【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-7计数原理与古典概率学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-7计数原理与古典概率学案

‎【考情动态】‎ 考 点 最新考纲 ‎5年统计 ‎1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.‎ ‎2013•浙江理14;‎ ‎2014•浙江理.14; ‎ ‎2017•浙江16.‎ ‎2.排列与组合 :学, , ]‎ 理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.‎ ‎2013•浙江理14;‎ ‎2014•浙江理.14; ‎ ‎2017•浙江16.‎ ‎3.二项式定理 ‎1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.‎ ‎2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.‎ ‎2013•浙江理11;‎ ‎2014•浙江理5; ‎ ‎2017•浙江13.‎ ‎4.随机事件的概率与古典概型 ‎1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.‎ ‎2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.‎ ‎2013•浙江理12;‎ ‎2014•浙江文14. ‎ ‎【热点重温】‎ 热点一 计数原理与排列与组合 ‎ ‎【典例1】【2016全国甲理5改编】如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 .‎ A.24 B. C.12 D.9‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法．‎ ‎【对点训练】春节期间已知，，则 的不同取值个数为_________.‎ ‎【答案】54‎ ‎【典例2】【2017课标II改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 .‎ A．12种 B．18种 C．24种 D． ‎ ‎【答案】36种 ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法.‎ ‎【对点训练】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）‎ A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 ‎【答案】C ‎【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C. ‎ ‎【典例3】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有 种方法，则满足题意的选法有：种．‎ ‎【对点训练】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D 点睛：3.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．‎ ‎6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．‎ ‎【考向预测】1.两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查．‎ ‎2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与概率相结合进行考查．‎ 热点二 二项式定理 ‎【典例4】【2017课标1，理6】展开式中的系数为 .‎ ‎【答案】30 ‎ ‎【解析】[‎ 因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为. ‎ ‎【对点训练】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】若的展开式中常数项为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. -2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得， ‎ 故选D．‎ ‎【典例5】【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ ‎【对点训练】设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则________.[ :Z|xx|k.Com]‎ ‎【答案】4‎ ‎【典例6】【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D[ :学 ]‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，因为，两边同时取导数，可得，令，得，令，得，又 ‎ ，故选D．‎ ‎【对点训练】【2017浙江，13】已知多项式32=，则=________，=________．‎ ‎【答案】16，4‎ ‎【解析】‎ ‎[ ‎ 点睛：1.在应用通项公式时，要注意以下几点：‎ ‎①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；‎ ‎②是展开式中的第项，而不是第项；‎ ‎③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；‎ ‎④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．‎ ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．‎ ‎2. 二项定理问题的处理方法和技巧:‎ ‎⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．‎ ‎⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：‎ ‎①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；‎ ‎②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；[ :学_ _ ]‎ ‎③证明不等式时，应注意运用放缩法.‎ ‎⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.‎ ‎⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.‎ ‎⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.‎ ‎【考向预测】二项式定理中热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等．‎ 热点三 古典概型 ‎【典例7】【2017天津改编】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为. ‎ ‎【对点训练】【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【典例8】【2017课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【对点训练】【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起 ; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起 的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：古典概型中基本事件的探求方法 ‎(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．[ :学 ]‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如 (1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．‎ ‎(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．‎ ‎【考向预测】概率是高考热点之一，特别是古典概型，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.‎