【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-7计数原理与古典概率学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-7计数原理与古典概率学案

‎【考情动态】‎ 考 点 最新考纲 ‎5年统计 ‎1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,会解决简单的计数问题.‎ ‎2013•浙江理14;‎ ‎2014•浙江理.14; ‎ ‎2017•浙江16.‎ ‎2.排列与组合 :学, , ]‎ 理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题.‎ ‎2013•浙江理14;‎ ‎2014•浙江理.14; ‎ ‎2017•浙江16.‎ ‎3.二项式定理 ‎1.了解“杨辉三角”的特征,掌握二项式系数的性质及其简单应用.‎ ‎2.掌握二项式定理,会用二项式定理解决有关的简单问题.‎ ‎2013•浙江理11;‎ ‎2014•浙江理5; ‎ ‎2017•浙江13.‎ ‎4.随机事件的概率与古典概型 ‎1.掌握事件、事件的关系与运算,掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.‎ ‎2.了解概率与频率概念,理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率.‎ ‎2013•浙江理12;‎ ‎2014•浙江文14. ‎ ‎【热点重温】‎ 热点一 计数原理与排列与组合 ‎ ‎【典例1】【2016全国甲理5改编】如图所示,小明从街道的处出发,先到处与小红会合,再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 .‎ A.24 B. C.12 D.9‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】从的最短路径有种走法,从的最短路径有种走法,由乘法原理知,共种走法.‎ ‎【对点训练】春节期间已知,,则 的不同取值个数为_________.‎ ‎【答案】54‎ ‎【典例2】【2017课标II改编】安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 .‎ A.12种 B.18种 C.24种 D. ‎ ‎【答案】36种 ‎【解析】由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有种方法,然后进行全排列即可,由乘法原理,不同的安排方式共有种方法.‎ ‎【对点训练】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且A,B不选修同一门课,则不同的选法有( )‎ A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 ‎【答案】C ‎【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法,减去在同一组还有5种选法,再选3门课程有种选法,利用分步计数原理有种不同选法.选C. ‎ ‎【典例3】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______中不同的选法.(用数字作答)‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】由题意可得:总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有 种方法,则满足题意的选法有:种.‎ ‎【对点训练】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人,分派到甲、乙、丙三地参加义工活动,其中甲地需要选派2人且至少有1名女生,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法的种数是 ( )‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D 点睛:3.排列、组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素(特殊位置)优先安排法;②合理分类与准确分步;③排列、组合混合问题先选后排法;④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题插空法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排问题一排法;⑧“小集团”问题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正难则反、等价转化法.‎ ‎6. 在计算排列组合问题时,可能会遇到“分组”问题,要特别注意是平均分组还是不平均分组.可从排列与组合的关系出发,用类比的方法去理解分组问题,比如将4个元素分为两组,若一组一个、一组三个共有种不同的分法;而平均分为两组则有种不同的分法.‎ ‎【考向预测】1.两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法,同时又能独立地解决一些简单的计数问题,通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查.‎ ‎2.排列组合问题往往以实际问题为背景,考查排列数、组合数,同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.除了以选择、填空的形式考查,也往往在解答题中与概率相结合进行考查.‎ 热点二 二项式定理 ‎【典例4】【2017课标1,理6】展开式中的系数为 .‎ ‎【答案】30 ‎ ‎【解析】[‎ 因为,则展开式中含的项为,展开式中含的项为,故前系数为. ‎ ‎【对点训练】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】若的展开式中常数项为,则实数的值为( )‎ A. B. C. -2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的展开式通项为,令,则有,∴,即,解得, ‎ 故选D.‎ ‎【典例5】【2017山东,理11】已知的展开式中含有项的系数是,则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式,令得:,解得.‎ ‎【对点训练】设的展开式的各项系数之和为,二项式系数之和为,若,则________.[ :Z|xx|k.Com]‎ ‎【答案】4‎ ‎【典例6】【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】已知,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D[ :学 ]‎ ‎【解析】试题分析:由题意得,因为,两边同时取导数,可得,令,得,令,得,又 ‎ ,故选D.‎ ‎【对点训练】【2017浙江,13】已知多项式32=,则=________,=________.‎ ‎【答案】16,4‎ ‎【解析】‎ ‎[ ‎ 点睛:1.在应用通项公式时,要注意以下几点:‎ ‎①它表示二项展开式的任意项,只要与确定,该项就随之确定;‎ ‎②是展开式中的第项,而不是第项;‎ ‎③公式中,,的指数和为且,不能随便颠倒位置;‎ ‎④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题.‎ ⑤在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法.‎ ‎2. 二项定理问题的处理方法和技巧:‎ ‎⑴运用二项式定理一定要牢记通项,注意与虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分.前者只与和有关,恒为正,后者还与,有关,可正可负.‎ ‎⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点:‎ ‎①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1;‎ ‎②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法;[ :学_ _ ]‎ ‎③证明不等式时,应注意运用放缩法.‎ ‎⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求,再求,有时还需先求,再求,才能求出.‎ ‎⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.‎ ‎⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.‎ ‎【考向预测】二项式定理中热点是通项公式的应用,利用通项公式求特定项或特定的项的系数,或已知某项,求指数n,求参数的值等.‎ 热点三 古典概型 ‎【典例7】【2017天津改编】有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】选取两支彩笔的方法有种,含有红色彩笔的选法为种,由古典概型公式,满足题意的概率值为. ‎ ‎【对点训练】【2017山东,理8】从分别标有,,,的张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【典例8】【2017课标II,文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【对点训练】【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起 ; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起 的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛:古典概型中基本事件的探求方法 ‎(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的.[ :学 ]‎ ‎(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如 (1,2)与(2,1)不同.有时也可以看成是无序的,如(1,2)(2,1)相同.‎ ‎(3)排列组合法:在求一些较复杂的基本事件的个数时,可利用排列或组合的知识.‎ ‎【考向预测】概率是高考热点之一,特别是古典概型,以互斥事件、对立事件的概率为主.客观题与大题都有可能考查,在大题中更加注重实际背景,考查分析、推理能力.‎
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