2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 1．若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】 作出约束条件 的可行域如图： 则满足条件的区域为三角形 ，平移直线 可知经过点 时，目标 函数 取最大值，为 . 故选 D. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚 线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最 ,x y 2 { 1 1 y x x y y ≤ + ≤ ≥ − 2x y+ 5 2 − 5 2 5 3 2 1 1 y x x y y ≤  + ≤  ≥ − ABC 2z x y= + 1 2,3 3C      2z x y= + 5 3 先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 2．设 满足约束条件 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 作可行域，则直线 过点 A（3，3）时 取最大值 9，过点 B 时 取最 小值 ，即值域为 ，选 D. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一， 准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线 的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的 端点或边界上取得. 3．不等式 表示的平面区域是 A． B． C． ,x y 3 2 6 0, 3, , x y x y x + − ≥  ≤  ≤ 2z x y= + 9 ,92      9 ,92  −   18 9,5 2      18 ,95      2z x y= + z 6 6( , )5 5 z 18 5 18 ,95      2 0x y− ≤ D． 【答案】B 【解析】 【分析】 取测试点 ，排除 A、C．又边界应为实线，故排除 D 得解. 【详解】 取测试点 ，排除 A、C．又边界应为实线，故排除 D．故选 B． 【点睛】 (1)本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域，意在考查学生对这些知识的掌握水 平和分析推理能力.(2) 作二元一次不等式 表示的平面区域的方法,直线 定界：画直线 （注意实线和虚线之分，如果二元一次不等式有等号， 则画成实线，否则画成虚线）→特殊点定域：取特殊点 代入二元一次不等式 ，如果满足 ，则点 所在的平面区域就是 表示的平面区域，否则是点 所在的平面区域的另一侧的平面 区域. 4．若 ，则下列不等式不恒能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用不等式的基本性质与作差法可判断出各选项中的不等式能否恒成立. ( )1,0 ( )1,0 0Ax By c+ + > 0Ax By c+ + = 0 0( , )P x y 0Ax By c+ + > 0Ax By c+ + > 0 0( , )P x y 0Ax By c+ + > 0 0( , )P x y 0a b< < 1 1 a b > 1 1 a b a >− a b> 2 2a b> 【详解】 ， ，则 ， ，A 选项中的不等式能恒成立； ， ， ，则 ， ，B 选项中的不等式不成立； ， ，即 ，且有 ，C、D 选项中不等式恒成立. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用不等式的基本性质和作差法判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础 题. 5．已知集合 ,那么 =（ ） A．{2,4} B．{0,2,4} C．{1,2,3,4,5} D．{2,4,6} 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式化简集合 的表示,用列举法表示集合 ,最后根据集合交集运算的定义求出 . 【详解】 因为 , 所以 . 故选：B 0a b< < 0a b∴− > − > 1 1 a b − < − 1 1 a b ∴ > ( ) ( ) ( ) 1 1 a a b b a b a a a b a a b − −− = =− − − 0a b< < 0a b∴ − < ( ) 0b a a b <− 1 1 a b a ∴ <− 0a b< < 0a b∴− > − > a b> 2 2a b> { }|3 16 0 , { | 2 , }A x x B x x k k N= − < = = ∈ A B A B A B { } { }16|3 16 0 = | , { | 2 , }= 0 2 4 6 8103A x x x x B x x k k N = − < < = = ∈   ，，，，，， { }= 0 2 4A B∩ ，， 【点睛】 本题考查了集合交集运算的定义,属于基础题. 6．给出如下四个命题： ①命题 p：∃x0∈R，x +x0﹣1＜0，则非 p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0； ②命题“若 x≥2 且 y≥3，则 x+y≥5”的否命题为“若 x＜2 且 y＜3，则 x+y＜5”； ③四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc； ④在△ABC 中，“A＞45°”是“sinA＞ ”的充分不必要条件 其中正确的命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 试题分析：①根据含有量词的命题的否定进行判断． ②根据否命题的定义进行判断， ③由等比数列的性质，实数 a、b、c、d 依次成等比数列⇒ad=bc，反之，举出反例，判 断即可；进而可判断其正确与否； ④根据充分不必要条件进行判断． 解：①命题 p：∃x0∈R，x +x0﹣1＜0，则非 p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；正确，故①正确， ②命题“若 x≥2 且 y≥3，则 x+y≥5”的否命题为“若 x＜2 或 y＜3，则 x+y＜5”；故②错误， ③由等比数列的性质，实数 a、b、c、d 依次成等比数列⇒ad=bc， 反之，若 a=0，c=0，ad=bc=0，但实数 a、b、c、d 不符合等比数列的定义， 故四个实数 a、b、c、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc，正确；故③正 确， ④若 A=150°＞45°，则 sinA= ＜ ，即“A＞45°”不是“ ”的充分条件，错误； 故④错误， 故选：B 考点：命题的真假判断与应用． 7．使得函数 有零点的一个区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【解析】 解：因为 f(x)是递增函数，并且 f(2)<0,f(3)>0，因此零点的一个区间是(2，3)　，选 C 8．对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，当 时，不等式 等价于 恒成立，满足题意；当 时，要使得不等式 恒成立，则满足 且 ，解 得 ，综上所述，所以要使得不等式 恒成立，实数 的取值 范围是 ，故选 B. 考点：不等式的恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到一元二次 不等式的求解、一元二次函数的图像与性质的应用等知识点的综合考查，着重考查了学 生的分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论的思想方法的应用，属于中档试题，解 x 012 <−− mxmx m )0,4(− ]0,4(− ]0,4[− )0,4[− 0m = 1 0− < 0m ≠ 012 <−− mxmx 0m < 2( ) 4 0m m∆ = − + < 4 0m− < < 012 <−− mxmx m ]0,4(− 答中常漏掉 的情形是解答的一个易错点. 二、填空题 9．已知二次函数 f（x）=ax2+bx+1 的导函数为 f′（x），f′（0）＞0，f（x）与 x 轴恰有 一个交点，则 的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 ，又 0, 0 又已知 与 轴恰有一个交点， 当且仅当 = ，即= + +1 2 +1=1+1=2, 时取等号， 的最小值为 2 故答案为 2 点睛：运用函数与 轴的交点个数求出 、 的关系，结合不等式的知识点来求出最值。 10．给出下列四个命题： 0m = (1) (0) f f ′ ( ) ( )´ 2 1 2f x ax bx f x ax b= + + ∴ = + ( )´ 0f b∴ = ( )´ 0f > b∴ > ( )f x x 2 2 4 0 4 bb a a∴ = − = ∴ = ( ) 2 1 1 14 bf a b b= + + = + + ( ) ( ) 2 11 14 10 4 b bf b f b b + + = = + +′ 4 b 1 b 4 b 1 b ≥ 1 4 b b × 2b = ( ) ( ) 1 0 f f ∴ ′ x a b ①若 ，且 则 ； ②设 ，命题“若 ”的否命题是真命题； ③函数 的一条对称轴是直线 ； ④ 若 定 义 在 上 的 函 数 是 奇 函 数 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 必 有 . 其中，所有正确命题的序号是 . 【答案】②④ 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 当 时 ， 不 一 定 大 于 零 ， ① 错 误 ； 命 题 若 的否命题若 ， 则 正 确 ， ② 对 ； 的 对 称 轴 ， 得 ， ， 不满足，③错；定义在 上的函数 是奇函数 满足 ，以 代换 得 ，④对；故答案为②④． 考点：命题的真假性的判断． 11．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取得最小值的 值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】 0x > 1x ≠ 1lg 2lgx x + ≥ ,x y R∈ 2 20, 0xy x y= + =则 πcos 2 3y x = −   R ( )y f x= x ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x+ + − − = 2 20, 0xy x y= + =则 πcos 2 3y x = −   R ( )y f x= ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x+ + − − = { }na n nS 3 6S = 5 15S = 2 5nS n + n 求出数列 的首项和公差，求出 的表达式，然后利用基本不等式求出 的 最小值并求出等号成立时 的值，于此可得出答案。 【详解】 设等等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ， 所以， ， 所以， ， 等号成立，当且仅当 时，等号成立，但 ， 由双勾函数的单调性可知，当 或 时， 取最小值， 当 时， ；当 时， ， ，因此，当 时， 取最小值，故答案为： 。 【点睛】 本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要 注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性 求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题。 12．若函数f(x) = |2x−1|−2a有两个零点，则a应满足的充要条件是 . 【答案】0 < a < 1 2 【解析】 函数f(x) = |2x−1|−2a有两个零点，即函数y = |2x−1|的图象与直线y = 2a有两个交点。函数 y = |2x−1|的图象如下： { }na nS 2 5nS n + n { }na d 3 1 5 1 3 3 6 5 10 15 S a d S a d = + =  = + = 1 1 1 a d =  = ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2n n n d n n n nS na n − − += + = + = 22 5 5 5 51 2 1 2 5 1nS n n n nn n n n + + += = + + ≥ ⋅ + = + 5n = 5 N ∗∉ 2n = 3n = 2 5nS n + 2n = 22 5 5 112 12 2 2 S + = + + = 3n = 32 5 5 173 12 3 3 S + = + + = 17 11 3 2 > 2n = 2 5nS n + 2 因为当x < 0时，y = 1−2x，此时函数图象不断接近直线y = 1但不相交，由此可得 0 < 2a < 1，解得0 < a < 1 2 13．若 为等比数列， ，且 ，则 的最小值为________ 【答案】4 【解析】 为等比数列， ， 公比 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号 的最小值为 14．已知 ,求实数 的值=______________． 【答案】-1 { }na 0na > 2018 2 2a = 2017 2019 1 2 a a + { }na 0na > ∴ 0q > 2018 2017 aa q = 2017 2018 1 2q qa a = = 2019 2018a qa= 2019 2018 1 1 2 a qa q = = 2017 2019 1 2 2 22 2 4 4qa a q ∴ + = + ≥ = 2 22q q = 2q = 2017 2019 1 2 a a ∴ + 4 { }2 1,0,x x∈ x 【解析】 或 或 ，若 ，则 ，此时集合中有 两个零，不符合元素的互异性，舍去. 若 ，则 ，当 时，不符 合元素的互异性，舍去. 当 时，集合为 ，符合题意. 当 时，则 或 ，由上述可知两者均不符合题意，都舍去,所以 ,故 答案为-1. 15．变量 x， y 满足 ，则 的最大值为___________ 【答案】9 【解析】 作出可行域， 当直线 经过点 D 时，z 取到最大值，即 z=9 故答案为：9 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即 数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直 线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况 下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. { }2 21, ,0 , 1x x x∈ ∴ = 2x x= 2 0x = 2 0x = 0x = 2 1x = 1x = ± 1x = 1x = − { }1,0, 1− 2x x= 0x = 1x = 1x = − 0 0 4 5 0 1 0 x y x y x y ≥  ≤ ≤ + − ≤  − − ≤ 2z x y= + y 2 2 x z= − + ( )1,4 16．已知函数 的图像过点 ，则此函数的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】 把点 坐标代入函数解析式，得参数 的值，然后变形后由基本不等式得最小值． 【详解】 ∵函数图象过点 ， ∴ ， ，又 ， ∴ ，当且仅当 ，即 时，取等号． ∴ 的最小值是 6． 故答案为 6． 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出应用基本不等式的条件，即积为定值， 和才有最小值，当然正数也要满足． 17．若 x，y 满足{ x ≥ 1 y ≥ −1 x + y ≥ 3 ，则z = x + 2y的最小值为____ 【答案】2 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的可行域，将z = x + 2y变形为y = −x 2 + z 2，移动直线y = −x 2 + z 2并结合图 形得到最优解，进而得到所求的最小值． ( ) ( 2)2 af x x xx = + >− (3,7)A A a (3,7)A (3) 3 73 2 af = + =− 4a = 2x > 4 4 4( ) ( 2) 2 2 ( 2) 2 62 2 2f x x x xx x x = + = − + + ≥ − ⋅ + =− − − 42 2x x − = − 4x = ( )f x 【详解】 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示． 由z = x + 2y可得y = −x 2 + z 2． 平移直线y = −x 2 + z 2，由图形得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线y = −x 2 + z 2在 y 轴上 的截距最小，此时 z 取得最小值． 由{x + y = 3 y = −1 解得{ x = 4 y = −1 ， 所以点 A 的坐标为(4,−1)． 所以zmin = 4 + 2 × (−1) = 2． 故答案为 2． 【点睛】 利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出 不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z的几何意义，根据题意判断是截距型、 斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求． 18．设集合 ，对 的任意非空子集 ，定义 中 的最大元素，当 取遍 的所有非空子集时，对应的 的和为 ，则① ； ② 。 【答案】① ；② ( 1)2 1nn − + *{1,2,3, , }( )M n n N= ∈ M A ( )f A A为 A M ( )f A nS 3S = nS = 17 【解析】 试题分析：根据题意，集合 的子集有 个，非空子集有 个，在所有非空子集 中，每个元素出现 次，所有 个子集含含 ，有 个子集不含 ，含 ， 有 个子集不含 ，含 ，有 个子集不含 ，而 含 ， 所 以 ， 利 用 错 位 相 减 法 求 得 ： ，所以 ， . 考点：1.集合的子集；2.数列求和. 三、解答题 19．已知 . （1）求证： ； （2）求证： . 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析： (1)利用题意结合均值不等式的结论证得 ，结合不等式 的性质即可证得结论； (2)由题意结合均值不等式的结论证明题中的表达式即可. 试题解析： 解：（1） , , M 2n 2 1n − 12n− 12n− n 22n− n 1n − 32n− , 1n n − 2,n −  12k− , 1, 2, 1n n n k− − − k ( )1 2 12 2 1 2 2 1n n nS n n− −= × + × − + + × + ( )1 2 1n nS n= − + 3 17S = ( )1 2 1n nS n= − + 0, 0a b> > 2 2a b a bb a + ≥ + 1 4 9 a b a b + ≥ + 2 2 2 , 2a bb a a bb a + ≥ + ≥ 0, 0a b> > 2 2 2 2 2 · 2 , 2 · 2a a b bb b a a a bb b a a ∴ + ≥ = + ≥ = ,即 .(另外，作差法亦可，左—右= 不等式成立) （2）要证 ，只需证 ，只需证 ， ，即 ， 原不等式成立. 20．已知 ，解关于 的不等式 . 【答案】当 时，解集为 ，当 时，解集为 ，当 时，解集为 ． 【解析】 试题分析： ，即不等式为一元二次不等式，所以有方程 的两 根为 ，对 ， ，及 分别进行讨论并求得解集即 可． 试题解析：①当 时， ，且原不等式可化为 ， 其解集为 ； ②当 时， ，且原不等式可化为 ，其解集为 ； ③当 时， ，且原不等式可化为 ， 其解集为 . 2 2 2 2a b a b a bb a ∴ + + + ≥ + 2 2a b a bb a + ≥ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 3 2 2 0,a b ab a b a a b b b a a b a b ab ab ab + − + − + − − += = ≥ ∴ 1 4 9 a b a b + ≥ + ( ) 1 4 9a b a b  + + ≥   41 4 9b a a b + + + ≥ 4 40, 0, 2 · 4b a b aa b a b a b > > ∴ + ≥ = 41 4 9b a a b + + + ≥ ∴ 0a < x ( )2 1 1 0ax a x+ − − > 1 0a− < < 11x x a  < < −    1a = − ∅ 1a < − 1 1x xa  − < <    0a < 01)1(2 =−−+ xaax ,1,1 21 =−= xax 21 xx > 21 xx < 21 xx = 1 0a− < < 1 1a − > ( )1 1 0x xa   − − − <     ∴ 11x x a  < < −    1a = − 11 a = − ( )21 0x − < ∅ 1a < − 11 a > − ( )1 1 0x xa   − − − <     ∴ 1 1x xa  − < <    考点：解含参数的不等式. 21．设全集 U=R，A= ，B= 。求： （1） （2） （3） （4） . 【答案】（1） （2） ； （3） 或 ；（4） 或 ． 【解析】 试题分析：（1）由 A 与 B，求出两集合的交集即可；（2）由 A 与 B，求出两集合的 并集即可；（3）由全集 U=R，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的并集即可；（4）由 全集 U=R，求出 A 的补集与 B 的补集，找出两补集的交集即可 试题解析：由题 （1） （2） ； （3） 或 ， ∴ 或 ； （4） 或 ， 或 ， ∴ 或 ． 考点：交、并、补集的混合运算 22．设 为集合 的子集，且 ，若 ，则称 为集合 的 元“大同集”. （1）写出实数集 的一个二元“大同集”； A B {x | 0 x 5}∩ = ≤ ＜ ； A B {x | 5 x 7}∪ = ﹣ ＜ ＜ UB {x | x 0= ＜ x 7}≥ U UA B {x | x 5∩ = ≤（ ）（ ） ﹣  x 7}≥ U R A {x | 5 x 5} B {x | 0 x 7}= = = ≤， ﹣ ＜ ＜ ， ＜ ， A B {x | 0 x 5}∩ = ≤ ＜ ； A B {x | 5 x 7}∪ = ﹣ ＜ ＜ UB {x | x 0= ＜ x 7}≥ UA B {x | x 5∪ = ＜ }≥x 7 UA {x | x 5= ≤ ﹣ x 5}≥ UB {x | x 0= ＜ x 7}≥ U UA B {x | x 5∩ = ≤（ ）（ ） ﹣  x 7}≥ A M 1 2 3 , *, 2{ , } ), , (nA a a a a n N n= … ∈ ≥ 1 2 3 1 2n na a a a a a a+ + +…+ = ⋅ … A M n R （2）是否存在正整数集 的二元“大同集”，请说明理由； （3）求出正整数集 的所有三元“大同集”． 【答案】（1） ；（2）不存在，理由详见解析；（3） . 【解析】 【分析】 （1）利用集合 的 元“大同集”的定义能求出实数集 的一个二元“大同集”． （2）由两个不同的正整数之和不等于两个不同的正整数之积，得到不存在正整数集 的二元“大同集”． （3）设正整数集 的三元“大同集”为 ．则 ，利用列举法能求 出正整数集 的所有三元“大同集”． 【详解】 解：（1）∵设 为集合 的 2 元“大同集”. 则 ， 当 时， ，得 实数集 的一个二元“大同集”为 ． （2）不存在正整数集 的二元“大同集”， 两个不同的正整数之和不可能等于两个不同的正整数之积， 不存在正整数集 的二元“大同集”． （3）设正整数集 的三元“大同集”为 ． 则 ， 利用列举法得 ， ， 的值分别为 1，2，3， *N *N 3{3, }2 {1,2,3} M n R *N *N { , , }a b c a b c abc+ + = *N 1 2{ , }A a a= M 1 2 1 2a a a a+ = ⋅ 1 3a = 2 23 3a a+ = 2 3 2a = ∴ R 3{3, }2 *N  ∴ *N *N { , , }a b c a b c abc+ + = a b c 正整数集 的所有三元“大同集”为 ． 【点睛】 本题考查二元大同集、三元大同集的判断及求法，考查新定义、列举法等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题． 23．若关于 的方程 有实根. （1）求实数 的取值集合 ; （2）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)由二次方程有根，得 ，则 ，用零点分段讨论法解绝对值不等式 即可. (2)题中不等式可看作关于 的一次不等式，则由题意可得关于 的不等式，解之即可. 【详解】 （1）由题意得 ，则 . 若 ，则 ，得 ； 若 ，则 ，恒成立，得 ； 若 ，则 ，得 . 综上，实数 的取值集合 . （2）令 ， ∴ *N {1,2,3} x 2 4 3 0x x a a− + + − = a A a A∈ 2 2 12 0t a t− + < t 1 7= 2 2A  −  ， ( 4, 3) (3,4)t ∈ − −  0∆ ≥ | | | 3| 4a a+ − ≤ a t 16 4(| | | 3|) 0a a∆ = − + − ≥ | | | 3| 4a a+ − ≤ 3a > ( 3) 4a a+ − ≤ 73 2a< ≤ 0 3a≤ ≤ ( 3) 4a a− − ≤ 0 3a≤ ≤ 0a < ( 3) 4a a− − − ≤ 1 2a ≥ − a 1 7= 2 2A  −  ， 2( ) 2 | | 12f a a t t= − + + 由题意得，存在 ，使得 成立. 所以 ，即 . 解得 ，即 . 【点睛】 本题考查绝对值不等式和一元二次不等式的综合问题，涉及存在性问题的求解和变量转 换法的应用. 1 7 2 2a  ∈ −  ， ( ) 0f a < 27 = 7| |+12+ 02f t t  − <   (| | 3)(| | 4) 0t t− − < 3 | | 4t< < ( 4, 3) (3,4)t ∈ − − 