【数学】2018届一轮复习人教A版8-3空间点、线、面的位置关系学案

【数学】2018届一轮复习人教A版8-3空间点、线、面的位置关系学案

第03节 空间点、线、面的位置关系 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 空间点、线、面的位置关系 ‎①了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；‎ ‎②了解两点间距离、点到平面的距离的含义。‎ ‎③理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念。‎ ‎2013•浙江文20；理10; ‎ ‎2014•浙江文6；理20;‎ ‎2015•浙江文4,7；理8,13; ‎ ‎2016•浙江文2,14；理2;‎ ‎2017•浙江9,19.‎ ‎1.以几何体为载体，考查点线面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.‎ ‎2.判断线线、线面、面面的位置关系.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握相关定义、公理、定理；‎ ‎(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.‎ ‎（3）掌握各种角的计算方法.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．‎ ‎(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．‎ 对点练习：‎ 下列命题：‎ ‎①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共线．‎ 其中正确命题是________．‎ ‎【答案】③④⑤‎ ‎2. 空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 对点练习：‎ ‎【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，．故选C． ‎ ‎3.异面直线所成的角 异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ 异面直线的判定方法：‎ 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；‎ 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎4.直线与平面所成角 ‎1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．‎ 设CD=1．‎ 在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，‎ 在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，‎ 在Rt△MQH中，QH=，MQ=，‎ 所以sin∠QMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．‎ ‎5.二面角 ‎1．求二面角的大小 ‎(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．‎ ‎(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江，9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则 A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点深度剖析】‎ 平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，少有在大题中间接考查．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，在浙江卷中频频出现．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点一 平面的基本性质 ‎【1-1】下列叙述中错误的是（ ）．‎ A. 若且，则 B. 三点，，确定一个平面 C. 若直线，则直线与能够确定一个平面 D. 若，且，，则 ‎【答案】B ‎【1-2】【江西卷】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4. ‎ ‎【1-3】在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，对角线A‎1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】如图所示，∵A‎1A∥C‎1C，‎ ‎∴A‎1A，C‎1C确定平面A‎1C.‎ ‎∵A‎1C⊂平面A‎1C，O∈A‎1C，‎ ‎∴O∈平面A‎1C，而O＝平面BDC1∩线A‎1C，∴O∈平面BDC1，‎ ‎∴O在平面BDC1与平面A‎1C的交线上．‎ ‎∵AC∩BD＝M，‎ ‎∴M∈平面BDC1，且M∈平面A‎1C，‎ ‎∴平面BDC1∩平面A‎1C＝C‎1M，‎ ‎∴O∈C‎1M，即C1，O，M三点共线．‎ ‎【1-4】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【领悟技法】‎ 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．‎ 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．‎ 证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．‎ 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是，则直线和平面的位置关系一定是（ ）．‎ A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. ‎ ‎【答案】C ‎【变式2】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD 上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.‎ ‎（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎（Ⅱ）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】 （Ⅰ）∵E，F分别为AB，AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD.在△BCD中，＝＝，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH.‎ ‎∴E，F，G，H四点共面．‎ ‎（Ⅱ）∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，‎ ‎∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.‎ ‎∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．‎ 又平面ABC∩平面ADC＝AC，‎ ‎∴P∈AC，∴P，A，C三点共线． ‎ ‎【变式3】如图，在四面体ABCD中 ，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．‎ ‎【答案】见解析.‎ 设GH和EF交于一点O.‎ 因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，‎ 所以O在这两个平面的交线上．‎ 因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，‎ 所以点O在直线BD上．‎ 这就证明了GH和EF的交点也在BD上，‎ 所以EF，GH，BD交于一点．‎ 综合点评：(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.‎ 考点二 空间两直线的位置关系 ‎【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】设是两条不同的直线，时一个平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 ‎【答案】C ‎【2-2】【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知平面和共面的两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）‎ A. 若与所成的角相等，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查空间直线与直线的位置关系 如图甲示，直线与平面均成角，但与不平行，故错；‎ 如图乙示， ，直线，且，但与不平行，故错；‎ 如图丙示， ，且但，故错；‎ 如图丁示， ，由知；又，则；又共面，则 故正确答案为.‎ ‎【2-3】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】　②③④‎ ‎【2-4】如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，‎ 是中点，则下列叙述正确的是（）‎ A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 ‎【答案】C ‎【领悟技法】‎ 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2017届浙江省丽水市高三下学期测试】设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若， ，且，则 B. 若， ， ，则 C. 若， ， ，则 D. 若， ， ，则 ‎【答案】C ‎【解析】A,若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m、n平行、相交、或异面，不正确；‎ B,α∥β,m⊂α,n⊂β,m,n共面时,m∥n，不正确；‎ C，m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，正确；‎ D，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β平行或相交，不正确。‎ 本题选择C选项.‎ ‎【变式2】如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线．‎ 以上四个结论中，正确的序号是（ ）．‎ A. ③④ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】A ‎【变式3】【广东卷】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 ‎【答案】D ‎【变式4】如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】A，M，C1三点共面，且在平面AD‎1C1B中，但C∉平面AD‎1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．‎ 综合点评：判定空间两条直线是异面直线的方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.‎ 考点3 异面直线所成的角 ‎【3-1】【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【3-2】【大纲全国卷】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EF∥BD，∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF. 由题知，△ABC，△ADC为正三角形，设AB＝2，则CE＝CF＝，EF＝BD＝1.‎ ‎∴在△CEF中，由余弦定理，得cos∠CEF ‎＝＝＝，故选B.‎ ‎【3-3】异面直线所成的角，直线，则异面直线直线与所成的角的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作b的平行线b′，交a于O点， ‎ ‎【领悟技法】‎ 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．‎ 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．‎ 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B‎1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B‎1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【变式2】【2017届浙江温州中学高三11月模拟】如图四边形，，.现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，取中点，连结，，∴即为二面角 的平面角，‎ 而，，‎ ‎∴，∴‎ ‎，设异面直线，所成的角为，‎ ‎∴，故选D.‎ ‎【变式3】【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【变式4】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）三角形PCD的面积；‎ ‎（Ⅱ）异面直线BC与AE所成的角的大小．‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.‎ 又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，‎ 从而CD⊥PD.‎ 因为PD＝＝2，CD＝2，‎ 所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.‎ ‎ ‎ 综合点评：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.‎ 考点4 直线与平面所成角 ‎【4-1】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知矩形， ，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）．设二面角的大小为，直线， 与平面所成的角分别为则（ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，作于E， 是在平面内的射影，连接，易知，在矩形中，作于E，延长交于，由点必落在上，由知，从而，即，故选D．‎ ‎【4-2】【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ 设正四面体的边长为1,则，‎ ‎∵∠BCO=15°,∠BCP=30°,∴∠OCN=45°，‎ ‎∴N到平面α的距离.‎ 过D作DM⊥平面α,垂足为M,则，‎ ‎∴直线CD与平面α所成角的正弦值为.‎ ‎【4-3】【2016年浙江卷】如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.‎ ‎（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；（2）.‎ 试题解析：（Ⅰ）延长相交于一点，如图所示.‎ 因为平面平面，且，所以 平面，因此，.‎ 又因为，，，所以 为等边三角形，且为的中点，则 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，所以是直线与平面所成的角.‎ 在中，，得.‎ 所以，直线与平面所成的角的余弦值为.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. ‎ ‎2.利用向量法求线面角的方法 ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017届浙江省高三上学期高考模拟】如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是的中点，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接交于点，连接，，可证明四边形 是平行四边形，从而，再由线面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂线，即可作出线面角，求出相关线段的长度即可求解.‎ ‎∴平面平面，过点作平面和平面交线的垂线，垂足为，得平面，连接，则是直线平面所成的角，‎ 设，∵是菱形且，则，，‎ 在中，由，，得，‎ 在中，由，，得，‎ ‎∴.‎ ‎【变式二】【2017届浙江省温州市高三二模】在四棱锥中，，，，底面是梯形，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎（2）过点作于，‎ 由得.‎ 又及，平面于是平面，‎ 所以就是直线与平面所成角.‎ 由得，‎ 由得平面，得，‎ 在中计算得：，‎ 在中计算得.‎ 所以，‎ 所以直线与平面所成角的大小是.‎ 考点5 二面角 ‎【5-1】【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.‎ ‎（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；‎ ‎（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：设的中点为,连接,‎ 在,因为是的中点，所以 又所以 在中，因为是的中点，所以，‎ 又,所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（II）解法一：‎ 连接,则平面，‎ 又且是圆的直径，所以 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意得，，过点作于点，‎ 所以 可得 故.‎ 设是平面的一个法向量. ‎ 由 可得 可得平面的一个法向量 因为平面的一个法向量 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 解法二：‎ 连接，过点作于点，‎ 则有,‎ 又平面，‎ 所以FM⊥平面ABC,‎ 可得 过点作于点，连接，‎ 可得,‎ 从而为二面角的平面角.‎ 又,是圆的直径，‎ 所以 从而，可得 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【5-2】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三下学期联考】如图①，在矩形中， ， 是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面.‎ ‎(Ⅰ)在线段上确定点，使得平面，并证明；‎ ‎(Ⅱ)求与所在平面构成的锐二面角的正切值. ‎ ‎【答案】（1）点是线段中点时， 平面，证明见解析；（2）.‎ 试题解析：(Ⅰ)点是线段中点时， 平面.‎ 证明：记， 的延长线交于点，因为，所以点是的中点，‎ ‎ ‎ ‎ 所以.‎ 而在平面内， 在平面外，‎ 所以平面. ‎ ‎ (Ⅱ)在矩形中， ， ，‎ 因为平面 平面，且交线是，‎ 所以 平面.‎ 在平面内作 ，连接，‎ 则 .‎ 所以就是与所在平面构成的锐 二面角的平面角.‎ 因为, ，‎ 所以.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. ‎ ‎2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】如图，在三棱锥中， 底面， ， ， ， 分别是， 的中点， 在上，且．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）在线段上上是否存在点，使二面角 的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析; （2）见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由， ，‎ 是的中点，得．‎ 因为底面，所以． ‎ 在中， ，所以．‎ 因此，又因为，‎ 所以，‎ 则，即． 因为底面，所以，又，‎ 所以底面，则．‎ 又，所以平面． ‎ ‎（2）方法一：假设满足条件的点存在，并设．‎ 过点作交于点，‎ 又由， ，得平 面．‎ 作交于点，连结，则．‎ 于是为二面角的平面角，‎ 即，由此可得． ‎ 由，得，于是有， ．‎ 在中， ，即，解得．‎ 于是满足条件的点存在，且． ‎ ‎（2）方法二：假设满足条件的点存在，并设．以为坐标原点，分别以， ， 为， ， 轴建立空间直线坐标系 ，则， ， ，‎ ‎．由得．‎ 所以， ， ． ‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即，取，得， ，即．设平面的法向量为，则，即，取，得， ，即．由二面角的大小为，得，化简得，又，求得． 于是满足条件的点存在，且．‎ ‎【变式二】【浙江省杭州市萧山区第一中学】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.‎ ‎，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空间直角坐标系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夹角公式计算即可.‎ ‎（1）证明：取中点，连结．‎ 在△中，‎ 分别为的中点，所以∥，且 ‎．由已知∥，，所以 ‎∥，且．所以四边形为平行四边形，‎ 所以∥．‎ 又因为平面，且平面，‎ 所以∥平面． 4分 ‎（2）证明：在正方形中，．又因为 平面 平面，且平面平面，‎ 所以平面．所以． 6分 在直角梯形中，，，可得．‎ 在△中，，所以． 7分 所以平面． 8分 又因为平面，所以平面平面． 9分 ‎（3）（方法一）延长和交于．‎ 在平面内过作于,连结．由平面 平面，‎ ‎∥，，平面平面=，‎ 得，于是．‎ 又，平面，所以，‎ 于是就是平面与平面所成锐二面角的 平面角. 12分 由，得.‎ 又，于是有.‎ 在中，.‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 14分 ‎（方法二）由（2）知平面，且． ‎ 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．‎ 易得.平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得．‎ 所以为平面的一个法向量． １２分 设平面与平面所成锐二面角为．‎ 则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 14分 ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．‎ 易错点：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.．‎ 分析：如图，连接B1D1，D‎1C，B‎1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线，所以EF∥B1D1.‎ 又A1B∥D‎1C，所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D‎1C所成的角．‎ 因为△D1B‎1C为正三角形，所以∠B1D‎1C＝.‎ 故A1B与EF所成角的大小为.‎ 温馨提醒：1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”. ‎ ‎2. 不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.‎ ‎3.两条异面直线所成角的范围是. ‎ ‎4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. ‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 化抽象为具体——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答异面直线所成角的问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是 “无图考图”，如：‎ ‎【典例1】已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为________.‎ ‎【答案】60°或30°‎ ‎【解析】‎ 解析　方法一　如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝12AB，PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.‎ 若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形.‎ 所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.‎ 综上直线AB和MN所成的角为60°或30°.‎ 方法二　由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，‎ 所以MN∥AA1，即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角. 连接A1B1交AB于O，‎ 所以A1B1∥CD，即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角.所以∠AOA1＝60°或120°，由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°.所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.‎ ‎【典例2】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________.‎ ‎【答案】90°‎ ‎ ‎ 又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，∴△B′BM≌△BAQ，‎ ‎∴∠MB′B＝∠QBM.‎ 而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，‎ 从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，‎ ‎∴∠MHB＝90°. ‎