【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明学案

【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明学案

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用递推关系猜想数列通项公式 ‎[问题展示]　（教材P83习题2.1 A组T1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*），试猜想这个数列的通项公式.‎ ‎【解】　因为a1＝1，an＋1＝，‎ 所以a2＝＝，a3＝＝＝，‎ a4＝＝，所以猜想数列{an}的通项公式为an＝.‎ 已知数列{an}的通项公式为an＝.是否存在常数a，b，使得an＋1＝对于一切n∈N*均成立，若存在，求出常数a，b的值，若不存在，说明理由.‎ ‎【解】　假设存在满足条件的常数a，b.‎ 由an＝与an＋1＝得 ＝，‎ 即（a－1）n＋（2a－2b－1）＝0对于n∈N*恒成立，‎ 所以所以a＝1，b＝.‎ 即存在常数a＝1，b＝，当an＝时，‎ an＋1＝对于一切n∈N*均成立.‎ ‎【拓展1】　直接推出原问题中数列{an}的通项公式.‎ ‎【解】　由a1＝1，an＋1＝得 ＝＋，即－＝.‎ 即数列是以首项为＝1，公差为的等差数列，‎ 所以＝1＋（n－1）×＝.所以an＝.‎ ‎【拓展2】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝.‎ ‎（1）猜想数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解】　（1）由a1＝1，an＋1＝得 a2＝＝＝，‎ a3＝＝＝，‎ a4＝＝＝，由此猜想an＝.‎ ‎（2）由a1＝1，an＋1＝得＝＋1，‎ 所以－2＝，‎ 所以数列是首项为－2＝－1，公比为的等比数列.所以－2＝－1×，‎ 所以＝2－＝，所以an＝.‎ 即所求数列的通项公式为an＝.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分析法与综合法的应用 ‎[问题展示]　（教材P89练习T2）求证＋＞2＋.‎ ‎【证明】　要证＋＞2＋，‎ 只需证（＋）2＞（2＋）2，‎ 展开得13＋2＞13＋2，‎ 只需证＞，‎ 只需证42＞40.‎ 因为42＞40显然成立，所以＋＞2＋成立.‎ 若2＋＜5恒成立，比较m与5的大小.‎ ‎【解】　由2＋＜5得＜5－2.‎ 即m＜（5－2）2＝33－20，‎ 所以m－5＜28－20＝4（7－5）.‎ 因为72－（5）2＝49－50＝－1＜0，‎ 所以7＜5，‎ 即7－5＜0，‎ 即m－5＜4（7－5）＜0，所以m＜5.‎ 设a≥0，求证：＋＞＋.‎ ‎【证明】　因为a≥0，所以要证＋＞＋成立，‎ 只需证明（＋）2＞（＋）2成立.‎ 展开得2a＋3＋2＞2a＋3＋2.‎ 即证 ＞ 成立，‎ 只需证（）2＞（）2成立.‎ 只需证a2＋3a＋2＞a2＋3a成立.‎ 即证2＞0成立，‎ ‎2＞0显然成立.‎ 所以＋＞＋成立.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　演绎推理的应用 ‎[问题展示]　（教材P85例1）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.‎ ‎【证明】　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①‎ 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②‎ 由①②，得B＝.③‎ 由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④‎ 由余弦定理及③，可得 b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝a2＋c2－ac.‎ 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，‎ 即（a－c）2＝0，‎ 因此a＝c.‎ 从而有A＝C.⑤‎ 由②③⑤，得A＝B＝C＝.‎ 所以△ABC为等边三角形.‎ 在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c.若B＝，试比较：‎ ‎（1）b2与ac的大小；‎ ‎（2）2b与a＋c的大小.‎ ‎【解】　因为B＝，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.‎ ‎（1）b2－ac＝a2＋c2－2ac＝（a－c）2≥0，‎ 所以b2≥ac.‎ ‎（2）（2b）2－（a＋c）2‎ ‎＝4b2－a2－2ac－c2‎ ‎＝4（a2＋c2－ac）－a2－2ac－c2‎ ‎＝3a2－6ac＋3c2＝3（a－c）2≥0，‎ 所以（2b）2≥（a＋c）2，即2b≥a＋c.‎ ‎【拓展1】　在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c.‎ ‎（1）若a，b，c成等比数列，求B的范围；‎ ‎（2）若a，b，c成等差数列，求B的范围.‎ ‎【解】　（1）因为a，b，c成等比数列，‎ 所以b2＝ac.‎ 由余弦定理得cos B＝ ‎＝ ‎≥＝.‎ 即cos B≥，又B∈（0，π），‎ 所以0＜B≤.‎ ‎（2）因为a，b，c成等差数列，‎ 所以b＝，‎ 由余弦定理得 cos B＝ ‎＝ ‎＝ ‎≥＝.‎ 即cos B≥，‎ 又B∈（0，π），‎ 所以0＜B≤.‎ ‎【拓展2】　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C与a，b，c都成等差数列，求证△ABC为正三角形.‎ ‎【证明】　因为A，B，C成等差数列，‎ 所以2B＝A＋C，①‎ 又A＋B＋C＝π，②‎ 由①②得B＝.③‎ 又a，b，c成等差数列，‎ 所以b＝，④‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，⑤‎ 将③④代入⑤得 ＝a2＋c2－2ac×.‎ 化简得a2－2ac＋c2＝0，‎ 即（a－c）2＝0，所以a＝c，⑥‎ 由④⑥得a＝b＝c，‎ 所以△ABC为正三角形.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　归纳—猜想—证明的应用 ‎[问题展示]　（教材P94例2）已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.‎ ‎【解】　S1＝＝；‎ S2＝＋＝；‎ S3＝＋＝；‎ S4＝＋＝.‎ 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝.‎ 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.‎ ‎（1）当n＝1时，左边＝S1＝，‎ 右边＝＝＝，‎ 猜想成立.‎ ‎（2）假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即 ＋＋＋…＋＝，‎ 那么，＋＋＋…＋＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ 所以，当n＝k＋1时猜想也成立.‎ 根据（1）和（2），可知猜想对任何n∈N*都成立.‎ 已知数列{an}满足a1＝1，且＋＋…＋＝对于一切n∈N*均成立.‎ ‎（1）求a2，a3，a4；‎ ‎（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【解】　（1）因为a1＝1，＋＋…＋＝.‎ 当n＝1时，＝，则a2＝4.‎ 当n＝2时，＋＝，则a3＝7.‎ 当n＝3时，＋＋＝，则a4＝10.‎ ‎（2）由a1＝1，a2＝4，a3＝7，a4＝10猜想an＝3n－2.‎ 下用数学归纳法证明.‎ ‎①当n＝1时，显然成立.‎ ‎②假设n＝k（k∈N*）时猜想成立，‎ 即ak＝3k－2.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＝，‎ 即＋＋…＋＋＝.‎ 所以＝（3k－2） ‎＝（3k－2） ‎＝，‎ 所以ak＋1＝3k＋1＝3（k＋1）－2.‎ 即n＝k＋1时，猜想也成立.‎ 根据①②知猜想对任意n∈N*都成立.‎ 已知数列{an}是递增等差数列，且a1＞0.‎ 求证：＋＋…＋＝.‎ ‎【证明】　①当n＝1时，左边＝，右边＝，等式成立.‎ ‎②假设n＝k（k∈N*）等式成立，即 ＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝，‎ 即n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由①②知，等式对于一切n∈N*均成立.‎ ‎　　　　　　　 ‎ ‎1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（　　）‎ A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a，b，c都不是偶数 C.假设a，b，c中至多有一个是偶数 D.假设a，b，c中至多有两个偶数 解析：选B.对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.‎ ‎2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.‎ ‎1　2　3　4　5　…　2 013　2 014　2 015　2 016‎ ‎3　5　7　9　…………　4 027　4 029　4 031‎ ‎8　12 16　………………… 8 056　8 060‎ ‎20 28　…………………　16 116‎ ‎…………………………‎ 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（　　）‎ A.2 017×22 013　　　　　　 B.2 017×22 014‎ C.2 016×22 015 D.2 016×22 014‎ 解析：选B.当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23.归纳推理，得当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014.故选B.‎ ‎3.通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中，　　　　”.（　　）‎ A.长方体的体积最大，最大值为2R3‎ B.正方体的体积最大，最大值为3R3‎ C.长方体的体积最大，最大值为 D.正方体的体积最大，最大值为 解析：选D.类比可知半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体体对角线的长度等于球的直径，即a＝2R，得a＝，体积V＝a3＝.故选D.‎ ‎4.已知a，b，c，d∈（0，＋∞）.‎ 求证ac＋bd≤.‎ 证明：法一：（分析法）‎ 欲证ac＋bd≤，‎ 只需证（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），‎ 即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2，‎ 即证2abcd≤a2d2＋b2c2，即证0≤（bc－ad）2，‎ 而a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2显然成立，‎ 故原不等式成立.‎ 法二：（综合法）‎ ‎（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2，‎ 所以≥ac＋bd.‎ ‎5.已知数列{an}满足关系式a1＝a（a>0），an＝（n≥2，n∈N*），‎ ‎（1）用a表示a2，a3，a4；‎ ‎（2）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.‎ 解：（1）a2＝，‎ a3＝＝＝，‎ a4＝＝＝.‎ ‎（2）因为a1＝a＝，‎ a2＝，…，‎ 猜想an＝.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，‎ 因为a1＝a＝，所以当n＝1时结论正确.‎ ‎②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时结论正确，‎ 即ak＝，所以当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时结论也正确.‎ 根据①与②可知命题对一切n∈N*都正确.‎