2019届二轮复习第31练　几何证明选讲、不等式选讲学案（全国通用）

2019届二轮复习第31练　几何证明选讲、不等式选讲学案（全国通用）

第31练　几何证明选讲、不等式选讲 ‎[明晰考情]　1.命题角度： 三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用.2.题目难度：中档难度.‎ 考点一　三角形相似的判定及应用 方法技巧　证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换.‎ ‎1.(2016·江苏)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.‎ 证明　在△ADB和△ABC中，‎ 因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，‎ 所以△ADB∽△ABC，‎ 所以∠ABD＝∠C.‎ 在Rt△BDC中，因为E是斜边BC的中点，‎ 所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C，‎ 所以∠EDC＝∠ABD.‎ ‎2.(2017·江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.‎ ‎(1)求证：∠PAC＝∠CAB；‎ ‎(2)求证：AC2＝AP·AB.‎ 证明　(1)因为PC切半圆O于点C，‎ 所以∠PCA＝∠CBA.‎ 因为AB为半圆O的直径，‎ 所以∠ACB＝90°.‎ 因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°，‎ 因此∠PAC＝∠CAB.‎ ‎(2)由(1)知，△APC∽△ACB，‎ 故＝，‎ 即AC2＝AP·AB.‎ ‎3.(2018·苏州模拟)如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：PF2＝PD·PE.‎ 证明　连结PB，PC，因为∠PCF，∠PBD分别为圆弧BP上的圆周角和弦切角，‎ 所以∠PCF＝∠PBD.‎ 因为PD⊥BD，PF⊥FC，‎ 所以△PDB∽△PFC，‎ 故＝.‎ 同理，∠PBF＝∠PCE，又PE⊥EC，PF⊥FB，‎ 所以△PFB∽△PEC，故＝，‎ 所以＝，即PF2＝PD·PE.‎ ‎4.如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE.‎ 证明　因为AB是⊙O的切线，‎ 所以∠ABD＝∠AEB.‎ 又因为∠BAD＝∠EAB，所以△BAD∽△EAB，‎ 所以＝.‎ 同理，＝.‎ 因为AB，AC是⊙O的切线，‎ 所以AB＝AC.‎ 因此＝，‎ 即BE·CD＝BD·CE.‎ 考点二　圆有关定理、性质的应用 方法技巧　和圆有关的计算证明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换.‎ ‎5.(2018·江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC＝2，求BC的长.‎ 证明　如图，连结OC.‎ 因为PC与圆O相切，‎ 所以OC⊥PC.‎ 又因为PC＝2，OC＝2，‎ 所以OP＝＝4.‎ 又因为OB＝2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，‎ 所以BC＝2.‎ ‎6.(2018·南京模拟)如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC，求证：CA＝3CB.‎ 证明　如图，连结OD，因为DA＝DC，‎ 所以∠DAO＝∠C.‎ 在圆O中，AO＝DO，‎ 所以∠DAO＝∠ADO，‎ 所以∠DOC＝2∠DAO＝2∠C.‎ 因为CD为圆O的切线，‎ 所以∠ODC＝90°，‎ 从而∠DOC＋∠C＝90°，‎ 即2∠C＋∠C＝90°，‎ 故∠C＝30°，‎ 所以OC＝2OD＝2OB，‎ 所以CB＝OB，所以CA＝3CB.‎ ‎7.(2018·苏州模拟)如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l和圆O交于点D，E，求线段AE的长.‎ 解　在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，‎ 所以∠ABC＝60°.‎ 因为l为过点C的切线，‎ 所以∠DCA＝∠ABC＝60°.‎ 因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.‎ 连结OE，在△AOE中，‎ 因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，‎ 所以AE＝AO＝AB＝2.‎ ‎8.如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.‎ ‎(1)证明：∠CBD＝∠DBA；‎ ‎(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径.‎ ‎(1)证明　因为DE为⊙O的直径，‎ 所以∠BED＋∠EDB＝90°，‎ 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，‎ 从而∠CBD＝∠BED.‎ 又AB切⊙O于点B，所以∠DBA＝∠BED，‎ 所以∠CBD＝∠DBA，‎ ‎(2)解　由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，‎ 又BC＝，从而AB＝3.‎ 所以AC＝＝4，所以AD＝3.‎ 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，‎ 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.‎ 考点三　不等式的证明 方法技巧　证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.‎ ‎9.已知m，n是正数，证明：＋≥m2＋n2.‎ 证明　∵＋－m2－n2＝＋＝＝，‎ 又m，n均为正数，‎ ‎∴＋－m2－n2＝≥0，‎ ‎∴＋≥m2＋n2.‎ ‎10.设a，b，c均为正数，abc＝1.求证：＋＋≥＋＋.‎ 证明　由a，b，c为正数，根据算术—几何平均不等式，‎ 得＋≥，＋≥，＋≥ .‎ 将此三式相加，得2≥＋＋，‎ 即＋＋≥＋＋.‎ 由abc＝1，则有＝1.‎ 所以＋＋≥＋＋＝＋＋，‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立.‎ ‎11.已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.‎ 求证：≥8.‎ 证明　要证≥8成立，‎ 只需证··≥8成立.‎ ‎∵a＋b＋c＝1，‎ ‎∴只需证··≥8成立，即··≥8，又a，b，c>0，‎ ‎∴只需证·· ‎≥··≥8成立，而··≥8显然成立，‎ ‎∴≥8成立.‎ ‎12.已知a，b，c都是实数，求证：‎ a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.‎ 证明　∵a，b，c∈R，‎ ‎∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.‎ 将以上三个不等式相加，得 ‎2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ①‎ 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ②‎ 在不等式①的左右两端同时加上a2＋b2＋c2，得 ‎3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，‎ 即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2. ③‎ 在不等式②的左右两端同时加上2(ab＋bc＋ca)，得 ‎(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，‎ 即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. ④‎ 由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.‎ 考点四 　柯西不等式 方法技巧　利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构.‎ ‎13.(2017·江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.‎ 证明　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，‎ 因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，‎ 所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.‎ ‎14.(2018·盐城模拟)已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.‎ 解　由柯西不等式，可得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2，‎ 因为x＋2y＋3z＝2，‎ 所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立，‎ 所以x2＋y2＋z2的最小值为.‎ ‎15.已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.‎ 证明　因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，‎ 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.‎ 由柯西不等式知(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，‎ 当且仅当＝，即b＝2a时等号成立.‎ 即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，‎ 解得－≤c≤1.‎ 所以－≤c≤1.‎ ‎16.(2018·苏州模拟)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c成立，求实数x的取值范围.‎ 解　因为a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，‎ 由柯西不等式得(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)(1＋1＋1)＝3，‎ 当且仅当＝＝＝±时等号成立.‎ 因为|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，所以|x－1|＋|x＋1|≥3.‎ 当x<－1时，－2x≥3，解得x≤－；‎ 当－1≤x≤1时，2≥3不成立；‎ 当x>1时，2x≥3，解得x≥.‎ 综上，实数x的取值范围为∪.‎ ‎1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D.已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长.‎ 解　∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，‎ ‎∴D为BC的中点，‎ ‎∵BC＝4，AD＝6，‎ ‎∴AB＝AC＝2，cos C＝，‎ 由AC·CE＝CD·CB，得CE＝，AE＝，‎ ‎∵DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos C＝4，∴DE＝2.‎ ‎∴四边形ABDE的周长l＝4＋.‎ ‎2.(2018·南京、盐城模拟)如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D，若DE＝4，求切点E到直径AB的距离.‎ 解　如图，过点E作EF⊥AB交AB于点F，连结AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，因为AD⊥DE交DE于点D，所以AD∥OE，所以∠DAE＝∠OEA. ①‎ 在⊙O中，OE＝OA，所以∠OEA＝∠OAE. ②‎ 由①②得∠DAE＝∠OAE，即∠DAE＝∠FAE，‎ 又∠ADE＝∠AFE，AE＝AE，‎ 所以△ADE≌△AFE，所以DE＝FE，‎ 又DE＝4，所以FE＝4，‎ 即点E到直径AB的距离为4.‎ ‎3.已知x，y，x均为正数，求证：＋＋≥＋＋.‎ 证明　∵x，y，z都是正数，‎ ‎∴＋＝≥.‎ 同理可得＋≥，＋≥.‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得＋＋≥＋＋(当且仅当x＝y＝z时，等号成立).‎ ‎4.(2108·江苏七市联考)已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝5，求证：a2＋2b2＋c2≥10.‎ 证明　由柯西不等式得[a2＋(b)2＋c2]·≥(a＋b＋c)2，‎ 因为a＋b＋c＝5，所以(a2＋2b2＋c2)·≥25.‎ 所以a2＋2b2＋c2≥10，‎ 当且仅当a＝2b＝c>0时取等号.‎