2018届二轮复习一道求离心率问题的多种解法学案（江苏专用）

2018届二轮复习一道求离心率问题的多种解法学案（江苏专用）

‎ 一道求离心率问题的多种解法 下面的这道题是衡水高考调研上的一道思考题，很多学生问起了这道题，说明很多学生在解决圆锥曲线离心率问题上没有明确的目标和灵活的思维方法，对于离心率的取值范围没有清晰的思路，下面就这道题我来谈谈个人的一些解法.‎ 一、提出问题 题面设置：设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使，求离心率的取值范围.‎ 二、解决问题 处理办法一：巧用图形的几何特性.因为，容易知点的轨迹是以为半径的圆，圆与椭圆必有交点，所以圆的半径必然大于或等于椭圆的短半轴，即，即可解得的范围.‎ 解：由，知点在以为直径的圆上.‎ 又点在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 故有 ‎ ‎ 处理办法二：利用基本不等式..‎ 解：由椭圆定义，有 两边平方得 由基本不等式 又在中，由勾股定理得 所以，即 解得.‎ ‎ .‎ 处理方法三：利用曲线中变量的范围，在椭圆中，‎ 解得，再根据题目中的限制条件用表示，即，然后代入不等式，结合整理得关于的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.‎ 解：设，又知，则 ‎，‎ 因为，则，即 所以 ‎ 联立方程，消，解得 ‎ 又因为，故，①‎ ‎ 解不等式①，结合椭圆的离心率范围为，可得.‎ 处理办法四：根据二次方程实根存在的条件.如果，则实数为二次方程 的两根，由椭圆的定义，又由为直角三角形，解得，则是方程的两根，即二次方程有实数根，故可得关于的齐次不等式，解得的范围.‎ 解：由椭圆定义知:①‎ 将①式平方得：‎ 又 ，则 ‎ 解得②‎ 由①②可知，‎ 所以，‎ 又椭圆的离心率范围为，可得.‎ 处理办法五：利用焦半径.椭圆的焦半径，，其中为点的横坐标.在中，由勾股定理构造关于的方程，解得，然后根据解得的范围.‎ 解：在椭圆中，由焦半径公式 ‎ ，，‎ ‎ 又在中，由勾股定理得,即 ‎ ，解得 ‎ ‎ ‎ ‎ 处理办法六：利用三角函数有界性.正弦函数：，‎ 解：设由正弦定理得 ‎，等比定理，则，即 又因为，则 所以，离心率的范围为.‎ 三、方法总结与结束语 上述解决办法按照难易程度排序，处理办法一、二和四简单明了，计算量不大，但是技巧性较强，学生不容易想到，处理办法三和五是常规方法，学生容易想到这样的思路，在教学中大部分老师讲解的应该也是这种方法，因为这是解决该类问题的通法，但是该方法对学生的计算要求较高，方法五种，焦半径的应用，学生可能记不住焦半径公式。对于方法六，用了两个不常用的公式，其一：等比定理，虽然在正弦定理部分知识有所体现，但是在教学中教师没有重点去强调其定理，学生可能也就没有注意到，所以很难想到。对于和差化积就更不用说了，考纲就没有要求记忆和差化积公式，所以学生根本就用不到这个公式。如此分析下来，以上解法学生必须会的是：方法三（通法，为了培养学生的计算能力），其中方法一、二和四学生必须知道其根本的原理，熟练掌握其技巧和数学思想，要学会将复杂问题简单化，将抽象问题具体化，将零乱的问题概念化。最终在解题中将会取到事半功倍的效果.‎