2020届二轮复习(理)第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题学案

2020届二轮复习(理)第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题学案

‎　奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.‎ ‎【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间 (0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为(　　)‎ A．－5　　　　　 B．－3‎ C．－1 D．5‎ ‎(2)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝log3(x＋)＋在[－k，k]，(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝(　　)‎ A．4 B．2‎ C．1 D．0‎ ‎(1)C　(2)B　[(1)令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，所以F(x)为奇函数，‎ ‎∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5, ‎ ‎∴F(x)＝h(x)－2≤3.‎ 又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，‎ F(－x)≤3⇒F(x)≥－3，‎ ‎∴h(x)≥－3＋2＝－1，故选C.‎ ‎(2)已知f(x)＝log3(x＋)＋，则f(－x)＝log3(－x＋)＋，‎ 则f(x)＋f(－x)＝2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，‎ 令g(x)＝f(x)－1，‎ 则g(x)＋g(－x)＝f(x)－1＋f(－x)－1＝0，‎ 则g(x)在定义域内为奇函数．‎ 设g(x)的最大值为t，则最小值为－t，则f(x)的最大值为M＝t＋1，‎ 最小值为m＝－t＋1，则M＋m＝2，故选B.]‎ ‎【链接高考1】(2012·新课标全国)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.‎ ‎2　[显然函数f(x)的定义域为R，‎ f(x)＝＝1＋，‎ 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，‎ ‎∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]‎ ‎　抽象函数的周期性与对称性 ‎1．函数的周期性 ‎(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝‎2a.‎ ‎(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝‎2a.‎ ‎(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝‎2a.‎ ‎2．函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数．‎ ‎(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(‎2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．‎ ‎【典例2】(1)(2019·德州市高三联考)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 019)＝(　　)‎ A．2 0192 B．1‎ C．0 D．－1‎ ‎(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)＝(x－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 019，y2 019)，则 (‎ xi＋yi)＝________.‎ ‎(1)D　(2)4 038　[(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 019)＝f(－1＋2 020)＝f(－1)，又由函数为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(2 019)＝－1，故选D.‎ ‎(2)由g(x)＝(x－1)3＋1知g(x)＋g(2－x)＝2，得函数y＝g(x)的图象关于点(1,1)对称 又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1＋x2 019＝x2＋x2 018＝x3＋x2 017＝…＝2x1 010＝2，‎ y1＋y2 019＝y2＋y2 018＝y3＋y2 017＝…＝2y1 010＝2，‎ 故x1＋x2＋…＋x2 018＋x2 019＝2 019，y1＋y2＋…＋y2 018＋y2 018＝2 019，‎ 即 (xi＋yi)＝4 038.]‎ ‎【链接高考2】(2014·大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)‎ A．－2 B．－1 ‎ C．0 D．1‎ D　[由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，‎ 又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，‎ 所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.]‎ ‎　两个经典不等式 ‎1.对数形式：1－≤ln(x＋1)≤x(x>－1)，当且仅当x＝0时，等号成立．‎ ‎2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．‎ ‎【典例3】　设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x＞－1时，f(x)≥.‎ ‎[证明]　当x＞－1时，f(x)≥当且仅当ex≥x＋1.‎ 令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.‎ 当x≤0时g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]是减函数；当x≥0时g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)是增函数．‎ 于是函数g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即ex≥x＋1.‎ 所以当x＞－1时，f(x)≥.‎ ‎【链接高考3】(2012·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ B　[由题意得f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠0}，所以排除选项D.令g(x)＝ln(x＋1)－x，则由不等式ln(x＋1)≤x知，g(x)≤0恒成立，故f(x)＝＜0恒成立，所以排除A，C，故选B.]‎ ‎　三点共线的充要条件及其结论推广 ‎1.设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点D与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.‎ ‎2．等和线的证明 若＝λ，且＝x＋y，那么x＋y＝λ，‎ 如图1所示. 过点C作直线l∥AB，‎ 在l上任作一点C′，连接OC′∩AB＝D′，如图2所示．‎ 图1　　　　　　　　　　　图2‎ 同理可得，以，为基底时，对应的系数和依然为λ.‎ ‎【典例4】　[一题多解]在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 　[法一：(常规解法)如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.‎ 由已知易得AB＝AT，‎ ‎∴＝＝λ＋μ，‎ ‎∴＝λ＋μ，‎ ‎∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.‎ 法二：(等和线定理法) 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.‎ 由已知易得AB＝AT，又＝λ＋μ，结合等和线定理得 λ＋μ＝.]‎ ‎【链接高考4】(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2‎ A　[建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．‎ 设BD与圆C切于点E，连接CE，‎ 则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，‎ EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.‎ 两式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3‎ ，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.]‎ ‎　数列的相关结论 ‎1.若等差数列{an}的项数为偶数‎2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S‎2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.‎ ‎2．若等差数列{an}的项数为奇数‎2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S‎2m－1＝(‎2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.‎ ‎3．公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*)．‎ ‎4．若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇．‎ ‎【典例5】(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)‎ A．2 B. C. D．3‎ ‎(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S‎2m－1＝38，则m＝________.‎ ‎(1)B　(2)10　[由已知＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3)．‎ 化简得S9＝7S3，从而＝＝.‎ ‎(2)由公式am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.‎ 又S‎2m－1＝＝(‎2m－1)am＝38.‎ 显然可得am≠0，所以am＝2.‎ 代入上式可得‎2m－1＝19，解得m＝10.]‎ ‎【链接高考5】(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ C　[∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，‎ 由公式Sn＝na1＋d＝na1＋，‎ 得 由①得a1＝，代入②可得m＝5.]‎ ‎　多面体的外接球和内切球 ‎1.长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.‎ ‎2．棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.‎ ‎【典例6】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为(　　)‎ A． B．2 C．4 D．3‎ A　[由于直三棱柱ABCA1B‎1C1的底面ABC为等腰直角三角形．把直三棱柱ABCA1B‎1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.]‎ ‎【链接高考6】(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(　　)‎ A．12π B.π C．8π D．4π A　[设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.‎ 所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A.]‎ ‎　圆锥曲线的中点弦问题 ‎1．在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)中：‎ ‎(1)如图1所示，若直线y＝kx(k≠0)与椭圆E交于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线l，l′，有l∥l′，设其斜率为k0，则k0·k＝－.‎ ‎(2)如图2所示，若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－.‎ ‎(3)如图3所示，若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－.‎ 图1　　　　　图2　　　 　　　图3‎ ‎2．在双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)中，类比上述结论有：‎ ‎(1)k0·k＝.‎ ‎(2)k1·k2＝.‎ ‎(3)k0·k＝.‎ ‎【典例7】　[一题多解]过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．3 D．4 D　[法一：由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，‎ 则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，‎ 由消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 因为P(4,2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ＞0，‎ 所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，‎ 所以|AB|＝×＝4，故选D.‎ 法二：由已知可得点P的位置如法一中图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，‎ 则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，‎ 因为P(4,2)为AB的中点，所以k＝＝1，所以AB的方程为y＝x－2，‎ 由消去y得x2－8x＋10＝0，‎ 所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，‎ 所以|AB|＝×＝4，故选D.]‎ ‎【链接高考7】(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．‎ ‎(1)证明：k<－；‎ ‎(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.‎ ‎[证明](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.‎ 两式相减，并由＝k得＋·k＝0.‎ 由题设知＝1，＝m，于是k＝－.‎ 由题设得00)焦点的弦 过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点的弦AB有：‎ (1)xA·xB＝.‎ (2)yA·yB＝－p2.‎ (3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).‎ ‎【典例8】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)‎ A．4 B. C．5 D．6‎ B　[由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，‎ 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，‎ 则|AB|＝‎3m，‎ 由抛物线的定义知 ‎|AD|＝|AF|＝‎2m，|BC|＝|BF|＝m，‎ 所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2 θ＝8cos2 θ，∴sin2 θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.]‎ ‎【链接高考8】　[一题多解](2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. D　[由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.‎ 法一：联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，‎ 故|yA－yB|＝＝6.‎ 因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.‎ 法二：联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.‎ 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，‎ 同时原点到直线AB的距离为h＝＝，‎ 因此S△OAB＝|AB|·h＝.]‎