2018届二轮复习函数的图象与性质学案（江苏专用）

2018届二轮复习函数的图象与性质学案（江苏专用）

专题2：函数的图象与性质（两课时）‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．求下列函数的值域：‎ ‎（1）y＝sin(2x＋)，x∈[0，]； （2）y＝； （3）y＝x＋；‎ ‎（4）f(x)＝()x－x，x∈[－1，2]； （5）f(x)＝x2＋； （6）f(x)＝xlnx.‎ 答案：（1）[，1]；（2）(－1，1]；（3）(－∞，]；（4）[－，3]；（5）[2－1，＋∞)；‎ ‎ （6）[－，＋∞).‎ ‎2．（1）f(x)＝x(＋)的奇偶性为 ．‎ ‎（2）若f(x)＝为奇函数，则a的值为 ．‎ 答案：（1）偶函数；（2）．‎ ‎3．（1）函数f(x)＝的增区间为 ； （2）f(x)＝log(x2－2x)的增区间为 ；‎ ‎（3）f(x)＝lnx－2x2的减区间为 ．‎ 答案：（1）(－∞，－1)和(－1，＋∞)；（2）(－∞，0)；（3）(，＋∞) ．‎ ‎4．（1）若f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1＋，则f(x) ＝ ．‎ ‎（2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则f(x)＜0的x的取值范围是 ．‎ 答案：（1）；（2）(－2，2).‎ ‎5．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝ ；‎ 当x∈[4，6]时，f(x)＝ ．‎ 答案：（－； ‎6．（1）已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，①将函数y＝f(x)图象向右平移2个单位后的解析式为 ．‎ ‎②与函数y＝f(x)图象关于y轴对称的函数解析式为 ．‎ ‎（2）方程＝x＋m有一个实数解，则m的取值范围为 ．‎ 答案：（1）①y＝ln(2x－3)；②y＝ln(1－2x)；（2）[－1，1)∪｛｝.‎ 二、方法联想 ‎1．值域求法 ‎（1）图象法；（2）复合函数法；（3）分离常数或反解法；（4）换元法；（5）单调性法；‎ ‎（6）基本不等式法；（7）导数法；（8）配方法．‎ 变式1：若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[5，＋∞)，则实数a的取值范围是 ． ‎ ‎(答案：(1，3] 考查已知函数的值域，求参数的范围)‎ 变式2：函数y＝＋的值域为 .‎ ‎(答案：[，＋∞)，考查构造图像，利用代数式几何意义求值域）‎ ‎2．函数奇偶性 ‎ (1)判断(证明)函数的奇偶性 方法1：定义法；方法2：图象法．‎ 优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域．但证明奇偶性只能用定义法．‎ ‎(2)已知函数奇偶性，求参数的值 方法1：特殊值法，若函数为奇函数且0在定义域内，用f(0)＝0．‎ 方法2：利用定义，转化方程恒成立问题．‎ ‎ 优先用方法1，但要注意检验．如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性．‎ ‎3．判断函数单调性 方法1：图象法； 方法2：导数法； 方法3：定义法； 方法4：复合函数法．‎ ‎ 判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法．‎ ‎ 注意：单调性证明只能用导数法和定义法．‎ 变式1：设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． ‎ ‎ (答案：a＞，考查已知函数的单调性求参数的范围)‎ 变式2：设函数f(x)＝x|x－a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，不等式＞0恒成立，‎ 则实数的取值范围是 . ‎ ‎(答案：(－∞，2]，考查函数单调性的不同表现形式，数形结合) ‎ ‎4．奇偶性、单调性应用 处理函数问题，如最值、解不等式、图象等，可分析函数的奇偶性，判断函数的单调性，其中奇(偶)函数y轴两侧单调性口诀：奇同偶反．‎ ‎ ‎ 变式1：已知函数f(x)＝．若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则的取值范围是　　　　.‎ ‎（答案：[－1，1]，考查分段函数的奇偶性、单调性结合）‎ ‎5．函数周期性问题 函数周期性的判断常用定义，即如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，‎ 都有f(x＋T)＝ f(x)，则称f(x)为周期函数．‎ 有关周期性常用结论：‎ ‎ ①若函数满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期为‎2a．‎ ‎ ②若函数满足f(x＋a)＝，则f(x)的周期为‎2a．‎ ‎③若函数满足f(x＋a)＝－ ，则f(x)的周期为‎2a．‎ 变式1：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)对一切实数x都成立，若f(1)＝0，‎ 则关于x的方程f(x)＝0在[0，10]上的解的个数为______________．‎ ‎（答案：11，考查函数的周期性与奇偶性结合）‎ ‎6．函数图象变换 ‎ ‎（一）对称变换；（二）翻折变换；（三）平移变换；（四）伸缩变换．‎ 处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法．作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题．我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作用．‎ ‎7．图象的对称问题 ‎ 方法1：相关点法；方法2：特殊值法．‎ ‎ 常用结论：‎ ‎①若函数满足f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)图象关于x＝ 对称．‎ ‎②若函数满足f(a＋x)＋f(b－x)＝m，则f(x)图象关于(，)对称．‎ 变式1：已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，‎ 当x∈(0，1)时，f(x)＝－x2＋x，则函数f(x)的最小值为 ．‎ ‎（答案：－，考查运用函数周期性求函数的最小值）‎ 三、例题分析 例1. 设函数f(x)＝ln|x|－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是_______．‎ 答案：(，)∪(，1)．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．解不等式问题 ‎ 方法1：直接求解；‎ ‎ 方法2：转化为常见代数不等式(组)求解，通常的方法有:换元法，利用函数的单调性等．‎ ‎2．判断(证明)函数的奇偶性 方法1：定义法；方法2：图象法．‎ ‎3．判断函数单调性 方法1：图象法； 方法2：导数法； 方法3：定义法； 方法4：复合函数法．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ 本题是解不等式问题，直接求解比较复杂，考虑将其转化后求解，而显然换元法也不行，所以考虑利用函数的单调性转化，所以要判断函数的单调性，考虑到本题的函数解析式中含有绝对值，是分段函数，研究单调性，需分段进行，对于函数性质的研究，通常需要整体把握，即从定义域，奇偶性，单调性和周期性等方法综合考虑，有些函数的问题，必要时还要看一些特殊的点。本题中的函数是偶函数，当x＞0时，f(x)＝lnx－，可用导数法证明: f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由奇偶性知，f(x)在(－∞，0)上单调递减.‎ 为了便于转化不等式，可将不等式转化为f(|x|)＞f(|2x－1|)，从而得到|x|＞|2x－1|＞0．‎ 例2：已知函数f(x)＝．‎ ‎（1）试判断f(x)的奇偶性并给予证明；‎ ‎（2）求证：f(x)在区间(0，1)上单调递减.‎ 答案：（1）f(x)为奇函数.‎ ‎ （2）略.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．判断(证明)函数的奇偶性 方法1：定义法；方法2：图象法．‎ 证明函数的奇偶性，只能用定义法．‎ ‎2．证明函数单调性 方法1：图象法； 方法2：导数法； 方法3：定义法； 方法4：复合函数法．‎ 本题考查用定义判断函数的奇偶性、单调性.本题的易错点有两个，一是忽视先求出定义域，直接判断f(x)与f(－x)的关系；二是在第二问中机械套用定义，对f(x1)、f(x2)直接作差，反而无法证明函数的单调性.‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1.对于一个函数f(x)，它由定义域和对应法则唯一确定，因此对函数一系列的性质的研究也都应该在定义域的基础上展开，判断函数的奇偶性必须先检验函数的定义域是否对称，求函数的单调区间也必须首先判断函数的定义域.‎ ‎2.本题中的函数f(x)的解析式是由多个基本初等函数复合而成，因此其单调性的证明转化为几个基本初等函数单调性的判断，证明过程的最后一步利用了不等式的性质：若a＞‎ b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.‎ 例3: (1)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，‎ 那么实数k的取值范围是 ．‎ ‎(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案: (1)(0，1)∪(1，4)；(2)[－，].‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．函数图象交点的个数问题 ‎ 方法：借助基本函数的图象，及直线的几何意义观察，交点的个数．‎ ‎2．不等式恒成立问题 ‎ 方法1：分离变量法，分离变量转化为求函数的最值问题；‎ ‎ 方法2：直线讨论函数的单调性，求函数的最值，再转化为解不等式；‎ ‎ 方法3：图象法，利用函数的图象，考查一个曲线在另一曲线的上下方的条件．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎ 第(1)题，研究函数图象的交点情况，由于函数y＝图象是确定的且可画出，函数y＝kx－2的图象是一条过(0，－2)，斜率为k的动直线，本题就是考查动直线在变化过程中与定曲线有两个交点，可借助于图象的直观来解决问题。‎ ‎ 第(2)题，由于函数比较复杂且解析式中含有参数，无法进行变量分离，利用方法2也不易转化为解不等式问题，所以本题采用方法3，方法3的关键是画出函数的图象，由于x≥0时，图象是分段函数，每段都是直线，x＜0的图象可利用奇函数图象关于原点对称作出。‎ 例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．‎ ‎（1）求证：f(x)是周期函数；‎ ‎（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；‎ ‎（3）计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．‎ 答案：（1）f(x)是周期为4的周期函数．‎ ‎（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．‎ ‎（3）0.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ 本题考查函数的周期性和奇偶性.第一问只需证明f(x＋4)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；第二问利用奇偶性求得函数f(x)在[－2，0]上的解析式，进而利用周期性求得f(x)在[2，4]上的解析式；第三问则是利用函数值的周期性求和.‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1.本题的易错点是在第二问的求解析式，应强调将所求区间上的x转化为符合已知区间上的变量特征，进而利用已知的解析式求出结论.‎ ‎2.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝f(x) (T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T. ‎ 四、反馈练习 ‎1.若函数f(x)＝是奇函数，则满足f(x)＞a的x的取值范围是 ．‎ 答案：(－1－，＋∞)；(考查函数的奇偶性，不等式的解法).‎ ‎2. 函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是_____________.‎ 答案：[1,2)；(考查分段函数的单调性，复合函数的单调性，数形结合的思想方法).‎ ‎3.若y＝f(x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，‎ f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数为 .‎ 答案：8；(考查函数的周期性与奇偶性，函数的零点，数形结合的思想方法)‎ ‎4.已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝________．‎ ‎ 答案：1；(考查函数的最值问题)‎ ‎5.已知函数f(x)＝e|x|，m＞1，对任意的x∈[1，m]，都有f(x－2)≤ex，则最大的正整数m为________．‎ 答案：4；(考查函数的单调性，不等式恒成立问题，数形结合的思想方法).‎ ‎6.已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)‎ ‎(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________．‎ 答案：[，)；(考查函数的图象，数形结合的思想方法).‎ ‎7．设函数f(x)＝ ‎(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；‎ ‎(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.‎ 答案：(1)－1；(2) [，1)∪[2，＋∞) (考查函数的图象，函数最值与零点问题).‎ ‎8.已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0，2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8，10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.‎ 则所有正确命题的序号为________．‎ 答案：①②④；‎ ‎(考查函数的奇偶性、周期性、单调性，数形结合的思想方法).‎ ‎9.函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[－b，－a]，那么y＝f(x)叫做对称函数.现有f(x)＝－k是对称函数，则k的取值范围为 .‎ 答案：；(考查函数的单调性，函数与方程，转化的思想方法).‎ ‎10.函数f(x)＝，若f(x1)＋f(2x2)＝1(其中x1，x2均大于2)，则f(x1x2)的最小值为________．‎ 答案：；(考查基本不等式求最值).‎ ‎11.设函数f(x)＝log2(ax－bx)且f(1)＝1，f(2)＝log212.‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．‎ 答案：（1）a＝4，b＝2；（2）2＋log23.‎ ‎(考查待定系数法，二次函数与对数函数的值域).‎ ‎12.定义在D上的函数f(x)，如果满足："x∈D，$常数M＞0，都有| f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝1＋x＋ax2.‎ ‎（1）当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，判断函数f(x)在(–∞，0)上是否为有界函数，并说明理由；‎ ‎（2）若函数f(x)在[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.‎ 答案：（1）函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数.‎ ‎（2）实数的取值范围为[－，－]．‎ ‎(考查转化的思想方法，不等式的恒成立与二次函数的最值问题，分离变量讨论参数范围).‎