湖南省长郡中学2021届高三数学上学期入学摸底试卷（Word版附答案）

湖南省长郡中学2021届高三数学上学期入学摸底试卷（Word版附答案）

www.ks5u.com 绝密★启用前 长郡中学2021届高三开学摸底考试 数学 本试题卷共8页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合A＝{x∈N|<2x＋1<16}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B＝‎ A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}‎ ‎2.已知复数z满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为 A.－2 B.－2i C.1 D.i ‎3.f(x)＝的部分图象大致是 ‎4.饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期。有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B的概率为 A. B. C. D.‎ ‎5.已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为 A. B. C. D.‎ ‎6.命题p：f(x)＝x＋alnx(a∈R)在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得－e＋4＋2a≥0成立(e为自然对数的底数)，若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是 A.(－2，－) B.(－2，－)∪[－1，＋∞) C.[－，－1) D.(2，－)∪[1，＋∞)‎ ‎7.已知A(2，1)B(，0)，C，D四点均在函数f(x)＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是 A. B. C. D.‎ ‎8.设数列{an}的前n项和为Sn，当n∈N*时，an，n＋，an＋1成等差数列，若Sn＝2020，且a2<3，则n的最大值为 A.63 B.64 C.65 D.66‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。‎ ‎9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，右图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图。则 A.2022年我国5G用户规模年增长率最高 B.2022年我国5G用户规模年增长户数最多 C.从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降 D.这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差 ‎10.如图已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，∠OCB＝，|OA|＝2，|AD|＝。则下列说法正确的有 A.f(x)的最小正周期为12 B.φ＝－ ‎ C.f(x)的最大值为 D.f(x)在区间(14，17)上单调递增 ‎11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在直线l上，则 A.B1C//l B.B1C⊥l C.点M到平面BCC1B1的距离等于线段AB的长度 D.直线BM与直线CD所成角的余弦值的最大值是 ‎12.若存在实常数k和b，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：F(x)≥kx＋b和G(x)≤kx＋b恒成立，则称此直线y＝kx＋b为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)＝x2(x∈R)，g(x)＝(x<0)，h(x)＝2elnx(e为自然对数的底数)，则 A.m(x)＝f(x)－g(x)在x∈(－，0)内单调递增 B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4‎ C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[－4，1]‎ D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x－e 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，则(2x＋)n展开式的常数项为 。(用数字作答)‎ ‎14.设a，b，c为单位向量，向量a与b的夹角为120°，则(a－c)·(b－c)的取值范围是 。‎ ‎15.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝2，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线y＝1相切。若存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P的坐标为 。‎ ‎16.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为α。当tanα的最大值为时，则三棱锥P－ABC的体积为 。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 在①数列{an}为等差数列，且a3＋a7＝18；②数列{an}为等比数列，且a2a6＝64，a2a3<0；③Sn－1＝an－1(n≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答。‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1， 。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由。‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在BC边上，且BD＝2DC，若sin2A＋‎ sin2C－sin2B＝sinAsinC，c＝2。‎ ‎(I)求sinB的值；‎ ‎(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC的面积为，求的值。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：‎ 试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)：‎ ‎(1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈10.03。记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54，80.63]之外的包装胶带个数，求P(X＝1)及X的数学期望(精确到0.001)；‎ ‎(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(t∈(1，4))‎ 假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?试说明理由。‎ 参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D，E两点，且|DE|＝4。‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设直线l过点A(2，0)且与抛物线C交于P，Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记△APN的面积为S1，△RNB的面积为S2，求的最小值。‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数。‎ ‎(1)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)

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