2018届二轮复习（文）专题九选做大题课件（全国通用）

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专题九　选做大题 9.1 　坐标系与参数 方程 ( 选修 4—4) - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - 1 . 极坐标系与极坐标 (1) 极坐标系 : 如图所示 , 在平面内取一个定点 O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 . (2) 极坐标 : 设 M 是平面内一点 , 极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的极径 , 记为 ρ ; 以极轴 Ox 为始边 , 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角 , 记为 θ . 有序数对 ( ρ , θ ) 叫做点 M 的极坐标 , 记为 M ( ρ , θ ) . 一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为 ρ ≥ 0, θ 可取任意实数 . - 9 - 2 . 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点 , x 轴的非负半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 设 M 是平面内任意一点 , 它的直角坐标是 ( x , y ), 极坐标为 ( ρ , θ ), 则它们之间的关系为 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ . 另一种关系为 ρ 2 =x 2 +y 2 ,tan θ = ( x ≠0) . 3 . 直线的极坐标方程 若直线过点 M ( ρ 0 , θ 0 ), 且此直线与极轴所成的角为 α , 则它的方程为 ρ sin( θ - α ) = ρ 0 sin( θ 0 - α ) . 几个特殊位置的直线的极坐标方程 : (1) 直线过极点 : θ = θ 0 和 θ = π + θ 0 ; (2) 直线过点 M ( a ,0), 且垂直于极轴 : ρ cos θ =a ; - 10 - 4 . 圆的极坐标方程 若圆心为 M ( ρ 0 , θ 0 ), 半径为 r , 则圆的方程为 ρ 2 - 2 ρ 0 ρ cos( θ - θ 0 ) + - r 2 = 0 . 几个特殊位置的圆的极坐标方程 : (1) 圆心位于极点 , 半径为 r : ρ =r ; (2) 圆心位于 M ( a ,0), 半径为 a : ρ = 2 a cos θ ; 5 . 曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 , 如果曲线上任意一点的坐标 ( x , y ) 都是 某个 变量 t 的 函数 并且 对于 t 的每一个允许值 , 上式所确定的点 M ( x , y ) 都在这条曲线上 , 则称上式为该曲线的参数方程 , 其中变量 t 称为参数 . - 11 - 6 . 一些常见曲线的参数 方程 - 12 - - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 参数方程与极坐标方程间的互化 例 1 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程 为 ( t 为参数 , a> 0) . 在以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 : ρ = 4cos θ . (1) 说明 C 1 是哪一种曲线 , 并将 C 1 的方程化为极坐标方程 ; (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ = α 0 , 其中 α 0 满足 tan α 0 = 2, 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上 , 求 a. - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解 (1) 消去参数 t 得到 C 1 的普通方程 x 2 + ( y- 1) 2 =a 2 , C 1 是以 (0,1) 为圆心 , a 为半径的圆 . 将 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中 , 得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 - 2 ρ sin θ + 1 -a 2 = 0 . ( 2) 曲线 C 1 , C 2 的公共点的极坐标满足 方程组 若 ρ ≠0, 由方程组得 16cos 2 θ - 8sin θ cos θ + 1 -a 2 = 0, 由已知 tan θ = 2, 可得 16cos 2 θ - 8sin θ cos θ = 0, 从而 1 -a 2 = 0, 解得 a=- 1( 舍去 ), a= 1 . a= 1 时 , 极点也为 C 1 , C 2 的公共点 , 在 C 3 上 , 所以 a= 1 . - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 1 . 无论是参数方程化为极坐标方程 , 还是极坐标方程化为参数方程 , 都要先化为直角坐标方程 , 再由直角坐标方程化为需要的方程 . 2 . 求解与极坐标方程有关的问题时 , 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 . 若最终结果要求用极坐标表示 , 则需将直角坐标转化为极坐标 . - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 1 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 半圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ , θ ∈ . (1) 求 C 的参数方程 ; (2) 设点 D 在 C 上 , C 在 D 处的切线与直线 l : y= x+ 2 垂直 , 根据 (1) 中你得到的参数方程 , 确定 D 的坐标 . 解 (1) C 的普通方程为 ( x- 1) 2 +y 2 = 1(0 ≤ y ≤ 1 ) . (2) 设 D (1 + cos t ,sin t ) . 由 (1) 知 C 是以 C (1,0) 为圆心 ,1 为半径的上半圆 , 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直 , 所以直线 CD 与 l 的斜率相同 , - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 求两点间距离的最值 例 2 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 : ( t 为参数 , t ≠0), 其中 0 ≤ α < π . 在以 O 为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 : ρ = 2sin θ , C 3 : ρ = 2 cos θ . (1) 求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标 ; (2) 若 C 1 与 C 2 相交于点 A , C 1 与 C 3 相交于点 B , 求 |AB| 的最大值 . - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解 (1) 曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 - 2 y= 0 , (2) 曲线 C 1 的极坐标方程为 θ = α ( ρ ∈ R , ρ ≠0), 其中 0 ≤ α < π . - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 1 . 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程 , 常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等 , 往往需要对参数方程进行变形 , 为消去参数创造条件 . 2 . 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 , 极轴与 x 轴正半轴重合 , 两坐标系的长度单位相同 , 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 . - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 2 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程 为 (1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程 ; (2) 设点 P 在 C 1 上 , 点 Q 在 C 2 上 , 求 |PQ| 的最小值及此时 P 的直角坐标 . - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 因为 C 2 是直线 , 所以 |PQ| 的最小值即为 P 到 C 2 的距离 d ( α ) 的最小值 , - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 求三角形面积的最值 例 3 (2017 全国 Ⅱ , 文 22 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4 . (1) M 为曲线 C 1 上的动点 , 点 P 在线段 OM 上 , 且满足 |OM| · |OP|= 16, 求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程 ; (2) 设点 A 的极坐标 为 , 点 B 在曲线 C 2 上 , 求 △ OAB 面积的最大值 . - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解 (1) 设 P 的极坐标为 ( ρ , θ )( ρ > 0), M 的极坐标为 ( ρ 1 , θ )( ρ 1 > 0 ) . 由 |OM| · |OP|= 16 得 C 2 的极坐标方程 ρ = 4cos θ ( ρ > 0) . 因此 C 2 的直角坐标方程为 ( x- 2) 2 +y 2 = 4( x ≠0) . (2) 设点 B 的极坐标为 ( ρ B , α )( ρ B > 0) . 由题设知 |OA|= 2, ρ B = 4cos α , 于是 △ OAB 面积 - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 对于极坐标和参数方程的问题 , 既可以通过极坐标和参数方程来解决 , 也可以通过直角坐标解决 , 但大多数情况下 , 把极坐标问题转化为直角坐标问题 , 把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题 . 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误 . - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 3 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 C 1 : x=- 2, 圆 C 2 :( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 1, 以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 , C 2 的极坐标方程 ; (2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 θ = ( ρ ∈ R ), 设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N , 求 △ C 2 MN 的面积 . 解 (1) 因为 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ , 所以 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ =- 2, C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 2 ρ cos θ - 4 ρ sin θ + 4 = 0 . - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 求动点轨迹的方程 例 4 已知动点 P , Q 都在曲线 C : ( t 为参数 ) 上 , 对应参数分别为 t= α 与 t= 2 α (0 < α < 2 π ), M 为 PQ 的中点 . (1) 求 M 的轨迹的参数方程 ; (2) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数 , 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 . - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解 (1) 依题意有 P (2cos α ,2sin α ), Q (2cos 2 α ,2sin 2 α ), 因此 M (cos α + cos 2 α ,sin α + sin 2 α ) . 当 α = π 时 , d= 0, 故 M 的轨迹过坐标原点 . 解题心得 在求动点轨迹方程时 , 如果题目有明确要求 , 求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程 , 那么就按要求做 ; 如果没有明确的要求 , 那么三种形式的方程写出哪种都可 , 哪种形式的容易求就写哪种 . - 28 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 4 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程 为 (1) 求 C 2 的方程 ; (2) 在以 O 为极点 , x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 , 射线 θ = 与 C 1 的异于极点的交点为 A , 与 C 2 的异于极点的交点为 B , 求 |AB|. - 29 - 考向一 考向二 考向三 考向四 (2) 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ = 4sin θ , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ = 8sin θ .