【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第二讲　三角恒等变换学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第二讲　三角恒等变换学案

第二讲　三角恒等变换 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[改编题]下列说法错误的是(　　)‎ A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的 B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立 C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ‎1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1 - tan αtan β),且对任意角α,β都成立 D.存在实数α,使tan 2α=2tan α ‎2.[2015新课标全国Ⅰ,2,5分][理]sin 20°cos 10° - cos 160°sin 10°=(　　)‎ A. - ‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C. - ‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎3.[2018全国卷Ⅲ,4,5分][理]若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=(　　)‎ A.‎8‎‎9‎ B.‎7‎‎9‎ C. - ‎ 7‎‎9‎ D. - ‎‎8‎‎9‎ ‎4.[2019全国卷Ⅱ,10,5分][理]已知α∈(0,π‎2‎),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎5‎‎5‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎5.[2020百校联考]tan 67.5° - tan 22.5°=　　　　. ‎ ‎6.[2018全国卷Ⅱ,15,5分][理]已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. ‎ ‎7.[2018全国卷Ⅱ,15,5分]已知tan(α - ‎5π‎4‎)=‎1‎‎5‎,则tan α=　　　　. ‎ ‎8.[2019江苏,13,5分]已知tanαtan(α+π‎4‎)‎= - ‎2‎‎3‎,则sin(2α+π‎4‎)的值是　　　　. ‎ 考法1三角函数式的化简求值 ‎1化简:‎2cos‎2‎α-1‎‎2tan(π‎4‎-- α)sin‎2‎(π‎4‎+α)‎=　　　　. ‎ 思路一　运用二倍角公式及诱导公式→化简即可 思路二　运用两角和(差)的正弦(切)公式→切化弦→化简即可 解法一　原式=‎cos2α‎2tan(π‎4‎-α)cos‎2‎(π‎4‎-α)‎ ‎=‎cos2α‎2sin(π‎4‎-α)cos(π‎4‎-α)‎ ‎=‎cos2αsin(π‎2‎-2α)‎ ‎=‎cos2αcos2α ‎=1.‎ 解法二　原式=‎cos‎2‎α-sin‎2‎α‎2×‎1-tanα‎1+tanα(sinπ‎4‎cosα+cosπ‎4‎sinα‎)‎‎2‎ ‎=‎‎(cos‎2‎α-sin‎2‎α)(1+tanα)‎‎(1-tanα)(cosα+sinα‎)‎‎2‎ ‎=‎‎(cos‎2‎α-sin‎2‎α)(1+sinαcosα)‎‎(1-sinαcosα)(cosα+sinα‎)‎‎2‎ ‎=1.‎ 解法一运用了“同化原则”,先根据角(π‎4‎ - α)与角(π‎4‎+α)互余的关系,将sin(π‎4‎+α)化成cos(π‎4‎ - α),能减少角,再采用切化弦法,减少函数名,最后分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,很容易得出结果;而解法二是直接运用公式,运算量大,且易出错.‎ ‎1.已知α∈(0,π),化简:‎(1+sinα+cosα)·(cosα‎2‎-sinα‎2‎)‎‎2+2cosα=　　　　. ‎ 考法2三角函数的求值 命题角度1　给角求值 ‎2(1)[2019湖南四校联考]计算sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ B. - ‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎(2)[2019安徽黄山三检](1+tan 20°)(1+tan 25°)=　　　　. ‎ ‎(1)利用诱导公式、两角和的余弦公式求解.(2)观察式子中所涉及的角之间的关系,即20°+25°=45°,借助 tan45°=tan(20°+25°)=1,利用两角和的正切公式及其变形求解即可;也可利用同角三角函数的基本关系及辅助角公式进行求解.‎ ‎(1)sin133°cos197°+cos47°cos73°= - sin47°·cos17°+cos47°cos73°= - sin47°sin73°+‎ cos47°cos73°=cos(47°+73°)=cos120°= - ‎1‎‎2‎.故选B.‎ ‎(2)解法一　(配凑法)由题意知,(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°.‎ 因为tan45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan25°‎‎1-tan20°tan25°‎=1,(借助两角和的正切公式进行配凑)‎ 所以tan20°+tan25°=1 - tan20°tan25°.‎ 所以(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20°·tan25°=2.‎ 解法二　(切化弦)原式=(1+sin20°‎cos20°‎)(1+sin25°‎cos25°‎)‎ ‎=‎‎(cos20°+sin20°)(cos25°+sin25°)‎cos20°·cos25°‎ ‎=‎‎2‎cos25°·‎2‎cos20°‎cos20°·cos25°‎ ‎=2.‎ ‎2.(tan 10° - ‎3‎)cos10°‎sin50°‎=　　　　. ‎ 命题角度2　给值求值 ‎3(1)已知α为锐角,β为第二象限角,且cos(α - β)=‎1‎‎2‎,sin(α+β)=‎1‎‎2‎,则sin(3α - β)=‎ A. - ‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C. - ‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎(2)[2019山东临沂模拟]已知sin α+cos α=‎2‎‎3‎‎3‎,则sin2(α - π‎4‎)=　　　　. ‎ ‎(1)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是3α - β=2α+(α - β),需先利用2α=(α+β)+(α - β)及α为锐角求出2α的值,进而求得结果;二是3α - β=2(α - β)+(α+β),需先利用倍角公式求出cos2(α - β)和sin2(α - β)的值,进而求得结果.‎ ‎(2)根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函数的基本关系求值即可;或将已知式两边同时平方,求出sin2α的值,再利用降幂公式求解即可.‎ ‎(1)解法一　因为α为锐角,β为第二象限角,cos(α - β)>0,sin(α+β)>0,‎ 所以α - β为第四象限角,α+β为第二象限角,(符号定象限)‎ 因此sin(α - β)= - ‎3‎‎2‎,cos(α+β)= - ‎3‎‎2‎,‎ 所以sin2α=sin(α - β+α+β)= - ‎3‎‎2‎×( - ‎3‎‎2‎)+‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=1.‎ 因为α为锐角,所以2α=π‎2‎,‎ 所以sin(3α - β)=sin(2α+α - β)=cos(α - β)=‎1‎‎2‎,故选B.(变换角求值)‎ 解法二　同解法一可得,sin(α - β)= - ‎3‎‎2‎,cos(α+β)= - ‎3‎‎2‎.‎ 所以cos2(α - β)=2cos2(α - β) - 1=2×(‎1‎‎2‎)2 - 1= - ‎1‎‎2‎,‎ sin2(α - β)=2sin(α - β)cos(α - β)=2×( - ‎3‎‎2‎)×‎1‎‎2‎= - ‎3‎‎2‎.‎ 所以sin(3α - β)‎ ‎=sin[2(α - β)+(α+β)]‎ ‎=sin2(α - β)·cos(α+β)+cos2(α - β)·sin(α+β)‎ ‎=( - ‎3‎‎2‎)×( - ‎3‎‎2‎)+( - ‎1‎‎2‎)×‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎.故选B.(变换角求值)‎ ‎(2)解法一　由已知可得sinα+cosα=‎2‎(‎2‎‎2‎sinα+‎2‎‎2‎cosα)=‎2‎cos(α - π‎4‎)=‎2‎‎3‎‎3‎,(逆用两角差的余弦公式)‎ 所以cos(α - π‎4‎)=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎6‎‎3‎.‎ 故sin2(α - π‎4‎)=1 - cos2(α - π‎4‎)=1 - (‎6‎‎3‎)2=‎1‎‎3‎.‎ 解法二　将sinα+cosα=‎2‎‎3‎‎3‎两边同时平方,得sin2α+2sinαcosα+cos2α=‎4‎‎3‎,即sin2α=‎1‎‎3‎.‎ 所以sin2(α - π‎4‎)=‎1-cos(2α-π‎2‎)‎‎2‎‎=‎1-sin2α‎2‎=‎1-‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎3.(1)若α∈(0,π),且‎3‎sin α+2cos α=2,则tan α‎2‎=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎(2)已知cos(π‎4‎+x)=‎3‎‎5‎,若‎17‎‎12‎π0,所以0<2α<π‎2‎,‎ 又β为锐角,所以 - π‎2‎<2α - β<π‎2‎,(判断角的取值范围)‎ 又sin(2α - β)=‎3‎‎2‎,所以2α - β=π‎3‎.‎ 解法二　同解法一得,cosβ=‎13‎‎14‎,sinα=‎21‎‎7‎.‎ 因为α,β为锐角,所以α - β∈( - π‎2‎,π‎2‎),‎ 所以sin(α - β)=sinαcosβ - cosαsinβ=‎21‎‎7‎×‎13‎‎14‎‎-‎‎2‎‎7‎‎7‎×‎3‎‎3‎‎14‎‎=‎‎21‎‎14‎.(求两角差的正弦值)‎ 所以sin(α - β)>0,故α - β∈(0,π‎2‎),(判断两角差的取值范围)‎ 故cos(α - β)=‎1-sin‎2‎(α-β)‎‎=‎1-(‎‎21‎‎14‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎7‎‎14‎,(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)‎ 所以cos(2α - β)=cos[α+(α - β)]=cosαcos(α - β) - sinα·sin(α - β)=‎2‎‎7‎‎7‎×‎5‎‎7‎‎14‎‎-‎‎21‎‎7‎×‎21‎‎14‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 又α∈(0,π‎2‎),所以2α - β=α+(α - β)∈(0,π),‎ 所以2α - β=π‎3‎.‎ 解后反思 利用三角函数值求角时,要尽量把角的取值范围转化到某个函数的单调区间内,这样就不会产生多解.如解法一中,因为 ‎2α - β∈( - π‎2‎,π‎2‎),显然正弦函数在该区间内单调递增,所以一个正弦值只对应一个角.若求该角的余弦值,则一个余弦值对应两个角,容易产生多解.解法二中,2α - β∈(0,π),余弦函数在该区间内单调递减,所以一个余弦值只对应一个角.此外,在求解过程中还需要利用三角函数的符号不断缩小角的范围,如解法一中利用cos2α的符号,得2α∈(0,π‎2‎);解法二中利用sin(α - β)的符号,得α - β∈(0,π‎2‎).‎ ‎5.(1)[2019山西吕梁模拟]已知α∈(0,π‎2‎),β∈(0,π‎2‎),tan α=cos2β‎1-sin2β,则(　　)‎ A.α+β=π‎2‎ B.α - β=π‎4‎ C.α+β=π‎4‎ D.α+2β=‎π‎2‎ ‎(2)[2019黑龙江大庆二模]已知α,β为锐角,且(1 - ‎3‎tan α)·(1 - ‎3‎tan β)=4,则α+β=　　　　. ‎ 易错不会缩小角的范围而致误 ‎5[2019安徽六安二模]若sin 2α=‎5‎‎5‎,sin(β - α)=‎10‎‎10‎,且α∈[π‎4‎,π],β∈[π,‎3π‎2‎],则α+β的值是　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎7π‎4‎ B.‎9π‎4‎ C.‎5π‎4‎或‎7π‎4‎ D.‎5π‎4‎或‎9π‎4‎ 找出已知角与所求角之间的关系:α+β=2α+(β - α)→求出角2α,α+β,β - α的范围→利用两角和的余弦公式得出cos(α+β)的值→根据特殊角的三角函数值得出角α+β的值 因为α∈[π‎4‎,π],所以2α∈[π‎2‎,2π],‎ 又sin2α=‎5‎‎5‎,所以2α∈(π‎2‎,π),α∈(π‎4‎,π‎2‎).‎ 所以cos2α= - ‎1-sin‎2‎2α= - ‎2‎‎5‎‎5‎.(根据sin 2α>0缩小角2α,α的范围)‎ 因为β∈[π,‎3π‎2‎],‎ 所以α+β∈(‎5‎‎4‎π,2π),β - α∈(π‎2‎,‎5π‎4‎).‎ 又sin(β - α)=‎10‎‎10‎>0,所以β - α∈(π‎2‎,π),(根据sin(β - α)>0缩小角β - α的范围)‎ 所以cos(β - α)= - ‎1-sin‎2‎(β-α)‎= - ‎3‎‎10‎‎10‎.‎ 所以cos(α+β)=cos[2α+(β - α)]‎ ‎=cos2αcos(β - α) - sin2αsin(β - α)(利用两角和的余弦公式化简)‎ ‎= - ‎2‎‎5‎‎5‎×( - ‎3‎‎10‎‎10‎) - ‎5‎‎5‎×‎‎10‎‎10‎ ‎=‎2‎‎2‎.‎ 又α+β∈(‎5π‎4‎,2π),所以α+β=‎7π‎4‎.‎ A 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 找出已知角与所求角之间的关系,根据不等式的性质推出角的范围,由三角函数值的正负缩小角的范围.‎ 二 数学运算 同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的三角函数值的求解.‎ 一 易错警示 本题的易错点是不能根据题设条件缩小角2α,α及β - α的取值范围,导致求cos(α+β)时出现两解而造成失误.利用三角函数值求角时,要充分结合条件,对角的范围精准定位后,再选取合适的三角函数进行求值,最后确定角的具体取值.‎ ‎1.C　对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+π‎2‎(k∈Z)时,公式才成立,故C错误,选C.‎ ‎2.D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=‎1‎‎2‎.故选D.‎ ‎3.B　cos 2α=1 - 2sin2α=1 - 2×(‎1‎‎3‎)2=‎7‎‎9‎.故选B.‎ ‎4.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α.‎ 因为α∈(0,π‎2‎),所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即5sin2α=1,即sin2α=‎1‎‎5‎.‎ 又sin α>0,所以sin α=‎5‎‎5‎.故选B.‎ ‎5.2　由tan α - tan β=tan(α - β)(1+tan αtan β)得tan 67.5° - tan 22.5°=tan 45°(1+tan 67.5°tan 22.5°)=1×2=2.‎ ‎6. - ‎1‎‎2‎　∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,‎ ‎∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1　①,‎ cos2α+sin2β+2cos αsin β=0　②,‎ ‎①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)= - ‎1‎‎2‎.‎ ‎7.‎3‎‎2‎　解法一　因为tan(α - ‎5π‎4‎)=‎1‎‎5‎,所以tanα - tan‎5π‎4‎‎1+tanαtan‎5π‎4‎‎=‎‎1‎‎5‎,即tanα - 1‎‎1+tanα‎=‎‎1‎‎5‎,解得tan α=‎3‎‎2‎.‎ 解法二　因为tan(α - ‎5π‎4‎)=‎1‎‎5‎,所以tan α=tan[(α - ‎5π‎4‎)+‎5π‎4‎]=tan(α - ‎5π‎4‎)+tan‎5π‎4‎‎1 - tan(α - ‎5π‎4‎)tan‎5π‎4‎‎=‎1‎‎5‎‎+1‎‎1 - ‎1‎‎5‎×1‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎8.‎2‎‎10‎　解法一　tanαtanα+1‎‎1 - tanα‎=‎tanα(1 - tanα)‎tanα+1‎= - ‎2‎‎3‎,解得tan α=2或tan α= - ‎1‎‎3‎.‎ 当tan α=2时,sin 2α=‎2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎2tanαtan‎2‎α+1‎=‎‎4‎‎5‎,‎ cos 2α=cos‎2‎α - sin‎2‎αsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎‎1 - tan‎2‎αtan‎2‎α+1‎= - ‎3‎‎5‎,此时sin 2α+cos 2α=‎1‎‎5‎.‎ 同理当tan α= - ‎1‎‎3‎时,sin 2α= - ‎3‎‎5‎,cos 2α=‎4‎‎5‎,此时sin 2α+cos 2α=‎1‎‎5‎.‎ 所以sin(2α+π‎4‎)=‎2‎‎2‎(sin 2α+cos 2α)=‎2‎‎10‎.‎ 解法二　tanαtan(α+π‎4‎)‎‎=‎sinαcos(α+π‎4‎)‎cosαsin(α+π‎4‎)‎= - ‎2‎‎3‎,则sin αcos(α+π‎4‎)= - ‎2‎‎3‎cos αsin(α+π‎4‎),又‎2‎‎2‎=sin[(α+π‎4‎) - α]=sin(α+π‎4‎)cos α - cos(α+π‎4‎)sin α=‎5‎‎3‎sin(α+π‎4‎)cos α,则sin(α+π‎4‎)cos α=‎3‎‎2‎‎10‎,则sin(2α+π‎4‎)=sin[(α+π‎4‎)+α]=sin(α+π‎4‎)cos α+cos(α+π‎4‎)sin α=‎1‎‎3‎sin(α+π‎4‎)cos α=‎1‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎‎10‎=‎‎2‎‎10‎.‎ ‎1.cos α　原式=‎(2cos‎2‎α‎2‎+2sinα‎2‎cosα‎2‎)·(cosα‎2‎ - sinα‎2‎)‎‎4cos‎2‎α‎2‎.‎ 因为α∈(0,π),所以cosα‎2‎>0,‎ 所以原式=‎(2cos‎2‎α‎2‎+2sinα‎2‎cosα‎2‎)·(cosα‎2‎ - sinα‎2‎)‎‎2cosα‎2‎=(cosα‎2‎+sinα‎2‎)·(cosα‎2‎ - sinα‎2‎)=cos2α‎2‎ - sin2α‎2‎=cos α.‎ ‎2. - 2　解法一　原式=(tan 10° - tan 60°)‎cos10°‎sin50°‎ ‎=(sin10°‎cos10°‎‎ - ‎sin60°‎cos60°‎)‎cos10°‎sin50°‎ ‎=sin( - 50°)‎cos10°cos60°‎·‎cos10°‎sin50°‎ ‎= - 2.‎ 解法二　原式=(sin10°‎cos10°‎‎ - ‎‎3‎)‎cos10°‎sin50°‎ ‎=‎sin10° - ‎3‎cos10°‎cos10°‎‎×‎cos10°‎sin50°‎ ‎=‎‎2(‎1‎‎2‎sin10° - ‎3‎‎2‎cos10°)‎sin50°‎ ‎=‎‎2sin(10° - 60°)‎sin50°‎ ‎= - 2.‎ ‎【审题指导】　注意到10°,50°与特殊角60°的关系:10°+50°=60°.同时‎3‎=tan60°,考虑利用特殊值化切为弦.也可直接将tan10°化为sin10°‎cos10°‎,然后通分变为sin10° - ‎3‎cos10°‎cos10°‎,再考虑用引入辅助角的方法求解.‎ ‎3.(1)A　解法一　由已知得cos α=1 - ‎3‎‎2‎sin α.‎ 代入sin2α+cos2α=1,得sin2α+(1 - ‎3‎‎2‎sin α)2=1,‎ 整理得‎7‎‎4‎sin2α - ‎3‎sin α=0,解得sin α=0或sin α=‎4‎‎3‎‎7‎.‎ 因为α∈(0,π),所以sin α=‎4‎‎3‎‎7‎,故cos α=1 - ‎3‎‎2‎‎×‎4‎‎3‎‎7‎=‎‎1‎‎7‎.‎ 所以tan α‎2‎‎=sinα‎1+cosα=‎4‎‎3‎‎7‎‎1+‎‎1‎‎7‎=‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二　因为sin α=2sin α‎2‎·cos α‎2‎,cos α=1 - 2sin2α‎2‎,‎ 所以‎3‎sin α+2cos α=2可以化为2 ‎3‎sin α‎2‎·cos α‎2‎+2(1 - 2sin2α‎2‎)=2,化简可得2‎3‎sin α‎2‎·cos α‎2‎=4sin2α‎2‎.　①‎ 因为α∈(0,π),所以α‎2‎∈(0,π‎2‎),所以sin α‎2‎≠0.‎ 所以①式可化为2‎3‎cos α‎2‎=4sin α‎2‎,即tan α‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2) - ‎28‎‎75‎　解法一　由‎17‎‎12‎π0,所以α - 2β∈( - π‎2‎,π‎2‎).‎ 又cos(α - 2β)=sin[(α - 2β)+π‎2‎],且α - 2β+π‎2‎∈(0,π),α∈(0,π‎2‎),‎ 所以α - 2β+π‎2‎=α或α - 2β+π‎2‎=π - α.‎ 当α - 2β+π‎2‎=α时,β=π‎4‎,此时1 - sin 2β=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;‎ 当α - 2β+π‎2‎=π - α时,α - β=π‎4‎.故选B.‎ 解法二　tan α=cos2β‎1 - sin2β‎=‎cos‎2‎β - sin‎2‎βcos‎2‎β+sin‎2‎β - 2sinβcosβ= ‎(cosβ+sinβ)(cosβ - sinβ)‎‎(cosβ - sinβ)‎‎2‎‎=cosβ+sinβcosβ - sinβ=‎‎1+tanβ‎1 - tanβ=tan(π‎4‎+β).‎ 因为α∈(0,π‎2‎),β∈(0,π‎2‎),‎ 所以α=π‎4‎+β,即α - β=π‎4‎.故选B.‎ 解法三　不妨令β=π‎12‎,则由已知等式可求得tan α=‎3‎‎2‎‎1 - ‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎,又α为锐角,所以α=π‎3‎.则α+β=π‎3‎‎+π‎12‎=‎‎5π‎12‎,故可排除A,C.‎ 当β→ 0时,sin 2β→ 0,cos 2β→1,所以tan α=cos2β‎1 - sin2β→1,因为α∈(0,π‎2‎),所以α→π‎4‎,所以α+2β→π‎4‎,故可排除D.‎ 综上可知,选B.‎ ‎【解题策略】　证明关系式抓两个统一、两个关系 ‎(1)统一角:即根据已知和所证,统一角的表示,从角的关系找准思路.‎ ‎(2)统一函数:即统一函数名称,一般是切化弦,从而可得到所证.‎ ‎(3)抓关系:即准确把握已知和所求的关系,已知之间的关系,明确化简的依据与方向.‎ ‎(2)‎2π‎3‎　将(1 - ‎3‎tan α)(1 - ‎3‎tan β)=4展开,得 - ‎3‎(tan α+tan β)=3(1 - tan α·tan β),即tanα+tanβ‎1 - tanαtanβ=tan(α+β)= - ‎3‎,由于α,β为锐角,所以0<α+β<π,故α+β=‎2π‎3‎.‎