束条件：，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知可行域是由直线围成的多边形，而目标函数是一直线，可知该目标函数在可行域的多边形顶点处取得最大值，由约束条件可求得顶点分别为分别代入目标函数中可求得，从中取最大的，股本体的正确选项为D.
考点：线性约束条件的最值问题.
【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种情况：1,直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率，2，直线斜率一定而在可行域中平移时的截距的最值．可以再直角坐标系中画出可行域，然后在画出直线，通过观察求出待求量的最值；因为直线在可行域中的最值都是在围城可行域的顶点处取得，所以也可以先求得可行域顶点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值．
2．已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，有两个点A(－1,1)，B(3,3)，那么使向量与夹角为钝角的一个充分不必要条件是( )
A．－1＜a＜2 B．0＜a＜1 C．－＜a＜ D．0＜a＜2
【答案】B
【解析】
分析：使向量与夹角为钝角的充要条件是：，且，把2个向量的坐标代入，两点间的距离公式代入，由充要条件可得一个充分条件.
详解：∵直线上一点的横坐标为
∴点的坐标为
∵向量与夹角为钝角的充要条件是：，且
∴，且.
∴或
故选B.
点睛：本题考查充要条件、充分条件的概念．充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假，并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件；
（2）等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；
（3）集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求得方程的根，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【详解】
由题意，方程，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．下列结论错误的是 ( )
A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B．对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有
C．命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真
D．“若am2
0|，
B={x∣x2−2x−3<0}={x|−11，使得x02−x0+2016>0”的否定是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：根据全称命题与存性命题的关系，可得命题的否定“”.
考点：命题的否定.
16．若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，不等式显然成立；当时，不等式恒成立等价于恒成立，运用基本不等式可得的最小值，从而可得的范围．
【详解】
当时，不等式显然成立；
当时，不等式恒等价于恒成立，
由，
当且仅当时，上式取得等号，即有最小值，
所以，故答案为
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、分类讨论思想和分离参数的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
三、解答题
17．设全集，集合，.
（1）求出集合；
（2）若，求出实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先将不等式化为，等价于，求解，即可得出结果；
（2）由（1）求出，再由，根据，列出不等式组，求解，即可得出结果.
【详解】
（1）因为不等式可化为，等价于，
所以或，
因此或；
（2）由（1）可得，
又，，
所以只需，解得，
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查解分式不等式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记一元二次不等式解法，以及集合的基本运算即可，属于常考题型.
18．已知全集，其中，
（1）求 （2） 求
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：两集合的并集为两集合的所有元素构成的集合，两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，集合B的补集为全集中除去集合B中的元素剩余的元素构成的集合
试题解析：（1）依题意
（2）
考点：集合的交并补运算
19．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
【答案】（1）书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．.
【解析】
【分析】
（1）先确定每套丛书定价为100元时的销售量，从而可得时每套供货价格，根据销售每套丛书的利润=售价 一 供货价格，可求得书商能获得的总利润；
（2）先确定每套丛书售价范围，再确定单套丛书利润，利用基本不等式，可求单套丛书的利润最大值．
【详解】
(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得0＜x＜150.
设单套丛书的利润为P元，
则P＝x－＝x－－30，
因为0＜x＜150，所以150－x＞0，
所以P＝－＋120，
又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
【点睛】
本题考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立单套丛书利润函数，再利用基本不等式确定其最值．
20．设命题：函数的定义域为；命题：函数
在上单调递减．
（1）命题为真命题时，求的值;
（2）若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围；
【答案】（1）-2＜a＜2（2）-2＜a＜1或a≥2
【解析】
【分析】
（1）结合命题为真命题，结合一元二次函数性质，得到，计算a的范围，即可。（2）结合题意，得到p，q的真假性，分类讨论，计算a的范围，即可。
【详解】
（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R
∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，
∴△=a2-4＜0，解得：-2＜a＜2，
(2)若q真，则a≥1，
∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真
∵或，解得：-2＜a＜1或a≥2．
【点睛】
本道题考查了一元二次函数的性质，命题真假性判定，关键得到，难度中等。
21．若，，试比较P与Q的大小.
【答案】.
【解析】
【分析】
先平方，然后作差比较
【详解】
>,
【点睛】
对含有二次根式的式子，一般是通过平方后作比较，约去相同项，比较不同项
22．已知函数f（x）=x2-ax，h（x）=-3x+2，其中a＞1．设不等式f （1）+f（-1）≥2|x|的解集为A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若对任意x1∈A，存在x2∈A，满足2f（x1）=h（x2），求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）A=[-1，1] （Ⅱ）（1，]
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据f（x）的解析式列式可解得；
（Ⅱ）先分别求出2f（x）和h（x）在A上的值域，再根据任意是存在的子集列式可解得．
【详解】
解：（Ⅰ）f（1）+f（-1）≥2|x|可化为|x|≤1，解得-1≤x≤1，
∴A=[-1，1]
（Ⅱ）h（x）=-3x+2在[-1，1]上是递减函数，所以h（x）的值域为[-1，5]
f（x）=x2-ax的对称轴为x=，（a＞1）
当＞1即a＞2时，f（x）在[-1，1]上递减，值域为[1-a，1+a]，
2f（x）的值域为[2-2a，2+2a]，依题意[2-2a，2+2a]⊆[-1，5]，
∴，解得a矛盾，舍去
当≤1，即1＜a≤2时，f（x）min=f（）=-，f（x）max=max{1-a，1+a}
依题意解得1＜a
故所求a的取值范围是（1，]
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，二次函数的最值，属中档题．
