浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019学年杭二高一上期中 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1.已知集合，，若集合有4个子集，则实数（）‎ A. 0、1或3 B. 1或3 C. 1或 D. 0或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合有4个子集，则或，进而可得答案．‎ ‎【详解】由题集合有4个子集，所以A与B的交集有两个元素，则或，‎ 当时，可得或，当时，集合，，不满足集合的互异性，故或．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．‎ ‎2.下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据偶函数的定义进行判断,然后判断在时函数的单调性即可.‎ ‎【详解】选项A：函数的定义域为全体实数集.,所以函数是奇函数,不符合题意；‎ 选项B：函数的定义域为全体非零实数集.‎ ‎,所以函数是奇函数,不符合题意；‎ 选项C：函数的定义域为全体实数集. ,所以函数是偶函数,当时, ,因为底数大于1,故该函数是增函数,符合题意；‎ 选项D：函数的定义域为全体非零实数集. ‎ ‎,所以函数是偶函数,‎ 当时, ,该函数是减函数,不符合题意.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性,掌握偶函数的定义和基本函数的单调性是解题的关键.‎ ‎3.设，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，，‎ 而，，‎ 所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以有．‎ 故选．‎ ‎4.设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．‎ 故选：B．‎ 点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；‎ 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；‎ 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.‎ ‎5.如果，那么（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 根据函数在是减函数，且，‎ 所以，所以，故选C.‎ ‎6.函数（其中常数e=2.71828……是一个无理数）的图像为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的函数值符号及单调性即可作出判断.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴关于直线x=1轴对称，y＞0，在上单调递减，‎ 故选：A ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎7.设函数,若,则的值等于（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 2019‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,由,得到等式,再把化简,运用对数的运算公式结合上个等式,可以求出所求代数式的值.‎ ‎【详解】由可得：.‎ ‎。‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了运算能力,属于基础题.‎ ‎8.函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令，在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域 内为减函数且，所以满足题意，故选择B．‎ 考点：1．对数函数性质；2．复合函数的单调性．‎ ‎9.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，‎ ‎∴当x=0时，f（0）=0，‎ 下面求x∈[﹣4，0）时的f（x）的表达式，‎ 设x∈[﹣4，0），则﹣x∈（0，4]，‎ 又∵当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）=﹣x2﹣4x，‎ 又f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，‎ ‎∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x，‎ ‎∴f（x）=，‎ 令f（x）=0，解得x=﹣4或0或4，‎ 当x∈[﹣4，0]时，不等式f[f（x）]＜f（x），‎ 即（x2+4x）2+4（x2+4x）＜x2+4x，‎ 化简得（x2+4x）2+3（x2+4x）＜0，‎ 解得x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）；‎ 当x∈（0，4]时，不等式f[f（x）]＜f（x），‎ 即﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）＜﹣x2+4x，‎ 化简得﹣（﹣x2+4x）2+3（﹣x2+4x）＜0，‎ 解得x∈（1，3）；‎ 综上所述，x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3），‎ 故选：D．‎ 点睛：处理抽象不等式手段：（1）利用单调性化抽象为具体，（2）数形结合处理，（3）确定函数的表达式，把不等式的两边具体化。‎ ‎10.已知二次函数满足,若存在实数b，使得在上的最大值,则实数a的最大值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 二次函数的开口向上,根据二次函数的性质可知：在上的最大值是中最大值,因此可由题意得到不等式组,结合,最后求出实数a的最大值.‎ ‎【详解】因为,所以,所以.‎ 因为二次函数的开口向上,所以在上的最大值是中最大值,‎ 于是有：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上最值问题,考查了数学运算能力.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.已知集合,,则_____,‎ ‎______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的值域化简集合的表示,求出定义域化简集合的表示.最后利用交集、并集、补集的定义,结合数轴求解即可 ‎【详解】,.‎ ‎,.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集、并集、补集的运算,考查了求函数的定义域、值域,利用数轴是解题常用的方法.‎ ‎12.已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可设,由题意有，解得,即,再结合函数的单调性可得解.‎ ‎【详解】解:因为为幂函数,‎ 设,‎ 由函数的图象过点，‎ 则,即,‎ 即,‎ 故单调减区间为,‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法及幂函数的单调性，重点考查了幂函数的定义，属基础题.‎ ‎13.设函数,则_______．若,则的取值范围是______．‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入解析式,计算出结果,再把这个结果再代入解析式中,最后求出的值；‎ 根据的取值不同进行分类讨论,最后求出不等式的解集.‎ ‎【详解】；‎ 当时,,‎ 当时, ,综上所述：若,则的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值问题,考查了解分段函数不等式,考查了分类讨论思想.‎ ‎14.若,,则______,_______．‎ ‎【答案】 (1). 58 (2). 9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂的乘方公式、乘方的定义进行运算即可.‎ ‎【详解】；‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了乘方公式和乘方的定义,考查了数学运算能力.‎ ‎15.若函数（且）,图象恒过定点,则_____；函数的单调递增区间为____________．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算性质可以直接求出点的坐标,这样可以计算出的值；再根据复合函数的单调性的性质可以求出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】由函数（且）的解析式可知：当时, ,因此有 ‎；因此,由复合函数的单调性的性质可知：函数的单调递增区间为：.‎ 故答案为：2；‎ ‎【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,考查了复合函数的单调性问题,掌握对数的运算特性是解题的关键.‎ ‎16.已知函数恰有四个零点,则实数k取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数有四个零点等价于方程有四个不同的实数解,运用数形结合思想,求出实数k的取值范围.‎ ‎【详解】函数恰有四个零点,说明方程有四个不同的实数解.‎ ‎,显然方程必有一个根为零.‎ 当且时,此时显然,等式可变形为：,说明函数有三个交点,如下图所示：‎ 因此有.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知函数零点求参数取值范围问题,把零点问题转化为方程根的问题是解题的关键.‎ ‎17.记号表示中取较大的数，如. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，. 若对任意，都有，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意，当时，令，解得，此时 ‎ 令，解得，此时，‎ 又因为函数是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，且，‎ 所以函数的图象如图所示，‎ 要使得，根据图象的平移变换，‎ 可得且，解得且，即且.‎ 点睛：本题主要考查了分段函数图象与性质的综合应用，其中解答中借助新定义，得到函数在的解析式，并作出函数的图象，在根据函数的奇偶性，得到函数的图象，由，根据图象的变换得出相应的条件，即可求解的取值范围，解答中正确得到函数的图象，利用图象得到是解答关键.‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.设全集，集合,．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设集合,若,求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别解指数不等式、一元二次不等式化简集合的表示,根据补集、并集的定义进行求解即可；‎ ‎(2)由,可得集合之间的关系,利用数轴可以,分类讨论求出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】(1) 因为,,‎ 所以,‎ 因此；‎ ‎(2)因为,所以.‎ 当时,即时, ,符合；‎ 当时,即时,要想则有：而,‎ 所以；‎ 综上所述：实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了集合并集、补集的运算,考查了已知集合运算的结果求参数问题,正解解出指数不等式和一元二次不等式是解题的关键.‎ ‎19.某厂家拟举行双十一促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元（）满足．已知年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．‎ ‎(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；‎ ‎(2)该厂家年促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？‎ ‎【答案】(1) ()；(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出每件产品的价格,然后根据题意得到年利润y的表达式即可；‎ ‎(2) 利用基本不等式可以求出厂家的利润最大时年促销费用.‎ ‎【详解】(1)由题意可知：每件产品的价格为：.‎ ‎,而,‎ 所以()；‎ ‎(2) ,‎ 当且仅当时取等号,即,所以厂家年促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求解利润最大问题,考查了阅读理解能力,根据题意建立函数关系是解题的关键.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎(1)判断的单调性,并根据函数单调性的定义证明；‎ ‎(2)解关于的不等式．‎ ‎【答案】(1)单调递减,证明过程见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的定义域,利用单调性的定义,结合对数的运算法则、差比法、对数函数的性质可以判断出函数的单调性；‎ ‎(2)利用函数的单调性,结合定义域、对数的运算性质,可以解出不等式的解集.‎ ‎【详解】(1) 是单调递减函数,理由如下：‎ ‎ 由,所以函数的定义域为：.‎ 设且,则有.‎ ‎,‎ 所以有,‎ 因此函数是减函数；‎ ‎(2) ,由(1)可知函数的单调性和定义域,于是有下列不等式组成立：‎ ‎,所以不等式的解集为：.‎ ‎【点睛】本题考查了判断并证明函数的单调性,考查了利用函数的单调性求解不等式问题,考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）已知f（x）的图象关于原点对称，求实数的值；‎ ‎（2）若，已知常数满足：对任意恒成立，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的定义域是，函数图象关于原点对称，得函数是奇函数，即解出即可，需验证函数是奇函数；（2）此题是个恒成立问题，求取参量的取值范围，对此我们一般情况都是参变分离，化成，令，由于是恒成立问题，则有,只需要求取即可．‎ 试题解析：（1）定义域为，又知函数为R上奇函数，则a=‎ 下面证明时是奇函数 对定义域R上的每一个x都成立，‎ ‎∴为R上奇函数．‎ ‎∴存在实数，使函数为奇函数．‎ 另解：定义域为，又知函数为R上的奇函数，‎ 对定义域R上的每一个x都成立．‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎=，‎ ‎∴．‎ ‎∴存在实数，使函数为奇函数．‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ 由对恒成立，得，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴对恒成立，‎ 易知，关于x的函数在上为增函数，令 在上为增，‎ ‎∴．‎ 考点：1、函数奇偶性；2、指数函数；3、求取函数最值的方法．‎ ‎【方法点晴】在（1）中利用奇函数的性质，在利用的时候一定注意定义域，除此之外，还可以直接根据奇函数的定义：，进行代入，亦可求出答案；在（2）中的恒成立问题是个经典题型，对此我们分为如下几种类型：‎ 已知在定义域上恒成立则有：‎ ‎1、；‎ ‎2、；‎ ‎3、；‎ 如果带有参量，例如本题，我们采用参变分离的方法进行转化，这种方法非常常见，请大家一定要掌握．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若,存在,使得,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据的不同取值,结合绝对值的性质,分类讨论求出函数的单调区间；‎ ‎(2) 求出二次函数的对称轴,根据对称轴和所给的区间的位置进行分类讨论,即可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】(1)当时, ,因此函数在上单调递增,在上单调递减；‎ 当时, ,‎ 区间上单调递增,在区间上单调递减；‎ 当时, ,‎ 在区间上单调递增,在区间上单调递减；‎ ‎(2)二次函数的对称轴为：.‎ ‎①当时,二次函数是单调减函数,因此有：‎ ‎,‎ 所以一元二次方程在区间上有两不等根,则有 ‎；‎ ‎②当时,二次函数是单调增函数,因此有：‎ ‎,所以可以看成一元二次方程两根,则 ‎，有；‎ ‎③当时, ,所以由 函数的最大值是中的一个值, .‎ ‎①若时,有,此时,所以或 ‎(i)若时, ‎ ‎(ii)若,由（舍）：‎ ‎②若时,有,此时,‎ 因此有,‎ 根据 综上所述：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的单调性,考查了已知二次函数的定义域、值域求参数取值范围问题.‎ ‎ ‎