2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

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2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1  等式性质与不等式性质 第 1 课时 不等关系与比较大小 必备知识 · 自主学习 导思 1. 用什么来表示实际问题中的不等关系? 2. 如何比较两个实数的大小? 1. 不等式与不等关系 (1) 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“ >”“<”“≥”“≤” 连接两个数或代数式,以表示 它们之间的 _________. 含有这些不等号的式子叫做不等式 . 不等关系 (2) 不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于或等于,至少,不低于 小于或等于,至多,不多于,不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ (3) 本质:现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映,这种不等关系可以用不等式来表示 . 应用:描述现实世界和日常生活中的不等关系 . 【 思考 】 3≤3 成立吗? 提示: 成立 . 不等式“ a≤b” 的含义是:或者“ ab ,那么 a-b 是正数,反之亦然 a>b⇔______ 如果 a0 a-b<0 a-b=0 【 思考 】 你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法? 提示: 能 . 通过两个实数作差,判断差的正负比较大小 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 不等式 a≥b 等价于“ a 不小于 b”. (    ) (2) 若 x-2≤0 ,则 x<2. (    ) (3) 两个实数 a , b 之间,有且只有 a>b , a=b , ab 或 a=b ,等价于“ a 不小于 b” ,即若 a>b 或 a=b 中有一个正确,则 a≥b 正确 . (2)×. 若 x-2≤0 ,则 x<2 或者 x=2 ,即 x≤2. (3)√. 任意两数之间,有且只有 a>b , a=b , a60 C.v≤60 D.v≥36 【 解析 】 选 C. 限速就是速度不超过,可以直接建立不等式 v≤60. 3.( 教材二次开发:练习改编 ) 已知 x≠2 ,则 x 2 +4 与 4x 的大小关系为 _______.  【 解析 】 x 2 +4-4x=(x-2) 2 ,而 x≠2 , 所以 (x-2) 2 >0 ,所以 x 2 +4-4x>0 ,所以 x 2 +4>4x. 答案: x 2 +4>4x 关键能力 · 合作学习 类型一 利用不等式 ( 组 ) 表示不等关系 ( 数学抽象、逻辑推理 )  角度 1  利用不等式表示不等关系  【 典例 】 1.2019 年 10 月 5 日 14 时 18 分,京张高铁联调联试正式启动 . 此条线路是 2022 年北京冬奥会的重要交通保障设施,设计最高时速 350 公里 . 用一个数学式子表示高铁时速 v 为 _______.  2. 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度 v 不小于第一宇宙速度 7.9 km/s ,且小于第二宇宙速度 11.2 km/s. 表示为 _______.  【 思路导引 】 读懂题意,找出不等关系,用不等式表示出来 . 【 解析 】 1.“ 最高”即“不超过”,即小于或等于,故用数学式子表示为: v≤350. 答案: v≤350 2.“ 不小于”即大于或等于,故用不等式表示为: 7.9≤v<11.2. 答案: 7.9≤v<11.2 【 变式探究 】 本例 1 条件若改为:“如图是高速公路上一个最低限速的指示标志,限制行驶时速 v 不得低于 50 千米”,试用不等式表示 . 【 解析 】 “ 不低于”即大于或等于, 故用不等式表示为: v≥50. 角度 2  利用不等式组表示不等关系  【 典例 】 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,要求菜园的面积不小于 110 m 2 ,靠墙的一边长为 x m. 试用不等式组表示其中的不等关系 . 【 思路导引 】 读懂题意,找出不等关系,用不等式组表示出来 . 【 解析 】 由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m ,而墙长为 18 m ,所以 010). 类型二 作差法比较大小 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 已知 a≠1 且 a∈R ,试比较 与 1+a 的大小 . 四步 内容 理解 题意 条件: a≠1 , a∈R 结论:比较 与 1+a 的大小 思路 探求 作差⇒化简⇒判定差的符号⇒确定大小关系 四步 内容 书写 表达 因为 -(1+a)= - = , ① (1) 当 a=0 时, =0 ,所以 =1+a. (2) 当 a<1 ,且 a≠0 时, >0 , 所以 >1+a. (3) 当 a>1 时, <0 ,所以 <1+a. 注意分类讨论思想方法的应用: ①当作差化简后的结果不能直接判定符号时,要讨论 . 题后 反思 作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方法是配方或通分,因式分解为积商的形式 . 【 解题策略 】 作差法比较大小的步骤 【 跟踪训练 】 1. 已知 x , y∈R , P=2x 2 -xy+1 , Q=2x- ,试比较 P , Q 的大小 . 【 解析 】 因为 P-Q=2x 2 -xy+1- =x 2 -xy+ +x 2 -2x+1= +(x-1) 2 ≥0 , 所以 P≥Q. 2. 已知 a , b 均为正实数 . 试比较 a 3 +b 3 与 a 2 b+ab 2 的大小 . 【 解析 】 因为 a 3 +b 3 -(a 2 b+ab 2 )=(a 3 -a 2 b)+(b 3 -ab 2 ) =a 2 (a-b)+b 2 (b-a) =(a-b)(a 2 -b 2 )=(a-b) 2 (a+b). 当 a=b 时, a-b=0 , a 3 +b 3 =a 2 b+ab 2 ; 当 a≠b 时, (a-b) 2 >0 , a+b>0 , a 3 +b 3 >a 2 b+ab 2 . 综上所述, a 3 +b 3 ≥a 2 b+ab 2 . 【 拓展延伸 】 中间值法比较大小  如果所给式子作差后无法因式分解,不能判断差的符号,可尝试中间值法比较大小 . 利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值,通过它们的有界性来寻找中间值作媒介,以达到传递的目的 . 【 拓展训练 】  已知 x∈R ,试比较 2x 2 -3x+3 与 的大小 . 【 解析 】 因为 2x 2 -3x+3= ≥ >1 , 2 x +2 -x =( ) 2 +2≥2 , 所以 ≤ 1 , 所以 2x 2 -3x+3> . 类型三 比较大小在实际问题中的应用 ( 数学抽象、数学建模 ) 【 典例 】 2019 年 12 月 26 日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往 . 甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受 7.5 折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠 .” 这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠 . 【 思路导引 】 先设出变量表示出两车队的车票花费,再通过作差法比较 . 【 解析 】 设该单位职工有 n 人 (n∈N * ) ,全票价为 x 元,坐甲车队的车需花 y 1 元,坐乙车队的车需花 y 2 元 . 由题意,得 y 1 =x+ x·(n-1)= x+ nx , y 2 = nx. 因为 y 1 -y 2 = x+ nx- nx= x- nx = x , 当 n=5 时, y 1 =y 2 ; 当 n>5 时, y 1 y 2 . 所以,当单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多于 5 人时,选甲车队更优惠;少于 5 人时,选乙车队更优惠 . 【 解题策略 】  现实生活中的许多问题能够用不等式解决,其解题思路是将解决的问题转化成不等关系,利用作差法比较大小,进而解决实际问题 . 【 跟踪训练 】 甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米,这两次大米的价格不同,两家饭馆老板购买的方式也不同,其中甲每次购进 100 千克大米,而乙每次用去 100 元钱 . 问:谁的购买方式更合算? 【 解析 】 设两次大米的价格分别为 a 元 / 千克, b 元 / 千克 (a>0 , b>0 , a≠b) , 则甲两次购买大米的平均价格 ( 元 / 千克 ) 是: 乙两次购买大米的平均价格 ( 元 / 千克 ) 是: 因为 所以 > . 所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算 . 课堂检测 · 素养达标 1. 下列说法正确的是 (    ) A.x 为非正数可表示为“ x≥0” B. 小华的实际年龄 n 不足 18 岁,表示为“ n≤18” C. 两数 x , y 的平方和不小于 2 ,表示为“ x 2 +y 2 ≥2” D. 甲数 a 比乙数 b 大,表示为“ a≥b” 【 解析 】 选 C.x 为非正数应表示为“ x≤0” ,小华的实际年龄 n 不足 18 岁应表示为“ n<18” ,甲数 a 比乙数 b 大,应表示为“ a>b” ,故 A , B , D 不正确, C 正确 . 2. 某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩 x 不低于 95 分,文化课总分 y 高于 380 分,体育成绩 z 超过 45 分,用不等式组表示就是 (    )                    A. B. C. D. 【 解析 】 选 D.“ 不低于”即“≥”,“高于”即“ >” ,“超过”即“ >” ,所以 3. 设 a=3x 2 -x+1 , b=2x 2 +x ,则 (    ) A.a>b B.ap   (3)16≤t≤18 5.( 教材二次开发:练习改编 ) 比较 (a+3)(a-5) 与 (a+2)(a-4) 的大小为 _______.  【 解析 】 因为 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) =(a 2 -2a-15)-(a 2 -2a-8)=-7<0. 所以 (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 答案: (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4) 不等关系与 比较大小 利用不等式表示不等关系 比较大小 作差法:通常利用配方法化成完全平方式与 0 比较 作商法:适用于同号的式子作商与 1 比较 比较大小常用方法 (1)利用不等式时,要注意等号能否取到 ( 2 )利用不等式表示不等关系时要注意实际意义 数学建模: 用不等式 ( 组 ) 表示实际问题, 培养 数学建模的核心素养 逻辑推理: 通过等式性质类比推理得不等式的性质, 培养 逻辑推理的核心素养 方法总结 核心知识 易错提醒 核心素养
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