【数学】广东省化州市第一中学2019-2020学年高二4月线上测试（二）(解析版)

【数学】广东省化州市第一中学2019-2020学年高二4月线上测试（二）(解析版)

广东省化州市第一中学2019-2020学年高二4月线上测试（二）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题未（50分)‎ ‎1．若复数是纯虚数，其中是实数，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知向量，且，则实数（ ）‎ A．3 B．‎1 ‎C．4 D．2‎ ‎3．等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）‎ A．38 B．‎-19 ‎C．-38 D．19‎ ‎4．已知双曲线的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．若圆：（m，）始终平分圆：的周长，则的最小值为（ ）‎ A． B．‎9 ‎C．6 D．3‎ ‎6．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知在抛物线（）上，且P到焦点的距离为10.则焦点到准线的距离为（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎C．8 D．16‎ ‎9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为（ ）.‎ A． B． C．0 D．‎ 二、多选题（10分)‎ ‎11．（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）‎ A．为偶函数 B．‎ C．在上的最大值为 D．在区间上至少有一个零点 ‎12．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 第II卷（非选择题)‎ 三、填空题（20分)‎ ‎13．函数的定义域为_________________________‎ ‎14．直线与平行，则的值为_________.‎ ‎15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．‎ ‎16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且p、q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1，则数列{}的前2019项和为______．‎ 四、解答题（70分)‎ ‎17．（10分）自2017年2月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:‎ 准备参加 不准备参加 待定 男生 ‎30‎ ‎6‎ ‎15‎ 女生 ‎15‎ ‎9‎ ‎25‎ ‎(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?‎ ‎(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,从这6人中任意抽取2人,求至少有一名女生的概率.‎ ‎18．（12分）已知数列的前项和为，点在直线上，‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和 ‎19．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，点为边上一点，且，求的面积.‎ ‎20．（12分）在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. ‎ 如图1 如图2‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ 当时，求的单调增区间；‎ 若在上是增函数，求a得取值范围．‎ 参考答案 第I卷（选择题)‎ 一、单选题未（50分)‎ ‎1．若复数是纯虚数，其中是实数，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则.‎ ‎2．已知向量，且，则实数（ ）‎ A．3 B．‎1 ‎C．4 D．2‎ ‎【答案】A 【解析】,根据得,解得,故选A.‎ ‎3．等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）‎ A．38 B．‎-19 ‎C．-38 D．19‎ ‎【答案】C 【解析】等差数列的性质可知．即．．故本题答案选．‎ ‎4．已知双曲线的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 【解析】 根据题意,双曲线的方程为，则其焦点在x轴上，‎ 直线与x轴交点的坐标为，则双曲线的焦点坐标为，‎ 则有，解可得，，‎ 则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：，故选B.‎ ‎5．若圆：（m，）始终平分圆：的周长，则的最小值为（ ）‎ A． B．‎9 ‎C．6 D．3‎ ‎【答案】D 【解析】 把圆：化为一般式，得，又圆：（m，），‎ 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线的方程：.‎ 圆始终平分圆的周长，圆心在直线上，‎ ‎，即.‎ ‎.‎ 当且仅当即时，等号成立.的最小值为3.‎ ‎6．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，只需要将全称量词改为存在量词，然后否定结论.故命题“”的否定是 ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 【解析】解：因为，所以，‎ 得，所以为奇函数，排除C；‎ 设，恒成立，所以在，单调递增，所以，‎ 故在上恒成立，排除AD，‎ ‎8．已知在抛物线（）上，且P到焦点的距离为10.则焦点到准线的距离为（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎C．8 D．16‎ ‎【答案】B 【解析】抛物线（）的准线方程为，‎ 由抛物线的定义可知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，‎ ‎.所以焦点到准线的距离为.‎ ‎9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 【解析】由题意，取的中点，连接，则,‎ 所以异面直线与所成角就是直线与所成角，‎ 设正三棱柱的各棱长为,则，‎ 设直线与所成角为，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．‎ ‎10．若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为（ ）.‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】A 【解析】解：，‎ ‎∵函数在区间上不是单调函数，‎ ‎，‎ 由，解得：或，‎ 由，解得：，‎ 的极小值为，‎ 二、多选题（10分)‎ ‎11．（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）‎ A．为偶函数 B．‎ C．在上的最大值为 D．在区间上至少有一个零点 ‎【答案】ABCD 【解析】‎ 因为，所以其的定义域为，‎ A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；‎ B选项，，故B正确；‎ C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；‎ D选项，因为，所以，，‎ 即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；‎ ‎12．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 ‎【答案】ABD 【解析】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.‎ 所以A,B,D选项正确，C选项错误.‎ 第II卷（非选择题)‎ 三、填空题（20分)‎ ‎13．函数的定义域为_________________________‎ ‎【答案】(-1,2) .【解析】由，解得﹣1＜x＜2．‎ ‎∴函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（﹣1，2）．‎ ‎14．直线与平行，则的值为_________.‎ ‎【答案】【解析】‎ 由于直线与平行，则，‎ 解得.‎ ‎15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．‎ ‎【答案】2. 【解析】如图，‎ 由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，‎ 又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．‎ ‎16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且p、q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1，则数列{}的前2019项和为______．‎ ‎【答案】 【解析】‎ 由题意，当为偶数时，，当为奇数时，，‎ 则 ‎．‎ 四、解答题（70分)‎ ‎17．（10分）自2017年2月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:‎ 准备参加 不准备参加 待定 男生 ‎30‎ ‎6‎ ‎15‎ 女生 ‎15‎ ‎9‎ ‎25‎ ‎(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?‎ ‎(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,从这6人中任意抽取2人,求至少有一名女生的概率.‎ 解：(1)分层抽样时的抽样比为=0.2,所以,在“准备参加”的同学中应抽取(30+15)×0.2=9(人),在“不准备参加”的同学中应抽取(6+9)×0.2=3(人),在“待定”的同学中应抽取(15+25)×0.2=8(人).‎ ‎(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,‎ 则男生抽4人,女生抽2人,男生4人分别记作1,2,3,4,女生2人分别记作5,6.‎ 从6人中任取2人共有以下15种情况:‎ ‎(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),‎ ‎(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),‎ ‎(3,4),(3,5),(3,6),‎ ‎(4,5),(4,6),‎ ‎(5,6).‎ 其中至少有一名女生的情况共有9种:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).‎ 所以,至少有一名女生的概率P==0.6.‎ ‎18．（12分）已知数列的前项和为，点在直线上，‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和。‎ 解：(1)点在直线上，， . ‎ 当时， 则， ‎ 当时，,‎ ‎ ‎ 两式相减，得, 所以. ‎ 所以是以首项为，公比为等比数列，所以. ‎ ‎(2), ‎ ‎ ,‎ ‎ , ‎ 两式相减得:, ‎ 所以.‎ ‎19．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，点为边上一点，且，求的面积.‎ 解：（1），‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2），，，‎ 由余弦定理得，，‎ 则，‎ 化简得，，‎ 解得或（负值舍去），‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的面积.‎ ‎20．（12分）在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. ‎ 如图1 如图2‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．‎ 解：（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得. ‎ 又因为为的中点，所以 ‎ 在题图2中，，，且，‎ 所以平面，‎ 所以平面. ‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.‎ 所以平面. ‎ 又因为平面，‎ 所以.‎ 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 在题图1中，设，则，，，.‎ 则，，，.‎ 所以，，. ‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即 令，则.所以. ‎ 设与平面所成的角为，‎ 则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎21．（12分）已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）由题意得 解得． 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， ‎ 由得. ‎ 令，得． ‎ ‎，．‎ 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴． ‎ 过做的垂线，则垂足为线段的中点．‎ 设点的坐标为，则．‎ 由方程组解得，即． 而， ‎ 所以直线的方程为y=x-1．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ 当时，求的单调增区间；‎ 若在上是增函数，求a得取值范围．‎ 解：（1）当时，，‎ 所以，由得，或，‎ 故所求的单调递增区间为.‎ ‎（2）由，‎ ‎∵在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，‎ ‎∵（当且仅当时取等号），所以，即.‎