河南省2021届高三数学（文）上学期期中考试试卷（Word版附答案）

河南省2021届高三数学（文）上学期期中考试试卷（Word版附答案）

2020—2021学年上期期中试卷 高三 文科数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一．选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1．设复数 z满足 izi  3- ，则 z 虛部是（ ） A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3 2．已知集合 M＝{x|x2＜4}，N＝{x| x 2log ＜2}，则 NM  ＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜2} 3．函数 y＝2 )1(ln xx 在 x＝1处的切线方程为（ ） A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺 术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如 图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设 外围虚线正方形的边长为 a，则窗花的面积为（ ） A．（ 22 ﹣1﹣ 2  ） 2a B．（ 22 ﹣1+ 2  ） 2a C．（ + 2﹣1） 2a D．（ 2  + 2﹣1） 2a 5．数列{an}中，a3＝5，a7＝2，若       1 4 na （  Nn ）是等比数列，则 a5＝（ ） A．﹣1或 3 B．﹣1 C．3 D． 10 6．从 2名男生和 3名女生中任选三人参加比赛，选中 1名男生和 2名女生的概率为（ ） A． 5 1 B． 5 2 C． 5 3 D． 5 4 7．设 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 m⊥n的一个充分不必要条件是 （ ） A．m⊥α，n∥β，α⊥β B．m⊥α，n⊥β，α∥β C．m⊂α，n∥β，α⊥β D．m⊂α，n⊥β，α∥β 8．设 a＞0，b＞0，且 2a+b＝1，则 ba a a   21 （ ） A．有最小值为 122  B．有最小值为 12  C．有最小值为 3 14 D．有最小值为 4 9．执行如图所示的程序框图，若输出的 x为 30，则判断框内 填入的条件不可能是（ ） A．x≥29？ B．x≥30？ C．x≥14？ D．x≥16？ 10．已知 )cossin3(cos2)( xxxxf  ，将函数 f（x）的图象向右平移 3  个单位长度， 则平移后图象的对称轴为（ ） A． 2 kx  ，k∈Z B． 212  kx  ，k∈Z C． 24  kx  ，k∈Z D． 23  kx  ，k∈Z 11．设函数 f（x）的定义域为 R，满足 2f（x）＝f（x+2），且当 x∈[﹣2，0）时，f（x）＝ ﹣x（x+2）．若对任意 x∈（﹣∞，m]，都有 f（x）≤3，则 m的取值范围是（ ） A．（﹣∞， 2 5 ] B．（﹣∞， 2 7 ] C．[ 2 5 ，+∞） D．[ 2 7 ，+∞） 12．已知球 O的表面上有 A，B，C，D四点，且 AB＝2，BC＝ 22 ， 4  ABC ．若三 棱锥 B﹣ACD的体积为 3 24 ，且 AD经过球心 O，则球 O的表面积为（ ） A．8π B．12π C．16π D．18π 二．填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13．已知 a＝ 3.0log2 ，b＝ 2log 3.0 ，c＝ 3.02 ，则 a、b、c三者的大小关系为 ． 14．假设要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从 800袋牛奶中抽取 60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将 800袋牛奶按 000，001，…，799进行 编号，如果从随机数表第 7行第 8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的 5袋牛 奶的编号 （下面摘取了随机数表第 7行至第 9行） 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954 15．已知向量  a，  b满足|  a +  b |＝|  a﹣2  b |，其中  b是单位向量，则  a在  b方向上的投影 为 ． 16．数列{ na }满足 nana nn 2)1 2 sin2(1   ，则数列{ na }的前 20项和为 ． 三．解答题（第 17-21题为必考题，每题 12分，每个试题考生都必须作答；第 22、23题为 选考题，每题 10分，考生根据要求作答；本大题共 6小题，共 60分） 17．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， Cb cos ＝（ AbBa coscos  ） Bcos . （1）若 CBA sinsin2sin2  ，判断△ABC的形状； （2）若 Atan ＝ 7 15 ，△ABC的面积为 4 15 ，求△ABC的周长． 18．已知数列{an}是公差不为 0的等差数列，数列{bn}是正项等比数列，其中 a1＝b1＝1， 5a ＝ 3b ， 93aa ﹣4＝ 5b ． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{ nnba }的前 n项和 Tn． 19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不 至，其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据： 岁数 x 1 2 6 12 16 17 花费累积 y（万元） 1 3 9 17 22 26 假设花费累积 y与岁数 x符合线性相关关系，求 （1）花费累积 y与岁数 x的线性回归直线方程（系数保留 3位小数）； （2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在 30岁成家立业之后，在你 50 岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？ 参考公式：         n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( ))(( ， xbya   . 20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，四边形 ABCD是边长为 4 的菱形，PA＝PC，BD⊥PA，E 是 BC上一点，且 BE＝1，设 AC∩BD＝O． （1）证明：PO⊥平面 ABCD； （2）若∠BAD＝60°，PA⊥PE，求三棱锥 P﹣AOE的体 积． 21．已知的数 f（x）＝ 2- ax + xa ）（ 2 + xln ． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 x x axexf x )12()(  恒成立，求 a的取值范围． 22．平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为           sin 2 1 cos 2 1 2 1 y x （α为参数），以原点 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为   22 2 sin4cos 4   ． （1）求曲线 C1的极坐标方程以及曲线 C2的直角坐标方程； （2）若直线 l： kxy  与曲线 C1、曲线 C2在第一象限交于 P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|， 点 M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积． 23．已知 a，b，c为一个三角形的三边长．证明： （1） 3 c a b c a b ; （2） 2)2    cba cba（ . 2020—2021 学年上期期中试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12小题） 1．设复数 z满足 zi＝﹣3+i，则 虛部是（ ） A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3 【解答】解：∵zi＝﹣3+i， ∴ ， ∴ ，则 虚部是﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合 M＝{x|x2＜4}，N＝{x|log2x＜2}，则 M∩N＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜2} 【解答】解：∵M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|0＜x＜4}， ∴M∩N＝{x|0＜x＜2}． 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算， 考查了计算能力，属于基础题． 3．函数 y＝2x（lnx+1）在 x＝1处的切线方程为（ ） A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+4 【解答】解：由已知得：y′＝2lnx+4， 所以 y′|x＝1＝4，切点为（1，2）． 故切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）， 即 y＝4x﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题． 4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风 格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境， 农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺 术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方 形的边长为 a，则窗花的面积为（ ） A．（2 ﹣1﹣ ）a2 B．（2 ﹣1+ ）a2 C．（π+ ﹣1）a2 D．（ + ﹣1）a2 【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的 面积 S＝S△ACE﹣2S 扇形 AOB﹣S△BCD， 即 S＝ ＝ ． 故“窗花”面积为 4S＝ ． 故选：A． 【点评】本题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题． 5．数列{an}中，a3＝5，a7＝2，若 （n∈N*）是等比数列，则 a5＝（ ） A．﹣1或 3 B．﹣1 C．3 D． 【解答】解：根据题意，设 bn＝ ，则数列{bn}是等比数列，设其公比为 q， 若 a3＝5，a7＝2，则 b3＝ ＝1，b7＝ ＝4， 则 q4＝ ＝4，变形有 q2＝2，则 b5＝b3q2＝2， 则有 ＝2，解可得 a5＝3， 故选：C． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于基础题． 6．从 2名男生和 3名女生中任选三人参加比赛，选中 1名男生和 2名女生的概率为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：记 2名男生为 A1，A2，3名女生为 B1，B2，B3， 所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3， A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有 10种情况， 符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3， A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共 6种情况， 所以概率为 ， 故选：C． 【点评】本题考查了列举法求概率问题，是一道基础题． 7．设 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 m⊥n的一个充分不必要条件是 （ ） A．m⊥α，n∥β，α⊥β B．m⊥α，n⊥β，α∥β C．m⊂α，n∥β，α⊥β D．m⊂α，n⊥β，α∥β 【解答】解：A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得 m与 n平行、相交或为异面直线，因此无法 得出 m⊥n，因此不正确； B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得 m∥n，因此无法得出 m⊥n，因此不正确； C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得 m与 n平行、相交或为异面直线，因此无法得出 m⊥n，因 此不正确． D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得 n⊥α，因此可得 m⊥n，因此正确； 故选：D． 【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．设 a＞0，b＞0，且 2a+b＝1，则 （ ） A．有最小值为 2 +1 B．有最小值为 +1 C．有最小值为 D．有最小值为 4 【解答】解：根据题意， ，因为 a＞0，b＞0， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故 有最小值为 ． 故选：A． 【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题． 9．执行如图所示的程序框图，若输出的 x为 30，则判断框内填入的条件不可能是（ ） A．x≥29？ B．x≥30？ C．x≥14？ D．x≥16？ 【解答】解：执行程序，可得 x＝2，2是偶数， x＝3，3不是偶数， x＝6，不符合判断框内的条件，执行否， x＝7，7不是偶数， x＝14，不符合判断框内的条件，执行否， x＝15，不是偶数， x＝30，此时应该满足条件，结束循环， 故判断框内的条件为 x＝14时不符合要求，x＝30时符合要求， 故 A，B，D选项均满足． 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题． 10．已知 ，将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度， 则平移后图象的对称轴为（ ） A． ，k∈Z B． ，k∈Z C． ，k∈Z D． ，k∈Z 【解答】解： ， f （ x ） 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 的 解 析 式 为 ， 令 2x＝kπ，则 ， 所以对称轴为 ，k∈Z． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律和余弦函数的图象和性质 的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 11．设函数 f（x）的定义域为 R，满足 2f（x）＝f（x+2），且当 x∈[﹣2，0）时，f（x）＝ ﹣x（x+2）．若对任意 x∈（﹣∞，m]，都有 f（x）≤3，则 m的取值范围是（ ） A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．[ ，+∞） D．[ ，+∞） 【解答】解：函数 f（x）的定义域为 R，满足 2f（x）＝f（x+2），可得 f（0）＝2f（﹣2） ＝0， 当 x∈[﹣2，0）]时，函数 f（x）在[﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减， 所以 f（x）max＝f（﹣1）＝1， 由 2f（x﹣2）＝f（x），可得当图象向右平移 2个单位时， 最大值变为原来的 2倍，最大值不断增大， 由 f（x）＝ f（x+2），可得当图象向左平移 2个单位时， 最大值变为原来的 倍，最大值不断变小， 当 x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）max＝f（﹣3）＝ ， 当 x∈[0，2）时，f（x）max＝f（1）＝2， 当 x∈[2，4）时，f（x）max＝f（3）＝4， 设 x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），f（x﹣4）＝﹣（x﹣4）（x﹣2）＝ f（x）， 即 f（x）＝﹣4（x﹣4）（x﹣2），x∈[2，4）， 由﹣4（x﹣4）（x﹣2）＝3，解得 x＝ 或 x＝ ， 根据题意，当 m≤ 时，f（x）≤3恒成立， 故选：A． 【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形 结合思想和方程思想，属于难题． 12．已知球 O的表面上有 A，B，C，D四点，且 AB＝2，BC＝2 ．若三棱 锥 B﹣ACD的体积为 ，且 AD经过球心 O，则球 O的表面积为（ ） A．8π B．12π C．16π D．18π 【解答】解：由题意可知画出图形，如图所示： 球 O的球心在 AD的中点，取 BC的中点 E，连接 AE，OE，由余弦定理得： ，所以 AC＝2， 即 AC2+AB2＝BC2， 所以△ABC为直角三角形． 则点 E为△ABC的外接圆的圆心． 由球的对称性可知：OE⊥平面 ABC， 由于 ， 所以 ， 即 ，解得 OE＝ ， 由于 AE⊂平面 ABC，OE⊥AE， AE＝ ＝ ， 所以球的半径 R＝OA＝ ， 所以球的表面积为 S＝4π•22＝16π． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的 表面积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 中档题． 二．填空题（共 4小题） 13．答案为：a＜b＜c 【解答】解：∵a＝log20.3，b＝log0.32，c＝20.3， ∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0.32＞log0.3 1，c＝20.3＞0， ∴a＜b＜c． 14．假设要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从 800袋牛奶中抽取 60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将 800袋牛奶按 000，001，…，799进行 编号，如果从随机数表第 7行第 8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的 5袋牛 奶的编号 331，572，455，068，047 （下面摘取了随机数表第 7行至第 9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54． 【解答】解：找到第 7行第 8列的数开始向右读，第一个符合条件的是 331， 第二个数是 572， 第三个数是 455， 第四个数是 068， 第五个数是 877它大于 799故舍去， 第五个数是 047． 故答案为：331、572、455、068、047 【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个 位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的 15．已知向量 ， 满足| + |＝| ﹣2 |，其中 是单位向量，则 在 方向上的投影为 ． 【解答】解：∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ 在 方向上的投影是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础 题． 16．220 三．解答题（共 7小题） 17．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，bcosC＝（acosB+bcosA）cosB． （1）若 sin2A＝2sinBsinC，判断△ABC的形状； （2）若 tanA＝ ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长． 【解答】（本题满分为 12分） 解：（1）∵bcosC＝（acosB+bcosA）cosB． ∴由正弦定理可得：sinBcosC＝（sinAcosB+sinBcosA）cosB＝sin（A+B）cosB， 可得：sinBcosC＝sinCcosB，可得：sin（B﹣C）＝0， 由于 B，C∈（0，π），可得：B﹣C∈（﹣π，π）， 所以：B＝C，可得：b＝c，…4分 因为：sin2A＝2sinBsinC， 所以由正弦定理可得：a2＝2bc，可得：a2＝b2+c2， 所以△ABC是等腰直角三角形…6分 （2）∵tanA＝ ＝ ，sin2A+cos2A＝1， ∴cosA＝ ，sinA＝ ＝ ，…8分 由（1）知 b＝c， ∵cosA＝ ＝ ＝ ， ∴b＝2a，…10分 ∵△ABC的面积为 ，可得 S＝ bcsinA＝ ＝ ， ∴a＝1，b＝2，△ABC的周长 a+b+c＝5a＝5…12分 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系 式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题． 18．已知数列{an}是公差不为 0的等差数列，数列{bn}是正项等比数列，其中 a1＝b1＝1， a5＝b3，a3a9﹣4＝b5． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）求数列{anbn}的前 n项和 Tn． 【解答】解：（1）设数列{an}的公差为 d（d≠0），数列{bn}的公比为 q（q＞0）， 由题设可得： ，解得：d＝2，q＝3， ∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝3n﹣1； （2）由（1）知：anbn＝（2n﹣1）•3n﹣1， ∴Tn＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1， 又 3Tn＝1×31+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n， 两式相减得：﹣2Tn＝1+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n＝1+2× +（1﹣ 2n）•3n， 整理可得：Tn＝（n﹣1）•3n+1． 【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应 用，属于中档题． 19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不 至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我 花了多少钱的数据： 岁数 x 1 2 6 12 16 17 花费累积 y（万元） 1 3 9 17 22 26 假设花费累积 y与岁数 x符合线性相关关系，求 （1）花费累积 y与岁数 x的线性回归直线方程（系数保留 3位小数）； （2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在 30岁成家立业之后，在你 50 岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？ 参考公式： ＝ ＝ ． ＝ ﹣ ． 【解答】解：（1）由表可知， ， ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ． ∴花费累积 y与岁数 x的线性回归直线方程为 ． （2）当 x＝24时， ＝1.463×24﹣0.167≈35（万元）， 30 岁 成 家 立 业 之 后 ， 在 50 岁 之 前 偿 还 ， 共 计 20 年 ， 所 以 每 月 应 还 元． 【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于基础题． 20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，四边形 ABCD是边长为 4 的菱形，PA＝PC，BD⊥PA，E 是 BC上一点，且 BE＝1，设 AC∩BD＝O． （1）证明：PO⊥平面 ABCD； （2）若∠BAD＝60°，PA⊥PE，求三棱锥 P﹣AOE的体积． 【解答】解：（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是 AC的中点， ∵BD⊥PA，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC， ∵PO⊂平面 PAC，∴BD⊥PO， ∵PA＝PC，O是 AC的中点，∴PO⊥AC， ∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面 ABCD． （2）解：由四边形 ABCD是菱形，∠BAD＝60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴BD＝AB＝4，∵O是 BD的中点，∴BO＝2， 在 Rt△ABO中，AO＝ ＝2 ， 在 Rt△PAO中，PA2＝AO2+PO2＝12+PO2， 取 BC的中点 F，连结 DF，则 DF⊥BC， ∴在 Rt△POE中，PE2＝OE2+PO2＝3+PO2， 在△ABE中，由余弦定理得 AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°＝21， ∵PA⊥PE，∴PA2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝ ， ∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE ＝ ﹣ ＝ ， ∴三棱锥 P﹣AOE的体积 VP﹣AOE＝ ＝ ＝ ． 【点评】本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.解：（1）函数 f（x） 的定义域为（0，十∞）， ， ①当 a⩾ 0 时，由 f′（x）＝0，解得 ， 令 f′（x）＞0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递增； 令 f′（x）＜0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递减． ②当﹣2＜a＜0 时，由 f′（x）＝0，解得 或 ，且 ． 令 f′（x）＞0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递增； 令 f′（x）＜0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递减． ③当 a＝﹣2 时，f′（x）⩾ 0，f（x） 在 （0，+∞）上单调递增． ④当 a＜﹣2 时，由 f′（x）＝0，解得 或 ，且 ． 令 f′（x）＞0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递增； 令 f′（x）＜0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递减． （2） 恒成立，即 xex﹣1⩾ lnx+ax 在 （0，+∞） 上恒成立， 即 在 （0，+∞） 上恒成立． 令 ，则 ， 令 h（x）＝x2ex+lnx，则 ， 所以 h（x）在（0，+∞）上单调递增，而 ， 故存在 ，使得 h（x0）＝0，即 ， 所以 ． 令λ（x）＝xex，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）ex＞0， 所以λ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 ． 当 x∈（0，x0） 时，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，故 g（x）在（0，x0）上单调递减； 当 x∈（x0，+∞） 时，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，故 g（x） 在 （x0，+∞）上单调递 增， 所以当 x＝x0 时，g（x）取得极小值，也是最小值， 所以 ， 故 a⩽ 1． 所以 a的取值范围为（﹣∞，1]． 22．平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 （α为参数），以原点 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C1的极坐标方程以及曲线 C2的直角坐标方程； （2）若直线 l：y＝kx与曲线 C1、曲线 C2在第一象限交于 P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|， 点 M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积． 【解答】解：（1）依题意，曲线 C1的参数方程为 （α为参数），转换为 直角坐标方程为 ，整理得：x2+y2﹣x＝0， 根据 整理得ρ＝cosθ， 由于曲线 C2的极坐标方程为 ．根据 转换为直 角坐标方程为 ． （2）将θ＝θ0代入 ，得到 ， 将θ＝θ0代入ρ＝cosθ得到ρP＝cosθ0， 由于|OQ|＝2|OP|， 所以 2ρP＝ρQ， 所以 ，解得 ， 所以 ． 由于 ， 所以 ， ， 故△PMQ的面积 S△MPQ＝S△OMP﹣S△OMQ＝ ． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型． 23．已知 a，b，c为一个三角形的三边长．证明： （1） + + ≥3； （2） ＞2． 【解答】解：（1）a，b，c＞0， + + ≥3• ；当且仅当 a＝b＝c取等号， 故原命题成立； （2）已知 a，b，c为一个三角形的三边长，要证 ＞2，只需证明 ， 即证 2 ， 则有 ，即 ， 所以 ， 同理 ， ， 三式左右相加得 2 ， 故命题得证． 【点评】考查了基本不等式的应用