2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1
等式性质与不等式性质
第
1
课时 不等关系与比较大小
必备知识
·
自主学习
导思
1.
用什么来表示实际问题中的不等关系？
2.
如何比较两个实数的大小？
1.
不等式与不等关系
(1)
不等式的概念
我们用数学符号“≠”“
>”“<”“≥”“≤”
连接两个数或代数式，以表示
它们之间的
_________.
含有这些不等号的式子叫做不等式
.
不等关系
(2)
不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字
语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于或等于，至少，不低于
小于或等于，至多，不多于，不超过
符号
语言
>
<
≥
≤
(3)
本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示
.
应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系
.
【
思考
】
3≤3
成立吗？
提示：
成立
.
不等式“
a≤b”
的含义是：或者“
a
b
，那么
a-b
是正数，反之亦然
a>b⇔______
如果
a0
a-b<0
a-b=0
【
思考
】
你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法？
提示：
能
.
通过两个实数作差，判断差的正负比较大小
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)
不等式
a≥b
等价于“
a
不小于
b”. (
)
(2)
若
x-2≤0
，则
x<2. (
)
(3)
两个实数
a
，
b
之间，有且只有
a>b
，
a=b
，
ab
或
a=b
，等价于“
a
不小于
b”
，即若
a>b
或
a=b
中有一个正确，则
a≥b
正确
.
(2)×.
若
x-2≤0
，则
x<2
或者
x=2
，即
x≤2.
(3)√.
任意两数之间，有且只有
a>b
，
a=b
，
a60
C.v≤60 D.v≥36
【
解析
】
选
C.
限速就是速度不超过，可以直接建立不等式
v≤60.
3.(
教材二次开发：练习改编
)
已知
x≠2
，则
x
2
+4
与
4x
的大小关系为
_______.
【
解析
】
x
2
+4-4x=(x-2)
2
，而
x≠2
，
所以
(x-2)
2
>0
，所以
x
2
+4-4x>0
，所以
x
2
+4>4x.
答案：
x
2
+4>4x
关键能力
·
合作学习
类型一 利用不等式
(
组
)
表示不等关系
(
数学抽象、逻辑推理
)
角度
1
利用不等式表示不等关系
【
典例
】
1.2019
年
10
月
5
日
14
时
18
分，京张高铁联调联试正式启动
.
此条线路是
2022
年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时速
350
公里
.
用一个数学式子表示高铁时速
v
为
_______.
2.
中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度
v
不小于第一宇宙速度
7.9 km/s
，且小于第二宇宙速度
11.2 km/s.
表示为
_______.
【
思路导引
】
读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来
.
【
解析
】
1.“
最高”即“不超过”，即小于或等于，故用数学式子表示为：
v≤350.
答案：
v≤350
2.“
不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：
7.9≤v<11.2.
答案：
7.9≤v<11.2
【
变式探究
】
本例
1
条件若改为：“如图是高速公路上一个最低限速的指示标志，限制行驶时速
v
不得低于
50
千米”，试用不等式表示
.
【
解析
】
“
不低于”即大于或等于，
故用不等式表示为：
v≥50.
角度
2
利用不等式组表示不等关系
【
典例
】
用一段长为
30 m
的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长
18 m
，要求菜园的面积不小于
110 m
2
，靠墙的一边长为
x m.
试用不等式组表示其中的不等关系
.
【
思路导引
】
读懂题意，找出不等关系，用不等式组表示出来
.
【
解析
】
由于矩形菜园靠墙的一边长为
x m
，而墙长为
18 m
，所以
010).
类型二 作差法比较大小
(
逻辑推理、数学运算
)
【
典例
】
已知
a≠1
且
a∈R
，试比较 与
1+a
的大小
.
四步
内容
理解
题意
条件：
a≠1
，
a∈R
结论：比较 与
1+a
的大小
思路
探求
作差⇒化简⇒判定差的符号⇒确定大小关系
四步
内容
书写
表达
因为
-(1+a)= - =
，
①
(1)
当
a=0
时，
=0
，所以
=1+a.
(2)
当
a<1
，且
a≠0
时，
>0
，
所以
>1+a.
(3)
当
a>1
时，
<0
，所以
<1+a.
注意分类讨论思想方法的应用：
①当作差化简后的结果不能直接判定符号时，要讨论
.
题后
反思
作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方法是配方或通分，因式分解为积商的形式
.
【
解题策略
】
作差法比较大小的步骤
【
跟踪训练
】
1.
已知
x
，
y∈R
，
P=2x
2
-xy+1
，
Q=2x-
，试比较
P
，
Q
的大小
.
【
解析
】
因为
P-Q=2x
2
-xy+1- =x
2
-xy+ +x
2
-2x+1= +(x-1)
2
≥0
，
所以
P≥Q.
2.
已知
a
，
b
均为正实数
.
试比较
a
3
+b
3
与
a
2
b+ab
2
的大小
.
【
解析
】
因为
a
3
+b
3
-(a
2
b+ab
2
)=(a
3
-a
2
b)+(b
3
-ab
2
)
=a
2
(a-b)+b
2
(b-a)
=(a-b)(a
2
-b
2
)=(a-b)
2
(a+b).
当
a=b
时，
a-b=0
，
a
3
+b
3
=a
2
b+ab
2
；
当
a≠b
时，
(a-b)
2
>0
，
a+b>0
，
a
3
+b
3
>a
2
b+ab
2
.
综上所述，
a
3
+b
3
≥a
2
b+ab
2
.
【
拓展延伸
】
中间值法比较大小
如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比较大小
.
利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来寻找中间值作媒介，以达到传递的目的
.
【
拓展训练
】
已知
x∈R
，试比较
2x
2
-3x+3
与 的大小
.
【
解析
】
因为
2x
2
-3x+3= ≥ >1
，
2
x
+2
-x
=( )
2
+2≥2
，
所以 ≤
1
，
所以
2x
2
-3x+3> .
类型三 比较大小在实际问题中的应用
(
数学抽象、数学建模
)
【
典例
】
2019
年
12
月
26
日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往
.
甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受
7.5
折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的
8
折优惠
.”
这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠
.
【
思路导引
】
先设出变量表示出两车队的车票花费，再通过作差法比较
.
【
解析
】
设该单位职工有
n
人
(n∈N
*
)
，全票价为
x
元，坐甲车队的车需花
y
1
元，坐乙车队的车需花
y
2
元
.
由题意，得
y
1
=x+ x·(n-1)= x+ nx
，
y
2
= nx.
因为
y
1
-y
2
= x+ nx- nx= x- nx
= x
，
当
n=5
时，
y
1
=y
2
；
当
n>5
时，
y
1
y
2
.
所以，当单位去的人数为
5
人时，两车队收费相同；多于
5
人时，选甲车队更优惠；少于
5
人时，选乙车队更优惠
.
【
解题策略
】
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题
.
【
跟踪训练
】
甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进
100
千克大米，而乙每次用去
100
元钱
.
问：谁的购买方式更合算？
【
解析
】
设两次大米的价格分别为
a
元
/
千克，
b
元
/
千克
(a>0
，
b>0
，
a≠b)
，
则甲两次购买大米的平均价格
(
元
/
千克
)
是：
乙两次购买大米的平均价格
(
元
/
千克
)
是：
因为
所以
> .
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算
.
课堂检测
·
素养达标
1.
下列说法正确的是
(
)
A.x
为非正数可表示为“
x≥0”
B.
小华的实际年龄
n
不足
18
岁，表示为“
n≤18”
C.
两数
x
，
y
的平方和不小于
2
，表示为“
x
2
+y
2
≥2”
D.
甲数
a
比乙数
b
大，表示为“
a≥b”
【
解析
】
选
C.x
为非正数应表示为“
x≤0”
，小华的实际年龄
n
不足
18
岁应表示为“
n<18”
，甲数
a
比乙数
b
大，应表示为“
a>b”
，故
A
，
B
，
D
不正确，
C
正确
.
2.
某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩
x
不低于
95
分，文化课总分
y
高于
380
分，体育成绩
z
超过
45
分，用不等式组表示就是
(
)
A. B.
C. D.
【
解析
】
选
D.“
不低于”即“≥”，“高于”即“
>”
，“超过”即“
>”
，所以
3.
设
a=3x
2
-x+1
，
b=2x
2
+x
，则
(
)
A.a>b B.ap
(3)16≤t≤18
5.(
教材二次开发：练习改编
)
比较
(a+3)(a-5)
与
(a+2)(a-4)
的大小为
_______.
【
解析
】
因为
(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a
2
-2a-15)-(a
2
-2a-8)=-7<0.
所以
(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
答案：
(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)
不等关系与
比较大小
利用不等式表示不等关系
比较大小
作差法：通常利用配方法化成完全平方式与
0
比较
作商法：适用于同号的式子作商与
1
比较
比较大小常用方法
（1）利用不等式时，要注意等号能否取到
（
2
）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义
数学建模：
用不等式
(
组
)
表示实际问题，
培养
数学建模的核心素养
逻辑推理：
通过等式性质类比推理得不等式的性质，
培养
逻辑推理的核心素养
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
