【数学】2018届一轮复习人教A版第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第二节　命题及其关系、充分条件与必 要条件 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为 真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 图­­ (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． (2)如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件． (3)如果 pD q，且 qD p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 4．集合与充要条件 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，则有： (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条 件． (2)若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 BA，则 p 是 q 的必要不充分条 件． (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　) (2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”．(　　) (3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．(　　) (4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”．(　　) [解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论． (3)正确．q 是 p 的必要条件说明 p⇒q，所以 p 是 q 的充分条件． (4)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)命题“若 α＝π 4 ，则 tan α＝1”的逆否命题是(　　) 【导学号：51062007】 A．若 α≠π 4 ，则 tan α≠1 B．若 α＝π 4 ，则 tan α≠1 C．若 tan α≠1，则 α≠π 4 D．若 tan α≠1，则 α＝π 4 C　[“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则 綈 p”，显然綈 q：tan α≠1， 綈 p：α≠π 4 ，所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π 4 ”．] 3．(2017·浙江五校第一次联考)设 x>0，则“a＝1”是“x＋a x ≥2 恒成立”的 (　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为 x＋a x ≥2，x>0 恒成立⇔a≥(2x－x2)max＝1，x>0，所以“a＝1”是“x ＋a x ≥2 恒成立”的充分不必要条件，故选 A.] 4．命题“若 a＞－3，则 a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假 命题的个数为(　　) A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若 a＞－6，则 a＞－ 3”是假命题，从而其否命题也是假命题． 因此 4 个命题中有 2 个假命题．] 5．(2017·杭州学军中学模拟)若 p：“x>a”是 q：“x>1 或 x<－3”的充分不必 要条件，则 a 的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a≤1 C．a≥－3 D．a≤－3 A　[因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以集合 p 是集合 q 的真子集，即 p⊆ q，所以 a≥1，故选 A.] 四种命题的关系及其真假判断 　(1)命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为 (　　) A．“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为真命题 B．“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为真命题 C．“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为假命题 D．“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为假命题 (2)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题， 逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　) A．真，假，真　　　　 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 (1)C　(2)B　[(1)根据逆否命题的定义可以排除 A，D，由 x 2－3x－4＝0， 得 x＝4 或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题． (2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题． 当 z1＝1＋2i，z2＝2＋i 时，显然|z1|＝|z2|，但 z1 与 z2 不共轭，所以逆命题为 假命题，从而它的否命题亦为假命题．] [规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件 与结论．特别注意的是，如果命题不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写为“若 p，则 q”的形式． 2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明 它是假命题，只需举一反例即可． 3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性 间接地证明命题的真假． [变式训练 1]　原命题为“若an＋an＋1 2 ＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关 于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 A　[由an＋an＋1 2 ＜an，得 an＋an＋1＜2an，即 an＋1＜an. 所以当an＋an＋1 2 ＜an 时，必有 an＋1＜an， 则{an}是递减数列． 反之，若{an}是递减数列，必有 an＋1＜an， 从而有an＋an＋1 2 ＜an. 所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命 题．] 充分条件与必要条件的判断 　(1)函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在．若 p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x) 的极值点，则(　　) A．p 是 q 的充分必要条件 B．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 (2)设 x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)C　(2)A　[(1)当 f′(x0)＝0 时，x＝x0 不一定是 f(x)的极值点， 比如，y＝x3 在 x＝0 时，f′(0)＝0，但在 x＝0 的左右两侧 f′(x)的符号相同， 因而 x＝0 不是 y＝x3 的极值点． 由极值的定义知，x＝x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)＝0. 综上知，p 是 q 的必要条件，但不是充分条件． (2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＞1 或 x＜－2. 由于{x|1＜x＜3}是{x|x＞1 或 x＜－2}的真子集． 所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．] [规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用 于命题中涉及字母的范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化 为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． [变式训练 2]　设集合 M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若 a＝1，则集合 N＝{1}，此时满足 N⊆M.若 N⊆M，则 a2＝1 或 2，所 以 a＝±1 或 a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．] 充分条件、必要条件的应用 　已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x ∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围. 【导学号：51062008】 [解]　由 x2－8x－20≤0 得 －2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}.4 分 ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件， 则 S⊆P， ∴Error!∴0≤m≤3.8 分 综上，可知 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件.14 分 [迁移探究 1]　本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要 条件． [解]　由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}.2 分 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S， ∴Error!8 分 ∴Error! 这样的 m 不存在.14 分 [迁移探究 2]　本例条件不变，若 x∉P 是 x∉S 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． [解]　由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∉P 是 x∉S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件， ∴P⇒S 且 SD P，4 分 ∴[－2,10][1－m,1＋m]， ∴Error!或 Error!8 分 ∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞).14 分 [规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解 上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集 合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． [变式训练 3]　(1)(2017·温州模拟)已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x 2－ 4x<0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是________． (2)方程 ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件 是________． (1)(0,3)　(2)a≤0 或 a＝1　[(1)令 M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x 2－4x<0}＝ {x|00，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是 (　　) A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 D　[根据逆否命题的定义，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根” 的逆否命题是“若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0”．] 2．(2017·杭州调研)设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α.则“m∥ β”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[m⊂α，m∥βD α∥β，但 m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥ β”的必要不充分条件．] 3．“x>1”是“log 1 2(x＋2)<0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B　[∵x>1⇒log 1 2(x＋2)<0，log 1 2(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，∴“x>1”是“log 1 2(x ＋2)<0”的充分不必要条件．] 4．给出下列命题： ①“若 a21，则 ax2－2ax＋a＋3>0 的解集为 R”的逆否命题； ④“若 3x(x≠0)为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是(　　) 【导学号：51062009】 A．③④　　　 B．①③ C．①② D．②④ A　[对于①，否命题为“若 a2≥b2，则 a≥b”，为假命题；对于②，逆命题 为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当 a>1 时，Δ＝－ 12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确， 从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．] 5．(2017·嘉兴期末测试)设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线，且 m⊂α， 则“m⊥β”是“α⊥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若 m⊂α，m⊥β，则 α⊥β；反之，若 α⊥β，m⊂α，则 m 与 β 的位 置关系不确定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选 A.] 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝2R(R 为三角形外接圆半径)得，a＝2Rsin A，b ＝2Rsin B，故 a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B．] 7．已知条件 p：x2－2ax＋a2－1>0，条件 q：x>2，且 q 是 p 的充分不必要 条件，则 a 的取值范围是(　　) 【导学号：51062010】 A．a≥1 B．a≤1 C．a≥－3 D．a≤－3 B　[条件 p：x>a＋1 或 x2， 又 q 是 p 的充分不必要条件， 故 q⇒p，pD⇒/q，所以 a＋1≤2，即 a≤1.] 二、填空题 8．已知 a，b，c 都是实数，则在命题“若 a＞b，则 ac2＞bc2”与它的逆命 题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________. 【导学号：51062011】 2　[由 a＞bD ac2＞bc2，但 ac2＞bc2⇒a＞b. 所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题． 从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．] 9．“m＜ 1 4 ”是“一元二次方程 x 2＋x＋m＝0 有实数解”的________条 件． 充分不必要　[x2＋x＋m＝0 有实数解等价于 Δ＝1－4m≥0， 即 m≤1 4 ，因为 m＜1 4 ⇒m≤1 4 ，反之不成立． 故“m＜1 4 ”是“一元二次方程 x 2＋x＋m＝0 有实数解”的充分不必要条 件．] 10．已知集合 A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合 B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈ B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是________. 【导学号：51062012】 (4，＋∞)　[A＝{x|x＜4}，由题意知 AB，所以 a＞4.] B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2017·宁波调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[cos 2α＝0 等价于 cos2α－sin2α＝0，即 cos α＝±sin α. 由 cos α＝sin α 可得到 cos 2α＝0，反之不成立．] 2．设 p：实数 x，y 满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数 x，y 满足Error!则 p 是 q 的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[p 表示以点(1,1)为圆心， 2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示 的平面区域为图中阴影部分(含边界)． 由图可知，p 是 q 的必要不充分条件．] 3．有下列几个命题： ①“若 a＞b，则 a2＞b2”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； ③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． ②③　[①原命题的否命题为“若 a≤b，则 a2≤b2”错误． ②原命题的逆命题为：“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤－2，则 x2≥4”正确．] 4．已知不等式|x－m|＜1 成立的充分不必要条件是1 3 ＜x＜1 2 ，则实数 m 的取 值范围是________． [－1 2 ，4 3]　[由|x－m|＜1 得－1＋m＜x＜1＋m， 由题意知Error!{x|－1＋m＜x＜1＋m}， 所以Error!解得－1 2 ≤m≤4 3 ， 所以实数 m 的取值范围是[－1 2 ，4 3].]