北京市平谷区第五中学2019-2020学年高一4月月考数学试题

北京市平谷区第五中学2019-2020学年高一4月月考数学试题

北京市平谷区2019-2020学年度第二学期第五中学4月月考试题 高一数学 一、单选题 ‎1．下列函数中最小正周期为且在上为增函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知函数，的部分图像如图所示，则为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）.‎ A．先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位；‎ B．先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位；‎ C．先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位；‎ D．先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位；‎ ‎4．已知向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知sin(π－α)＝log4，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　　)‎ A．－ B． C．± D． ‎ ‎6．已知向量，若，则的值可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知函数（，为常数，，）在处取得最大值，则函数是（ ）‎ A．奇函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于对称 D．偶函数且它的图象关于对称 ‎8．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．sin347°cos148°+sin77°cos58°=（ ）‎ A． B． C． D．1‎ 二、填空题 ‎11．化简______________．‎ ‎12．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则__________．‎ ‎13．已知直线与圆交于两点，为坐标原点，则等于 ，等于 ．‎ ‎14．设，则___________.‎ ‎15．下面四个命题：‎ ‎①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象;‎ ‎②函数的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则是f(x)的单调递增区间;‎ ‎③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;‎ ‎④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=‎1”‎的充分不必要条件。‎ 其中所有正确命题的序号为 。‎ 三、解答题 ‎16．已知函数 ‎（1）设，若不等式对于任意的x都成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设，解关于x的不等式组；‎ ‎17．以、为顶点的正三角形位于正方形区域内，试求面积的最大值.‎ ‎18．设命題方程有两个不相等的负根，命题恒成立.‎ ‎（1）若命题均为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.‎ ‎19．已知集合，.‎ ‎(1)当时，求;‎ ‎(2)若，求实数的取值范围.‎ ‎20．已知函数 ．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[﹣ ，]时，求函数f（x）的最小值和最大值．‎ ‎21．已知集合，，其中，全集R．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎ 北京市平谷区2019-2020学年度第二学期第五中学4月月考试题 高一数学 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件逐一分析选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ 最小正周期为的有，，在内单调递增的为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的性质，和绝对值函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得或，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数 在区间内没有极值点，‎ 所以，‎ 或，‎ 解得或，‎ 令，可得，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有倍角公式和辅助角公式的应用，有关函数的极值点的位置，从而得到相应的范围，求得结果，属于中档题目.‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像，先求得函数解析式，再根据函数图像的变换，求得变换过程.‎ ‎【详解】‎ 由图可知，故可得；‎ 根据五点作图法可得，解得；‎ 故，又 故只需将函数纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 得到，再向右平移即可得到.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三角函数的图像求解解析式，以及函数图像的变换，属综合性中档题.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ 根据向量夹角公式可得：，‎ 因为，故，故选B.‎ ‎5．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件求得的值，再根据，求得的值，从而求得的值，再根据诱导公式即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ sin(π－α)＝sin α＝log4＝－，‎ 又α∈，得cos α＝＝，‎ tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，则，即，所以，所以选C．‎ 考点：1.向量的数量积；2.两角差的余弦．‎ ‎7．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据已知可得，然后根据正弦函数的图像与性质得到 ‎，再化简函数，从而求解问题.‎ ‎【详解】‎ ‎，在处取得最大值，‎ ‎，‎ 则，，‎ ‎，‎ 奇函数且它的图象关于点对称.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.‎ ‎8．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示，，设，则有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的距离的最大值为直径，也即的最大值为.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎9．A ‎【解析】‎ 分析：利用交集的运算直接求解即可 详解：∵集合，，‎ ‎∴，‎ 故选：．‎ 点睛：本题考查交集的运算，属基础题.‎ ‎10．B ‎【解析】‎ 试题分析：由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得所给式子的值．‎ 解：sin347°cos148°+sin77°cos58°=﹣sin13°•（﹣cos32°）+cos13°sin32°‎ ‎=sin（13°+32°）=sin45°=，‎ 故选：B．‎ 考点：三角函数的化简求值．‎ ‎11．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式、分类讨论k，求得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ 当k=2n，n∈Z时，==﹣1；‎ 当k=2n+1，n∈Z时，==﹣1，‎ 综上可得，：=﹣1．‎ 故答案为：-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎12．或 ‎【解析】‎ 由正弦定理知，，即，由正弦定理可得，，由，可得或，若，则，若，则为等腰三角形，可得或，故答案为或.‎ ‎13．‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离为，所以，设，则，由直线方程圆联立，可得，同理可得，又，可得，即．‎ 考点：直线与圆的位置关系的应用；向量的数量积的坐标运算．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解绝对值不等式求得集合A，根据偶次根式的条件求得集合B，之后求得两集合的交集，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解不等式得，‎ 根据，解得，所以，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，函数的定义域，两集合的交集的求解，属于简单题目.‎ ‎15．②③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象;因此错误 ‎②函数的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则可知，因此可知，可知导函数大于零的解为x>，因此成立。‎ ‎③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;根据内切球的半径为棱长的一半，而外接球的半径是，代入公式可知满足题意，因此成立。‎ ‎④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=‎1”‎的充要条件。因此错误。故填写②③‎ 考点：导数以及球的知识综合运用。‎ 点评：本题综合了导数的几何意义、运用导数判断函数的单调性和球的内接外切等知识点，考查了命题真假的判断，属于中档题 ‎16．（1）‎ ‎（2）当时,不等式组的解集为,‎ 当时,不等式组的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由当时,恒成立,即恒成立，‎ 即，可得，再求解即可；‎ ‎(2)当时,,的图象的对称轴为，再分三种情况讨论即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)当时,恒成立,即恒成立，‎ 因为, ‎ 所以,解之得,‎ 所以实数 的取值范；‎ ‎(2)当时,,的图象的对称轴为， ‎ ‎(ⅰ)当,即时,由,得, ‎ ‎(ⅱ)当,即或时 ‎①当时,由,得,所以,‎ ‎②当时,由,得,所以或, ‎ ‎(ⅲ)当,即或时,方程的两个根为,, ‎ ‎①当时,由知,所以的解为或,‎ ‎②当时,由知,所以的解为,‎ 综上所述：‎ 当时,不等式组的解集为,‎ 当时,不等式组的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立问题及解二次不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ ‎17．.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点的坐标，结合已知条件列出变量、所满足的约束条件，利用转化为可行域内的点与原点的距离，利用数形结合思想求出的最大值，作为的最大值，由此利用等边三角形的面积公式可求出面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 为等边三角形，则顶点是以、为圆心，为半径的两圆在第一象限的交点，由圆，圆，‎ 解得，，得点.‎ 位于正方形区域内，即、、三点都在区域内，‎ 则，即，作出该不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 是边长为的正三角形，，‎ 当取最大值时，取得最大值，‎ 的几何意义为可行域内的点与原点的距离，‎ 由六边形中、、的计算，，‎ ‎，所以，当点与点、、某点重合时，取得最大值，此时也取得最大值时，则取得最大值，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单的线性规划的应用，解题的关键就是要确定、所满足的约束条件，并利用非线性目标函数的几何意义求出相应的最值，同时也考查了三角形的面积，综合性较强，属于难题.‎ ‎18．(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）首先分析命题：根据方程有两个不相等的负根，可根据判别式和根与系数的关系列式，命题 ，当均为真命题时，即求两个命题取值范围的交集；（2）若满足条件，根据真值表可知一真一假，分真假，或假真解得的取值范围.‎ 试题解析：（1）若命题为真，则有 ‎，解得 若命题为真，则有，解得 若均为真命题，则，即.‎ 即的取值范围是.‎ ‎（2）若命题为假，命题为真，则一真一假.‎ 当真假，则，解得；‎ 当假真，则，解得；‎ 所以的取值范围为.‎ ‎19．（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合，即可得结果；‎ ‎（2），对集合是否空集讨论，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎；‎ ‎（2）若，‎ 若，，‎ 解得，‎ 综上，实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的基本运算，要注意空集情况，属于基础题.‎ ‎20．（Ⅰ）最小正周期为 ，单调增区间为 ；（Ⅱ）最小值和最大值分别为和0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）由可得，结合正弦函数的单调性即可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）化简可得 ‎=sin2x﹣（1+cos2x）﹣‎ ‎=sin2x﹣cos2x﹣1‎ ‎=sin（2x﹣）﹣1，‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==π，‎ 由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+‎ ‎∴函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈Z；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，‎ ‎∴函数f（x）的最小值和最大值分别为﹣﹣1和0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于基础题.‎ ‎ 以三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是三角函的图象与性质要熟记于心.‎ ‎21．(1) （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）a＞b＞﹣1，则﹣a＜﹣b＜1，求出集合A，再求A∩B；‎ ‎（2）根据a2＋∈，说明a2＋满足集合CUB中元素的几何性质，代入解不等式，可得答案．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，故 ，‎ ‎，因此．‎ ‎（2）＝{x ê(x－1)(x＋a)≤0}，由a2＋∈ 得(a2－)( a2＋＋a)≤0， ‎ 解得或，所以的取值范围是．‎