【数学】四川省阆中中学2019-2020学年高二下学期第二次月考(理)

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【数学】四川省阆中中学2019-2020学年高二下学期第二次月考(理)

四川省阆中中学2019-2020学年高二下学期第二次月考(理)‎ ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知为虚数单位,复数的共轭复数为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价 ‎ 格进行试销,得到如下数据:‎ 单价(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎ 由表中数据,求得线性回归方程=-4x+a,则a=( )‎ ‎ A.100 B‎.104 C.106 D.108‎ ‎4. 已知X~B(n,p),且E(X)=2,D(X)=,则n=( )‎ ‎ A.5 B.‎6 ‎ C.7 D.8‎ ‎5.已知满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 方程表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表 ‎ 面积为( )‎ ‎ A.πa2 B.πa‎2 ‎ C.πa2 D.5πa2‎ ‎8. 对于R上可导的任意函数f(x),若满足,则必有( )‎ ‎ A.f(0)+f(2)>‎2f(1) B.f(0)+f(2)≤‎2f(1)‎ C.f(0)+f(2)<‎2f(1) D.f(0)+f(2)≥‎2f(1)‎ ‎9.已知椭圆的左焦点为,直线与相交于 ‎ ‎ 两点,且,则的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知实数a,b,c,d成等比数列,函数y=ln(x+2)-x,当x=b时,取到极大值c, ‎ ‎ 则ad等于( )‎ ‎ A.1 B.‎0 C.-1 D.2‎ ‎11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上,平面,,‎ ‎ ,则球的体积的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若函数, 在 ‎ 上单调递增,则实数的取值范围为( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为 .(用数字作答)‎ ‎14. 已知两个单位向量、的夹角为,向量,则 。‎ ‎15.已知p:函数在R上单调递减,的必要不充 ‎ 分条件,则实数m的取值范围为 .‎ ‎16.已知函数,若有且仅有一个整数,使,则实 ‎ 数的取值范围是 .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知0<α<,0<β<,cosα=,cos(β+α)=.‎ ‎(1)求sinβ的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18. 阆中中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛,总分获得一等奖、二等奖、三 等奖的代表队人数情况如下表,其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人。该校政 ‎ 教处为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽 样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐,其中二等奖代表队有5人(同队 内男女生仍采用分层抽样)‎ ‎ 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 ‎?‎ ‎30‎ ‎◎‎ 女生 ‎30‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎(1)从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取 ‎ 人上台领奖,用表示女生上台领奖 ‎ 的人数,求的分布列和数学期望。‎ ‎(2)抽奖活动中,代表队员通过操作按键,使电脑自动产生内的两个均匀随 ‎ 机数,,随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示 ‎ “中奖”,则代表队员获相应奖品;若电脑显示“谢谢”,则不中奖。求代表队 ‎ 队员获得奖品的概率。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在长方体中,底面是边长为的正方形,对角线 与相交于点,点在线段上,且 ‎,与底面所成角为。‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同 ‎ 的A、B两点.‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;‎ ‎(2)如果·=-4,证明: 直线l必过一定点,并求出该定点.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)=.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;‎ ‎(2)当x≥1时,不等式f(x)-≥恒成立,求a的取值范围.‎ ‎22.(共10分)某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,‎ ‎ 规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列 ‎ 联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎110‎ ‎(1)请完成上面的列联表;‎ ‎(2)根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;‎ ‎ 参考公式与临界值表:K2=.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考答案 ‎1-12、BBCBA BBADC BD ‎ ‎13. 15 . 14. 15. 16. ‎ ‎17. 解:(1)由题知sinα=,sin(β+α)=.‎ 所以sinβ=sin[(β+α)-α]=sin(β+α)cosα-cos(β+α)sinα=×-×=.‎ ‎(2)因为0<α<,cosα=,所以sinα=.‎ 所以===12.‎ ‎18. (1)设代表队共有人,则,所以,设一等奖代表队男生人数为,则,解得,则一等奖代表队的男生人数为,故前排就坐的一等奖代表队有3男3女,共6人。……………2分 则的可能取值为,,,。‎ 则,,,,所以的分布列 ‎……………5分 ‎ ……………6分 ‎(2) 试验的全部结果所构成的区域为,‎ 面积为, ……………8分 事件表示代表队队员获得奖品,所构成的区域为,‎ 如图阴影部分的面积为,……………10分 这是一个几何概型,所以。‎ 即代表队队员获得奖品的概率为。 ………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(1)因为在长方体中,有平面,所以,‎ 因为四边形是正方形,所以,又从而平面.而平面,所以。 ……………4分 ‎(2)因为在长方体中,有,,两两垂直,‎ 所以建立空间直角坐标系如图所示.‎ 由(1)知为直线与平面所成的角 又因为与平面所成角为,‎ 所以,所以.由可知,‎ 所以,又,即,故,‎ 则,,,,,‎ 所以,‎ 设平面的法向量为,则,‎ 即,令,则 ……………7分 因为平面,所以为平面的法向量,,‎ 所以.‎ 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.………‎ ‎20. 解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得 y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2‎ ‎=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.‎ ‎(2)设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,‎ 消去x得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=4t,y1y2=-4b,‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2‎ ‎=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.‎ 令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,‎ ‎∴直线l过定点(2,0).‎ ‎∴若·=-4,则直线l必过一定点(2,0).‎ ‎21. 解:(1)根据题意可得,f(e)=,f′(x)=,‎ 所以f′(e)==-,即k=-,‎ 所以在点(e,f(e))处的切线方程为y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.‎ ‎(2)根据题意可得,‎ f(x)--=≥0在x≥1时恒成立,‎ 令g(x)=lnx-a(x2-1)(x≥1),所以g′(x)=-2ax,‎ ‎(ⅰ)当a≤0时,g′(x)>0,‎ 所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递增,‎ 所以g(x)≥g(1)=0,即a≤0符合题意;‎ ‎(ⅱ)当a>0时,令-2ax=0,解得x= ,令 =1,解得a=,‎ ‎①当01,‎ 所以在(1, )上g′(x)>0,在( ,+∞)上g′(x)<0,‎ 所以函数y=g(x)在(1, )上单调递增,‎ 在( ,+∞)上单调递减,g()=ln-a[()2-1]=-lna-+a,‎ 令h(a)=-lna-+a,‎ 则h′(a)=-++1=>0恒成立,‎ 又0
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